Tema: Funciones Cuadráticas f(x) = a(x – h)2 + k
Descripción: Las funciones cuadráticas f(x) no siempre están en el formato
a(x – h)2 + k. Para escribirlas así debemos completar el cuadrado. Este formato
es conveniente para el trazado de la gráfica, ya que podemos trasladarlas
verticalmente, horizontalmente, comprimirlas, expandirlas o reflejarlas. También
se puede hallar el vértice de la parábola, y si a es negativo, la parábola abre
hacia abajo, si a es positivo abre hacia arriba.
Ejemplo:
Completando el cuadrado, escriba f(x) = 2 x 2 + 5 x − 6 .
Solución:
f(x) = 2 x 2 + 5 x − 6
5
f(x) = 2 x 2 + x ____ − 6
2
5
25
25
f(x) = 2 x 2 + x + − 6 −
2
16
8
2
5
73
f(x) = 2 x + −
4
8
Comparándola con f(x) = x2, se trasladó 5/4 unidades hacia la izquierda y 73/8
hacia abajo. No se reflejó porque a = 2 es positivo. Se comprimió porque a es
mayor que 1.
Para dibujar la gráfica con mayor precisión se hallará el vértice. El vértice (h,k)
1
5 73 1
de la parábola es − ,− = − 1 ,−9 . Para trazar la gráfica, se localiza el
8
4 8 4
vértice en el cuadrante III y se halla f(-2) = -8. Por simetría con respecto a
x = - 5/4, se obtiene f(-1/2) = -8. Con esos tres puntos es posible precisar mejor
la gráfica.
Una forma alterna de hallar el vértice es aplicando la fórmula h =
−b
y
2a
4ac − b 2
−b
ó f
. En este ejemplo, a = 2, b = 5 y c = -6. Así que,
4a
2a
−5 −5
4(2)(−6) − (5) 2 − 48 − 25 − 73
− 5 − 73
=
h =
yk =
. Además, f
.
=
=
=
2(2)
4
4( 2)
8
8
8
4
k =
Ejercicios:
Escriba la función f(x) de la forma a(x – h)2 + k y halle el vértice completando el
cuadrado o aplicando las fórmulas:
1)
2)
3)
4)
5)
f(x) = x 2 − 4 x − 7
f(x) = 2 x 2 + 8 x − 3
f(x) = - x 2 − 2 x + 5
f(x) = 5 x 2 − 9 x + 10
f(x) = x 2 − 16 x + 64
Soluciones:
1) f(x) = ( x − 2) 2 − 11 ; Vértice = (2,-11)
2) f(x) = 2( x + 2) 2 − 11 ; Vértice = (-2,-11)
3) f(x) = - ( x + 1) 2 + 6 ; Vértice = (-1,6)
2
9
119
4) f(x) = 5 x −
; Vértice =
+
10
20
5) f(x) = ( x − 8) 2 ; Vértice = (8,0)
9 119
,
10 20
0
