Seminario de Análisis A: Métodos Variacionales Semestre

Seminario de Análisis A: Métodos Variacionales
Semestre 2016-2
Tarea 1: Espacios de Sobolev
Límite de entrega: Martes 9 de febrero de 2016, 10:00 horas.
1. Demuestra las siguientes a…rmaciones:
(a) Fórmula de Gauss. Si ' 2 Cc1 ( ); entonces
Z
@'
= 0 8i = 1; :::; N:
@xi
(b) Integración por partes. Si f 2 C 1 ( ); ' 2 Cc1 ( ); entonces
Z
Z
@f
@'
'+ f
=0
8i = 1; :::; N:
@xi
@xi
(c) Fórmula de Green. Si f 2 C 2 ( ); ' 2 Cc1 ( ); entonces
Z
Z
( f )' + rf r' = 0:
2. Da un ejemplo de una sucesión de funciones 'k 2 Cc1 ( 1; 1) que sea de Cauchy respecto
a la norma
sZ
Z 1
1
2
k'k1 :=
('0 ) +
'2
1
1
y que no converja a una función en C 1 [ 1; 1] según esta norma.
3. Prueba que la función v : ( 1; 1) ! R dada por
1 x 2 (0; 1);
1 x 2 ( 1; 0];
v(x) =
no es débilmente diferenciable en ( 1; 1):
4. Prueba que la función u : ( 1; 1)! R, u(x) = jxj; pertenece a H 1 ( 1; 1) pero no
pertenece a H01 ( 1; 1).
5. Prueba que, si u 2 H01 ( ); la función
u(x) :=
u(x) si x 2 ;
0
si x 2 RN r ;
pertenece a H 1 (RN ) y se cumple que Di (u) = Di u para i = 1; :::; N:
1
6. Prueba que, si u 2 H01 ( ); entonces juj 2 H01 ( ) y
8
si u(x) 0;
< Di u(x)
0
si u(x) = 0;
(Di juj) (x) =
:
Di u(x) si u(x) 0:
(Sugerencia: Considera las funciones " (t) = (t2 + "2 )1=2 ", " > 0; y prueba que
1
" u 2 H0 ( ): Después aplica el teorema de convergencia dominada de Lebesgue).
7. Dada u :
! R de…nimos
u+ := maxfu; 0g 2 H01 ( );
u := minfu; 0g 2 H01 ( ):
Prueba que, si u 2 H01 ( ); entonces u+ ; u 2 H01 ( ) y sus derivadas débiles son
Di u+ (x) =
Di u(x) si u(x)
0
si u(x)
0
;
0
Di u
(x) =
(Sugerencia: Observa que u+ = 12 (u + juj) y u = 21 (u
2
Di u(x) si u(x)
0
si u(x)
juj)).
0
:
0