Bode

METODOS DE RESPUESTA DE FRECUENCIA.
Un ángulo de fase negativo se le llama retardo de fase y un ángulo de fase positivo
adelanto de fase.
Para caracterizar totalmente un sistema lineal en el dominio de la frecuencia, se
debe especificar tanto la relación de amplitud como el ángulo de fase en la función de ω.
X(t) = sen ωt
ø
y(t) = y sen (ωt + ø)
DIAGRAMAS LOGARITMICOS O DIAGRAMAS DE BODE.
Se representa a la función por dos diagramas distintos un oque da la amplitud en
función del a frecuencia y el otro del ángulo de fase en función del a fase.
Se utilizas papel semi logarítmico externo para el trazado .
La amplitud logarítmica de | G(jω) | = 20 log | G(jω) |.
La ventaja de usar diagramas logarítmicos es que se puede convertir la multiplicación de
amplitud de
. y existe un método para trazar una función aproximada del
logaritmo del a amplitud
la aproximación asintota.
La representación logarítmica es útil porque la característica
20 log
1 = - 20 log ω db
jω
20 log |vω| = 20 log ω db
- jω
= - tg-1 ω =
0
- π = -90°
2
jω
= π
2
= 90°
ø
ø
1
jω
0° -
jω
-90°
90°
-180°
ω
-180°
GANANCIA K PARA K > 0
20 Log10 |K| e suna línea recta horizontal, la amplitud de 20 log10 K db el ángulo es 0.
Mag en db
20 log10 |Kb|
K>0
10 log10 ω rad
Angulo de
0°
fase
-180°
K>0
ω rad / seg
Ω
FACTORES BÁSICOS DE G(jω) H(jω) SON:
1.- Ganancia K
2.- factores integrados y derivados (jω)±l.
3.- factores de 1er orden (1+j ωT)±l.
4.- factores cuadráticos ( 1+ 2j (jω / ωn) + (jω / ωn).
Se puede trazar en forma derivada trazando las curvas para cada factor u después se
suman porque l asuma del os logaritmos corresponde a multiplicarlos entre si.
En diagramas logarítmicos se exponen las relaciones de frecuencia en octavas o
décadas. Una octava es una banda de frecuencia ω1 a 2ω1 donde ω1 es cualquier valor. Una
década e suna banda de frecuencia desde ω1 a 10ω1 donde ω1 es cualquier frecuencia (la
misma); por ejemplo: la distancia entre ωf 1 a 10 es igual a ω = 3 a 30
20 log
1
= - n x 20 log ω = - 20 log ω
n
(jω)
20 log | (jω) | = 20 n log ω db
se aproxima por dos líneas rectas asíntotas una 0 db - y otra (1+jωT) con pendiente
-20db/decada.
-20 db / decada o – 6 db 1 octava para el rango de frecuencia 1/T < ω < ∞
La frecuencia en que se encuentran las dos asíntotas se le llama frecuencia de transición o
corte (o codo).
Para
1
(1 + jωT)
la frecuencia es
ω = 1
T
ya que
En este punto las dos asíntotas tienen el mismo valor, se divide la curva en dos regiones,
una curva para la región de bajas frecuencias y un apara la región de altas frecuencias.
Ø = -tan-1 ωT
Cuando ω = 1/T
Ø = -tan-1 T/T = - 45°
FACTOR DE PRIMER ORDEN (1 + jωT)±l
(1 + jωT)-l 20 log
1
1 + jωT
l
= - 20 log √ 1 + ω2T2 db
Para bajas frecuencias ω << 1/T se aproxima el logaritmo como
- 20 log √ 1 + ω2T2 = - 20 log 1 = 0 db
Para ω >> 1/T
- 20 log √ 1 + ω2T2
= - 20 log ωT.
El valor de – 20 log ωT disminuye en 20 db por cada década de ω
En ω = 1/ T 20 log | G | = - 20 log Z = - 3.01 db.
Construir las representaciones de bode para las funciones de
respuesta de frecuencia.
GH ( Jω) =
2
Jω (1+ jω /2) (1+ Jω)
Una asuntota en linea recta con pendiente negativa se puede usar
para unir la asuntota de 0° y la de -90° defajando sera lineal desde la
asuntota de 0° en ω= P/5 hasta la de -90° en ω=P/5 en tangente de –
ω; ω=P
GH ( Jω) =
2
ω
Jω (1+ jω /2) (1+ Jω) .1
.2
.4
│GH(Jω)│ =
2
1
2
ω2√ 1+ ω2/4 √1+ ω2 4
10
20
40
ω
.2
.4
1
2
4
10
20
∟GH(Jω)
-94°
-98°
-105°
-128°
-157°
/25
-192°
-232|
-250°
-180°
│GH(Jω)│
19.94
13.78
4.88
-3.65
-15.16
-35.12
-52.34
∟ GH Jω = -∟J ω - ∟1+ Jω/2 - ∟1+ J ω /5
π/2 – tg-1 ω/2 - tg-1 ω/5 = 180°
El angulo de fase se tiene en los siguientes puntos.
± 45°
ω = 1/T
± 26.6°
ω= 1/2T
±5.7°
ω=1/10T
±63.4°
ω= 2/T
± 84.3°
ω=10/T
Factor cuadratico
[ 1+2δ( J ω/ ωη) + (Jω/ ωη)2 ]
si δ> 1 son dos polos reales de primer orden
si 0< δ < 1 este factor es el producto de 2 asuntotas alas curvas de
respuesta de frecuencia no son exactas para un factor con valores
bajos de δ esto es porque la amplitud y fase del factor cuadratico
depende de las frecuencias de transmisión y de la relacion de
amortiguamiento δ.
20 log │
1
│
1+2δ(J ω/ ωη) + (Jω/ωη)2
-20 log √ (1-ω2ωη2)2 + (2δ ω/ω2 )2
paraω<<ωη el logaritmo de las amplitudes
-20 log 1 = 0db
para ω>> ωη el logaritmo de la amplitud
es -20 log ω2/ωη2= -40 log ω/ωη db
sera una linea recta con pendiente -40 db7 decadas
Graficar
ς=1/2
ωη=2
G(Jω) = [ s2+2ς ωηs+ωη2]
2s(s+.5)(s+4)
G(Jω)= 2[(Jω)2+ 2ςωηJω+ωη2]
Jω(Jω+.5)(Jω+4)
=4[ 1+Jω/2+(Jω/2)2]
2x4x.5Jω(Jω/.5+1)(Jω/4+1)
=[1+Jω/2+(Jω/2)2]
Jω(1+Jω/.5)(1+Jω/4)