Triangles. Exercicis

1
De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.
2
De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.
3
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.
4
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.
5
Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.
6
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.
7
Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.
8
Calcula la altura, h, de la figura:
9
Calcula la distancia que separa el punto A del punto inaccesible B.
10
Calcula la distancia que separa entre dos puntos inaccesibles A y B.
11
Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y a=20m.
12
El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a
dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.
13
Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48°
15'. Calcular los lados.
Solucións
Problema 1
De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.
Problema 2
De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.
Problema 3
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.
Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura
muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.
Problema 4
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.
Problema 5
Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.
Problema 6
Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.
Problema 7
Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.
Problema 8
Calcula la altura, h, de la figura:
Problema 9
Calcula la distancia que separa a los puntos A y B.
Problema 10
Calcula la distancia que separa entre dos puntos inaccesibles A y B.
Problema 11
Calcular el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y a=20m.
Problema 12
El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha
circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.
Problema 13
Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'.
Calcular los lados.
1.-
S'ha col·locat a la terrassa d'una casa una antena d'1,5m. d''alçària. Des d'un punt del carrer
mesurem els angles d'elevació de la base de l'antena i del seu extrem superior, que són de
46º i 50º, respectivament. Quina alçària té la casa?. (9,94 m.)
2.-
Dos satèl·lits són a una distància de 470 km d'un observatori. Si l'angle que formen les
visuals des de l'observatori als satèlits és de 39º54', quina distància separa els satèl·lits?
(320,73 km)
3.-
Un bus baixa al fons d'un llac per recollir un objecte seguint una traj ectòria rectilínia
d'inclinació 30º. Compleix el seu objectiu i surt a la superfície en un altre punt del mateix
pla vertical seguint una altra trajectòria rectilínia d'inclinació 35º. Si la distància en la
superfície entre el punt d'entrada i el de sortida és de 100 m, esbrina la profunditat del llac.
(31,64 m)
4.-
Dos observatoris, situats a la mateixa latitud i separats 1200 km, localitzen l'epicentre d'un
sisme amb angles de 218º i 126º respecte del nord. A quina distància de l'epicentre estan
situats? (dA=705,77 km, dB=946,19 km)
5.-
Calcula l'alçària de l'edifici de la figura si α = 15º, β = 20º i d = 10 m (10,16 m)
6.-
Les visuals dalt d'un torre des de dos punts A i B del pla horitzontal, separats 300 m entre
ells, formen amb el segment AB angles de 50º i 45º, respectivament. Calcula la distància des
de dalt de la torre als dos punts. (dA=212,94 m, dB=230,69 m)
7.-
Les visuals al cim d'un turó des de dos punts A i B del pla horitzontal, separats 300 m entre
ells, formen amb el segment AB angles de 73º i 77º, respectivament. Si l'angle d'elevació de
la visual des de B és de 59º, calcula l'altitud del turó. (491,83 m)
8.-
Determina, amb les dades de la figura, la distància entre els cims M i N de dues muntanyes.
Tingues en compte que BM i AN estan en el mateix pla i que AB = 2500 m.
NAB = 20º, MAB = 40º, ABM = 40º, ABN = 130º
Calcula també l'altitud de les muntanyes si els angles d'elevació des de B a M i N són,
respectivament, de 20º i 32º. (d = 2363,70 m, hM = 558,09 m, hN = 906,22 m)
9.-
Des d'un punt A veiem el punt més alt d'un castell B, de manera que la visual del punt A a B
amb l'horitzontal forma un angle de 45º. Si ens movem paral·lelament al castell fins a un
punt C que dista 600 metres del punt A, la visual des del punt A amb els punts B i C forma
un angle de 60º. Si la visual des del punt C amb els punts A i B forma una angle de 50º,
calcula l'altura a què es troba el punt B. (325,01m)
10.-
Demostra que en un triangle de costats a, b, i c, el valor de la mediana, ma, sobre el costat a,
1
2
2
2
és : ma = √2b + 2c − a
2
(Utilitzeu el teorema del cosinus sobre l'angle B)
11-
Demostreu les següents igualtats:
1+ sin α
cos α
=
cos α
1− sin α
cos 4 α− sin4 α=2 cos 2 α− 1
12.-
Simplifiqueu les següents expressions:
sin(π+ α )cos( π − α)
2
(1)
2
(cos α− 1)tan (π− α)cot(2 π− α)
13.-
tan(180º− α)cot (360º− α)
(-1)
sec α cos( 180º− α)
14.-
sin 2 (π− α)cos ( π − α)tan (π+ α)
2
2
sin α(1− cos α) sin(2 π− α)
(− sec α)
15.-
sin( π − α)
2
π
tan ( − α) tan (π− α)−
2
cos ( π+ α)
(0)
16.-
tan ( 90º− α) tan( 180º+ α)
cos α
sin(90º− α)
17.-
1− cos 2 α+ tan( π+ α) tan( π− α)− cos 2 ( π − α)
2
2
2 π
tan (2 π− α)tan ( − α)
2
(1)
Resoleu les següents equacions trigonomètriques:
(− tan2 α)
2
1.− tan x=2 sin x
2.− 4 tan x ·cos 2 x=√(3)
3
3.− cos x ·cotan x =
2
4.− sin x+ cos x=√2
5.− (tan x− 1)·(4 sin 2 x− 3)=0