maximización de beneficios

LA FUNCION DE PRODUCCION Y LA MAXIMIZACION DE
BENEFICIOS
lorenzo castro gómez1
LA MAXIMIZACION DE BENEFICIOS CON UN INSUMO VARIABLE
El objeto del análisis insumo-producto es determinar la cantidad
óptima de combinación de insumo variable con insumos fijos y debe
responder a cuestiones como ¿cuánto fertilizante aplicar por hectárea?, etc..
La respuesta depende del administrador:
Maximizar sus beneficios dado el precio del producto y
el precio del insumo. (Competencia perfecta).
• Un productor que actúa racionalmente, debe operar en
la etapa II de la producción en donde 0 > E < 1.
Bajo los siguientes supuestos:
• El productor trata de obtener el máximo beneficio
de la aplicación del insumo variable.
• El productor conoce con exactitud su función de
producción y los precios del insumo y del producto
precios sobre los que no influye en forma individual
(para él los precios son constantes).
Métodos para determinar el óptimo económico.
Determinar el punto óptimo de operación más rentable para la
empresa en el corto plazo para determinar el óptimo económico (beneficio
máximo) de la empresa, debemos determinar el nivel óptimo de utilización
del insumo y a partir de éste el nivel óptimo de producción. Dada la función
de producción el precio del insumo y el precio del producto, la función de
beneficio de la empresa es:
1
BT = IT - CT2
2
BT = IT - CVT + CFT3
3
BT = Py Y - Px X - CFT4 ;
1
2
3
4
Profesor del departamento de Economía Agrícola, DCSE – UAAAN.
Donde BT = beneficio total, IT = ingreso total y
CT = costo total.
Donde CVT = costo variable total y CFT = costo fijo total
Donde Py Y = precio por el producto total y Px X = precio
1
4
BT = Py Y - Px X - a , donde a = CFT
5
BT = Py ƒ(x) - Px X - a5
DETERMINACION DEL NIVEL OPTIMO DE APLICACION DEL INSUMO
La función de beneficio está en función de la cantidad de insumo que
se aplique, por lo tanto podemos encontrar el valor máximo de la función de
beneficios igualando a cero su primera derivada:
dBT/dx = Py dy/dx - Px = 0
Py PMg - Px = 0
insumo.
; donde Py PMg es el valor del PMg y Px es el precio del
Despejando
se tiene Py PMg = Px
que es la condición de
maximización de beneficios, esta condición implica que para maximizar
beneficios, un productor siempre debe buscar que el ingreso generado por
la última unidad de insumo sea igual al costo de dicha unidad. En otras
palabras, el productor no debe dejar de agregar unidades de insumo
mientras éstas le generen un ingreso más alto que lo que le cuesta
aplicarlas.
En un experimento se trató de medir el efecto de diferentes cantidades
de semilla por hectárea sobre la producción de papa. Para ello sólo se
permitió que variase el nivel de utilización de semilla al momento de la
siembra, mientras que todos los demás factores de la producción fueron
controlados lo más estrictamente posible.
DESPUES DE LA COSECHA SE REGISTRARON
RENDIMIENTOS PROMEDIO POR HECTAREA.
LOS
SIGUIENTES
por el insumo X.
5
Donde Py f(x) es el ingreso total y Px X - a es el costo
total.
2
Prod. De
Cant.
papa
Semilla/ Ton/ha
hectárea
1
4.8
2
12.4
3
21.6
4
31.2
5
40.0
6
46.8
7
50.4
8
49.6
9
43.2
Producto Producto marginal
medio
Promedio Exacto
4.8
6.2
7.2
7.8
8.0
7.8
7.2
6.2
4.8
4.8
7.6
9.2
9.6
8.8
6.8
3.6
-0.8
-6.4
6.4
8.6
9.6
9.4
8.0
5.4
1.6
-3.4
-9.6
Precio
del
Precio de
la papa
Nitrógeno
7
7
7
7
7
7
7
7
7
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Con estos datos ¿Qué cantidad de semilla aconsejaría que use el productor?
¿Por qué ?
De qué manera(s) puede dar una recomendación con certeza.
Es suficiente esta información para hacer una recomendación
económica.
Estas preguntas saltan a la vista en el análisis y deberán tener
respuesta.
Otra forma de presentar los datos más compacta es por la de la
función de producción que esta es una ecuación que se puede obtener a
partir de los datos de aplicación de insumos y rendimientos mediante las
técnicas de mínimos cuadrados (regresión):
sea Y = ƒ(x) donde Y = PT, rendimientos en toneladas de papa y X las
unidades de semilla aplicadas (una unidad equivale a 360 Kg.). Entonces se
tiene:
Y = 3X + 2X2 - 0.2X3
y el precio de la papa es de $ 3 por tonelada y el de la semilla es de $ 7 por
cada 360 Kg entonces Py = 3 y Px = 7, sustituyendo el PMg en la condición de
equilibrio queda lo siguiente
Py PMg = Px o lo que es lo mismo 3 ( 3 + 4X - 0.6X2 ) = 7
resolviendo para X se tiene 9 + 12X - 1.8X2 - 7 = 0, finalmente queda 2 + 12X 1.8X2 6 dando como resultado 6.5 que es el nivel óptimo económico de
aplicación del insumo,
6
Como esta estructura se parece a AX2 + BX - C = 0 y para
la resolución de estas ecuaciones se hace uso de la
fórmula
3
sustituyendo el valor de X en la función de producción se encuentra el nivel
de producción de máximo beneficio.
Y = 3 (6.5) + 2 (6.5)2 - 0.2 (6.5)3
Y = 49
Para la determinación gráfica del nivel de aplicación de insumo, los
datos se organizan de la siguiente manera y luego se hace la gráfica.
X
Y
PMg
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4.8
12.4
21.6
31.6
40.0
46.8
50.4
49.6
43.2
6.4
8.6
9.6
9.4
8.0
5.4
1.6
-3.6
-9.6
Py PMg
V PMg *
19.2
25.8
28.8
28.2
24.0
36.2
4.8
-10.8
-28.8
Px
7
7
7
7
7
7
7
7
7
* valor del producto marginal
Valor del producto marginal
40
30
VPMg, Px
20
10
0
-10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
VPMg
Px
-20
-30
-40
Insumos
general. X = -b ±¹b2 - 4ac / 2a
4
La condición de maximización es Py PMg = Px y se puede convertir en
PMg = Px / Py, el producto marginal del insumo variable debe ser igual a la
relación entre el precio del insumo y el precio del producto. Si Px / Py = 3 la
última unidad del insumo debe agregar 3 unidades a la producción. En
conclusión, el nivel de aplicación del insumo depende de Px, Py y de la
relación física entre insumo y producto.
DETERMINACION DE LA PRODUCCION OPTIMA ECONOMICA CUANDO
SE CONOCE LA FUNCION DE COSTOS
Cuando la diferencia entre el ingreso total y el costo total es máxima los
beneficios son máximos, cuando esto sucede se ha encontrado el nivel
óptimo de producción de la empresa, y por tanto, dada la función de
producción, el nivel óptimo de utilización de insumos es
1
BT = IT - CT
2
IT = Py Y
3
CT = Px X + CFT , donde Px X es el CVT
4
BT = Py Y - Px X + CFT, pero
X = f-1 (Y)
5
BT = Py Y - Px ƒ-1 (Y) - CFT
Dado que en 5 los beneficios dependen únicamente del nivel de producción,
las condiciones marginales para la maximización de beneficios se convierte
en:
dBT/dy = Py - Px dx/dy = 0
la dy/dx nos indica cómo cambia el nivel de utilización del insumo cuando
varía la producción, de donde se tiene que
dx/dy = 1/dy/dx = 1/PMg
Por lo que la condición marginal puede escribirse como:
dBT/dy = Py -Px/PMg = 0
dado que sabemos que CMg = Px/PMg
entonces, la condición de
maximización también puede escribirse como:
dBT/dy = Py - CMg = 0
Px = CMg
5
En forma más general, la diferenciación de la ecuación de beneficios
puede escribirse como:
dBT/dy = dIT/dy - dCT/dy = 0
dBT/dy = IMg - CMg = 0
IMg = CMg esto se da sólo en competencia perfecta.
OPTIMIZACION CON UN INSUMO VARIABLE
Sea la función Y = 3X + 2X2 - 0.2X3
insumo producto
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
4.8
12.4
21.6
31.2
40.0
16.8
50.4
49.6
43.2
PMg
exacto
6.40
8.6
9.6
9.4
8.0
5.4
1.6
-3.4
-9.6
IT
0
14.4
37.2
64.8
93.6
120.0
140.4
151.2
148.8
129.6
IMg
3
3
3
3
3
3
3
3
3
CT
100
107
114
121
128
135
142
149
156
163
CMg
exácto
1.9
0.82
0.73
0.74
0.88
1.30
4.38
---------------------
BT
-100
-92.6
-76.8
-56.2
-36.4
-15.0
-01.6
-02.2
-07.2
-33.4
IT = Py Y ; Py = 3, IT = 3Y por lo tanto dIT/dY = 3, y sabiendo que el precio es
Px = 7.
Podemos calcular el CMg sin tener la función de CT, simplemente
sabiendo que CMg = Px / PMg. De la misma manera podemos calcular CVM, y
es CVM = Px / PM, el IMg = Py = 3.
PARA SABER EL NIVEL ÓPTIMO DE LA PRODUCCIÓN
insumo
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Producto
0
4.8
12.4
21.6
31.2
40.0
46.8
50.4
49.6
CVM
CMg
IMg
CMT
---------------- ---------------- ---------------- ---------------1.46
1.09
3
22.29
1.13
0.82
3
9.19
0.97
0.73
3
5.60
0.90
0.74
3
4.10
0.88
0.88
3
3.38
0.90
1.30
3
3.03
0.96
4.38
3
2.93
1.13
---------------3
3.15
6
9
43.2
1.46
----------------
3
3.77
El punto óptimo se encuentra entre el insumo 6 y 7 y todos los demás
valores de la fila.
¿PRODUCIR O NO PRODUCIR?
En el corto plazo el productor debe producir sólo si el precio que
recibe por su producto es mayor que el costo variable medio. Esto es así
porque en el corto plazo de cualquier modo debe pagar los costos fijos y si
el precio no cubre el costo variable medio (CVM), además de los costos fijos
perderá parte de los costos variables. En el largo plazo sólo producirá si el
precio del producto es mayor que el CMT ya que en el largo plazo puede
ajustar todos los máximos (fijos y variables) o retirarse del negocio.
CVMmín = Px / PM , cuando PM es máximo.
De la función de producción el producto medio es:
PM = 3 + 2X - 0.2X2
donde la dPM/dx = 2 - 0.4X esto es igual a 2 / 0.4 = X y X=5
PMmax = 3 + 2X - 0.2X2 = 3 + 2 (5) - 0.2 (5)2 = 10
CVMmin = Px / PM = 7/10 = 0.70
A corto plazo se produce si y sólo si Py = 0.70, es decir, si el precio del
producto es menor o igual al costo variable medio mínimo. A largo plazo se
produce sólo si el precio del producto es mayor que el costo medio total.
¿Qué pasa si aumenta el precio del insumo? El precio del insumo
ocaciona movimientos de la curva de costo marginal; es decir, que el mínimo
nivel de producción se puede obtener a mayor costo, y, por lo tanto, si el
precio del producto permanece constante, se produce menos. El cambio del
precio del producto ocaciona movimientos a lo largo de la curva de CMg, lo
que implica que si aumenta el precio del producto y todo "permanece
constante", el productor está dispuesto a incrementar su producción.
Comparación del método de optimización de insumos y el método de
optimización de la producción como criterios de maximización del beneficio
total.
El criterio del óptimo de insumos es:
VPMg = Px implica que Py PMg = Px
Py ( dy/dx ) = Px lo que implica que Py ( dx/dy ) = CMg
Py dy = Mide el incremento en el ingreso debido a un
7
incremento de la producción. Es el valor de la
producción adicional.
Px dx = Mide el incremento del costo debido a un incremento
en la utilización del insumo. Es el costo de las
unidades adicionales de insumo.
Bajo el criterio de la producción óptima
Py = CMg
Py = Px/PMg = Px / PMg
Py = Px /(dy/dx) = Px /(dy/dx)
Px = Px / (dx/dy)
Py dy = Px dx
Los dos Métodos son comparables y conducen a la misma condición
de maximización. El CMg y el IMg se refieren a unidades de producto. Un
aumento de una unidad de producto incrementa el ingreso total en Py dy =
IMg, e incrementa el
CT en Px /dy/dx = Px dx/ dy = CMg.22
22
El criterio de CMg = IMg no debe usarse cuando se habla de
ingresos o costos por unidad de insumo.
El criterio de VPMg = Px no debe usarse cuando se habla de
unidades adicionales de producto.
8