Evaluación de polinomios. Raíces. Búsqueda de raíces. Criterio de

UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES
ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
Cómo trabajar con polinomios en el programa Mathematica.
POLINOMIOS: Operaciones. Cociente.Raíces y factorización.
Operamos con polinomios utilizando el programa Mathematica .
p@x_D := 2 x6 + x − 2
q@x_D := − x3 + 3 x2 + 1
r@x_D := x2 + 1
p@xD q@xD − 2 r@xD êê Expand
Sobre la división de polinomios
Dado dos polinomios D @xD y d @xD ∫ 0 , se puede encontrar un "cociente" q @xD y un "resto" r @xD tales que:
D @xD = q @xD d @xD + r @xD
con r@xD = 0
ó
grado r@xD < grado d @xD.
Por ejemplo, dividimos p @xD por q @xD , dados más arriba:
Para calcular el cociente:
PolynomialQuotient @p@xD, q@xD, xD
Para calcular el resto de la división:
PolynomialRemainder @p@xD, q@xD, xD
Comprobamos el resultado.
I−2 x3 − 6 x2 − 18 x − 56M q@xD + I174 x2 + 19 x + 54M êê Simplify
Evaluación de polinomios. Raíces.
Dado un polinomio p @xD y un número a , p @aD es la evaluación de p @xD en a.
Si p @aD = 0 decimos que a es una raíz de p @xD.
Si graficamos un polinomio p @xD , las raíces reales son los puntos donde la gráfica corta al eje x.
Por ejemplo, graficamos x3 - 2 x + 1.
PlotAx3 − 3 x + 1, 8x, −3, 3<E;
Vemos que tiene tres raíces: una cerca de -2, otra cerca de 0.3 y la última cerca de 1.5
Si hacemos clik con el ratón sobre la gráfica y mantenemos apretadas las teclas "control" y "Alt" , las coordenadas del
punto señalado por el ratón aparecen abajo a al izquierda. Así tenemos una idea mejor de las raíces:
-1.9 , 0.3 , 1.5
Búsqueda de raíces. Criterio de Gauss.
Ejemplo 1
Sea a@xD = x3 + x2 - 4 x - 4
Como a3 = 1 las únicas posibles raíces racionales son enteras: ≤ 1 , ≤2 , ≤4.
Evaluamos el polinomio en ellas para averiguar cuáles son raíces.
2
Clase1_Mathematica_AGA09.nb
a@x_D := x3 + x2 − 4 x − 4
8a@1D , a@−1D, a@2D, a@−2D, a@4D, a@−4D<
Se ve las raíces son -1 , 2 y -2. Como son tres raíces distintas y el polinomio tiene grado 3,
no tiene más raíces.
Multiplicidad de raíces. Raíces complejas
Consideremos tres polinomios de grado 2 y los graficamos.
PlotA9x2 − 2 x, x2 − 2 x + 1, x2 − 2 x + 2=, 8x, −1, 3<E;
El primero x2 - 2 x = xHx - 2L tiene dos raíces reales y distintas: x = 0 y 2
El segundo x2 - 2 x + 1 = Hx - 1L2 tiene una única raíz real: x = 1 pero es "doble".
El tercero x2 - 2 x + 2 = Hx - 1 - ÂL Hx - 1 + ÂL tiene dos raíces complejas distintas: x = -1 ≤ Â
Estos ejemplos ilustran lo que vale en general para polinomios de grado 2 con coeficientes reales: pueden aparecer dos raíces
reales y distintas, una raíz múltiple (doble), o dos raíces complejas conjugadas.
Ecuaciones de tercero y cuarto grado
Para polinomios de grado 3 ó 4 hay fórmulas que permiten calcular las raíces en forma exacta pero son bastante complejas.
Veamos ejemplos.
q@x_D := x3 − 3 x − 1;
Plot@q@xD, 8x, −2, 2<D;
Solve@q@xD 0, xD
Desde el gráfico, vemos que el polinomio tiene tres raíces reales distintas.
Las expresiones exactas de las raíces usan números complejos para describirlas y se ve cuán complicadas son. Es preferible
usar valores aproximados.
NSolve@q@xD 0, xD
Otro ejemplo: Calcular las raices de x3 − 15 x − 4
PlotAx3 − 15 x − 4, 8x, −4, 5<E;
SolveAx3 − 15 x − 4 0, xE
:8x → 4<, :x → −2 −
3 >, :x → −2 +
3 >>
Ejercicios
a) Sea
p @xD = a0 + a1 x + a2 x2 + x3
de grado 3 y mónico .
Si a, b y g son sus tres raíces (iguales o no) probar que:
a0 = -abg ; a1 = ab + ag + bg ; a2 = - Ha + b + gL
b) Comprobar esas relaciones para los polinomios
x3 - 2 x2 + x - 2 y
x3 - 3 x2 + 4 .
Con el programa obtenemos las relaciones correspondientes para polinomios de grado 4.
Clase1_Mathematica_AGA09.nb
4
a = 8α, β, γ, δ<; ExpandB‰ Hx − a@@iDDLF
i=1
c) Si el polinomio es x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 y sus raíces son a, b, g , d se tienen las relaciones:
a0 = abgd
a1 = -Habg + abd + agd + bgdL
a0 =producto de las 4 raíces.
a2 = ab + ag + ad + bg + bd + gd
a3 = -Ha + b + g + dL
a3 = - suma de las cuatro raíces
Polinomios de grado mayor a cuatro
a.- Calculamos las raíces de z6 + z + 1 con el programa.
NSolveAz6 + z + 1 0, zE
88z → −0.790667 − 0.300507 <, 8z → −0.790667 + 0.300507 <, 8z → −0.154735 − 1.03838 <,
8z → −0.154735 + 1.03838 <, 8z → 0.945402 − 0.611837 <, 8z → 0.945402 + 0.611837 <<
b.− Calculamos las raíces de x 7 − x
y graficamos .
p@x_D := x7 − x; Solve@p@xD 0, xD H∗se resuelve la ecuación∗L
Plot@p@xD, 8x, −2, 2<D H∗podemos graficar y ver las raíces reales∗L
c.− Otro ejemplo : Resolvemos una ecuación de sexto grado.
3
SolveB2 Ix 2 + 1M − x 2 − 2 0, xF
3
NSolveB2 Ix 2 + 1M − x 2 − 2 0, xF
Cálculo de las potencias de un binomio
∗ Ejemplo 1
5
ExpandBI1 − x2 M F
1 − 5 x2 + 10 x4 − 10 x6 + 5 x8 − x10
∗ Ejemplo 2
15
ExpandBI−3 a + 56 b4 M F
3