Tema: Funciones Cuadráticas f(x) = a(x – h)2 + k Descripción: Las

Tema: Funciones Cuadráticas f(x) = a(x – h)2 + k
Descripción: Las funciones cuadráticas f(x) no siempre están en el formato
a(x – h)2 + k. Para escribirlas así debemos completar el cuadrado. Este formato
es conveniente para el trazado de la gráfica, ya que podemos trasladarlas
verticalmente, horizontalmente, comprimirlas, expandirlas o reflejarlas. También
se puede hallar el vértice de la parábola, y si a es negativo, la parábola abre
hacia abajo, si a es positivo abre hacia arriba.
Ejemplo:
Completando el cuadrado, escriba f(x) = 2 x 2 + 5 x − 6 .
Solución:
f(x) = 2 x 2 + 5 x − 6
5


f(x) = 2 x 2 + x ____  − 6
2


5
25 
25

f(x) = 2 x 2 + x +  − 6 −
2
16 
8

2
5
73

f(x) = 2 x +  −
4
8

Comparándola con f(x) = x2, se trasladó 5/4 unidades hacia la izquierda y 73/8
hacia abajo. No se reflejó porque a = 2 es positivo. Se comprimió porque a es
mayor que 1.
Para dibujar la gráfica con mayor precisión se hallará el vértice. El vértice (h,k)
1
 5 73   1
de la parábola es  − ,−  =  − 1 ,−9  . Para trazar la gráfica, se localiza el
8
 4 8  4
vértice en el cuadrante III y se halla f(-2) = -8. Por simetría con respecto a
x = - 5/4, se obtiene f(-1/2) = -8. Con esos tres puntos es posible precisar mejor
la gráfica.
Una forma alterna de hallar el vértice es aplicando la fórmula h =
−b
y
2a
4ac − b 2
−b
ó f
 . En este ejemplo, a = 2, b = 5 y c = -6. Así que,
4a
 2a 
−5 −5
4(2)(−6) − (5) 2 − 48 − 25 − 73
 − 5  − 73
=
h =
yk =
. Además, f 
.
=
=
=
2(2)
4
4( 2)
8
8
8
 4 
k =
Ejercicios:
Escriba la función f(x) de la forma a(x – h)2 + k y halle el vértice completando el
cuadrado o aplicando las fórmulas:
1)
2)
3)
4)
5)
f(x) = x 2 − 4 x − 7
f(x) = 2 x 2 + 8 x − 3
f(x) = - x 2 − 2 x + 5
f(x) = 5 x 2 − 9 x + 10
f(x) = x 2 − 16 x + 64
Soluciones:
1) f(x) = ( x − 2) 2 − 11 ; Vértice = (2,-11)
2) f(x) = 2( x + 2) 2 − 11 ; Vértice = (-2,-11)
3) f(x) = - ( x + 1) 2 + 6 ; Vértice = (-1,6)
2
9
119

4) f(x) = 5 x −
; Vértice =
 +
10 
20

5) f(x) = ( x − 8) 2 ; Vértice = (8,0)
 9 119 

 ,
 10 20 