Sota, caballo y rey,Hay comparaciones que no son odiosas,El error

Sota, caballo y rey
A diario nos enfrentamos a multitud de situaciones en las que siempre
actuamos de la misma manera. Decimos que vamos a sota, caballo y rey. Y
esto es bueno, porque se supone que este tipo de actuaciones nos salen de
forma rutinaria, sin tener que pensar en ellas.
El problema es que para hacer una cosa a sota, caballo y rey tenemos que
comprender bien cómo hacerla. De lo contrario podemos hacer cualquier cosa
menos lo que pretendemos.
Un ejemplo es el contraste de hipótesis. Siempre es lo mismo: sota,
caballo y rey. Y, sin embargo, al principio nos parece algo más complicado
de lo que realmente es. Porque, con independencia del contraste que estemos
haciendo, los pasos a seguir son siempre los mismos: establecer nuestra
hipótesis nula, seleccionar el estadístico adecuado para cada situación,
utilizar las distribución de probabilidad correspondiente para calcular la
probabilidad de ese valor del estadístico que hemos empleado y, según este
valor de probabilidad, decidirnos en favor de la hipótesis nula o de la
alternativa. Vamos a analizar estos pasos uno a uno y utilizando un ejemplo
concreto para comprenderlos mejor.
Supongamos que hemos medido la
altura de 25 niños de una clase de un
colegio y hemos obtenido las tallas que
se muestran en la tabla. Si lo
calculáis, la media de talla de nuestro
grupo es de 135,4 cm, con una desviación
estándar de 2,85 cm. Ahora resulta que
hay un estudio previo a nivel de toda la
provincia en la que se estima una talla
de 138 para los niños de la edad de
nuestra clase. La pregunta que nos
planteamos es la siguiente: ¿son
nuestros niños más bajos que la media o la diferencia se debe al azar de
muestreo?. Ya tenemos nuestro contraste de hipótesis.
Lo primero, establezcamos la hipótesis nula y la alternativa. Como ya
sabemos, cuando hacemos un contraste de hipótesis podemos rechazar la
hipótesis nula si el estadístico del contraste tiene una determinada
probabilidad. Lo que no podemos hacer nunca es aceptarla, solo rechazarla.
Por eso se plantea habitualmente la hipótesis nula como lo contrario a lo
que queremos demostrar, para poder rechazar lo que no queremos demostrar y
aceptar lo que sí queremos demostrar.
En nuestro caso vamos a plantear la hipótesis nula de que la talla de
nuestros alumnos es igual a la de la media de la provincia y que la
diferencia encontrada es debida al error de muestreo, al puro azar. Por
otra parte, la hipótesis alternativa plantea que sí existe una diferencia y
que nuestros niños son más bajos.
Una vez planteadas la hipótesis nula y alternativa tenemos que elegir el
estadístico adecuado para este contraste de hipótesis. Este caso es uno de
los más sencillos, el de comparación de dos medias, la nuestra y la de la
población. En este caso, nuestra media estandarizada respecto a la de la
población sigue una distribución t de Student, según la siguiente fórmula
que me vais a permitir:
t = (media del grupo – media de población) / error estándar de la media
Así que sustituimos la media por nuestro valor (135,4 cm), la media
poblacional por 138 y el error estándar por su valor (la desviación
estándar dividida por la raíz cuadrada del tamaño muestral) y obtenemos un
valor de t de -4,55.
Ahora tenemos que calcular la probabilidad de que t sea igual a -4,55.
Si pensamos un poco veremos que en el caso de que las dos medias fuesen
iguales t tendría un valor de cero. Cuánto más distintas sean, más se
alejará el valor de t del cero. Nosotros queremos saber si esta desviación,
de cero a -4,55, se debe al azar. Para ello calculamos la probabilidad de
que t valga -4,55 utilizando una tabla de la distribución de la t de
Student o un programa informático, obteniendo un valor de p = 0,0001.
Ya tenemos el valor de p, así que solo nos queda el último paso, ver si
podemos rechazar la hipótesis nula. El valor de p nos indica la
probabilidad de que la diferencia observada entre las dos medias se deba al
azar. Como es menor de 0,05 (menor del 5%), nos sentimos lo suficientemente
seguros como para decir que no es debida al azar (o, al menos, es muy
improbable), así que rechazamos la hipótesis nula de que la diferencia se
debe al azar y abrazamos la hipótesis alternativa de que las dos medias son
realmente diferentes. Conclusión: nos ha tocado la clase de los más canijos
de la provincia.
Y esto es todo respecto al contraste de hipótesis de igualdad de dos
medias. En este caso hemos hecho una prueba de la t de Student para una
muestra, pero lo importante es que os fijéis en la dinámica del contraste
de hipótesis. Siempre es la misma: sota, caballo y rey. Lo que cambia,
lógicamente, es el estadístico y la distribución de probabilidad que usamos
en cada ocasión.
Para terminar solo me queda llamar vuestra atención sobre otro método
que podríamos haber utilizado para saber si las muestra son diferentes.
Este no es más que recurrir a nuestros queridos intervalos de confianza.
Podríamos haber calculado el intervalo de confianza de nuestra media y ver
si incluía la media de la población, en cuyo caso habríamos concluido que
eran similares. Si la media poblacional hubiese estado fuera del intervalo,
habríamos rechazado la hipótesis nula, llegando lógicamente a la misma
conclusión. Pero esa es otra historia…
Hay comparaciones que no son
odiosas
Suele decirse que las comparaciones son odiosas. Y la verdad es que no
es muy conveniente comparar personas o cosas entre sí, ya que cada cual
tiene sus valores y no tiene porqué sentirse menospreciado por ser o hacer
algo de forma diferente. Así que no es de extrañar que el mismo Quijote
dijese que las comparaciones son siempre odiosas.
Claro que esto puede referirse a la vida cotidiana, porque en medicina
nos pasamos el tiempo comparando unas cosas con otras, a veces de forma más
que provechosa.
Hoy vamos a hablar de cómo comparar dos distribuciones de datos de forma
gráfica y vamos a fijarnos en una aplicación de este tipo de comparaciones
que nos sirve para comprobar si nuestros datos siguen una distribución
normal.
Imaginad por un momento que tenemos una serie de cien valores de
colesterol sérico de niños escolares. ¿Qué pasaría si representásemos los
valores frente a sí mismos de forma lineal?. Sencillo: el resultado sería
una línea recta perfecta que cruzaría la diagonal del gráfico.
Ahora pensemos que pasaría si en vez de compararla consigo misma la
comparamos con otra distribución diferente. Si las dos distribuciones de
datos son muy parecidas, los puntos del gráfico se colocarán muy cerca de
la diagonal. Si las distribuciones difieren, los puntos se irán lejos de la
diagonal, tanto más lejos cuanto más diferentes sean las dos
distribuciones.
Veamos
algún
ejemplo.
Supongamos que dividimos nuestra distribución en dos partes, el
colesterol de los niños y el de las niñas. Según nos dice nuestra
imaginación, nuestros niños comen más bollería industrial que las niñas,
así que sus valores de colesterol son mayores, como podéis comprobar si
comparáis la curva de las niñas (negro) con la de los niños (azul). Ahora,
si representamos los valores de las niñas frente a los de los niños de
forma lineal, tal como puede verse en gráfico, los valores se alejan de la
diagonal, estando de manera uniforme por encima de ella. ¿Esto a que se
debe?. A que los valores de los niños son mayores y diferentes de los de
las niñas.
Me diréis que todo esto está muy bien pero que puede resultar un poco
innecesario. Total, si queremos saber cuáles tienen el valor más alto no
tenemos más que mirar las curvas. Y tendréis razón en este caso, pero este
tipo de gráficos se ha ideado para otra cosa, que no es otra que para
comparar una distribución con su equivalente normal.
Imaginad que tenemos nuestra primera distribución y queremos saber si
sigue una distribución normal. No tenemos más que calcular su media y su
desviación estándar y representar sus quantiles frente a los quantiles de
la distribución estándar teórica con la misma media y desviación. Si
nuestra distribución es normal, los datos se alinearán cerca de la diagonal
del gráfico. Cuanto más se alejen, menos probable será que nuestros datos
sigan una distribución normal. Este tipo de gráfico se conoce como gráfico
de quantil-quantil o, más comúnmente, por su nombre abreviado en inglés, qq plot.
Veamos algún ejemplo de q-q plot para entenderlo mejor. En el segundo
gráfico veis dos curvas, una azul que representa una distribución normal y
una negra que sigue una t de Student. A la derecha podéis ver el q-q plot
de la distribución de la t de Student. Los datos de la parte central se
ajustan bastante bien a la diagonal, pero los extremos lo hacen peor,
variando la pendiente de la recta. Esto nos indica que hay más datos en las
zonas de las colas de los que habría si la distribución fuese normal. Claro
que esto no debería extrañarnos, ya que sabemos que las “colas pobladas”
son una de las características de la distribución de Student.
Por último, en el tercer gráfico veis una distribución normal y su q-q
plot, en el que podemos ver cómo los datos se ajustan bastante bien a la
diagonal del gráfico.
Veis, pues, como el q-q- plot es un método gráfico sencillo para
determinar si una distribución de datos sigue una normal. Me diréis que
puede resultar un poco latoso calcular los cuantiles de nuestra
distribución y los de la normal para poder representar unos frente a otros,
pero recordad que la mayor parte de los programas de estadística lo hacen
sin esfuerzo. Sin ir más lejos, R tiene una función llamada qqnorm() que
dibuja el q-q plot en un parpadeo.
Y aquí vamos a dejar los ajustes a la normal por hoy. Recordaos que hay
otros métodos más exactos de tipo numérico para saber si los datos se
ajustan a la distribución normal, como la prueba de Kolmogorov-Smirnov o la
de Shapiro-Wilk. Pero esa es otra historia…
El error de la confianza
Nuestra vida está llena de incertidumbre. Muchas veces queremos conocer
información que está fuera de nuestro alcance, por lo que tenemos que
conformarnos con aproximaciones. El problema de las aproximaciones es que
están sujetas a error, por lo que nunca podemos estar completamente seguros
de que nuestras estimaciones sean ciertas. Eso sí, podemos medir nuestro
grado de incertidumbre.
De eso se encarga en gran parte la estadística, de cuantificar la
incertidumbre. Por ejemplo, supongamos que queremos saber cuál es el valor
medio de colesterol de los adultos de entre 18 y 65 años de la ciudad donde
vivo. Si quiero el valor medio exacto tengo que llamarlos a todos,
convencerlos para que se dejen hacer un análisis (la mayoría estarán sanos
y no querrán hacerse nada) y hacer la determinación a cada uno de ellos
para calcular después la media que quiero conocer.
El problema es que vivo en una ciudad muy grande, con unos cinco
millones de habitantes, así que es imposible desde un punto de vista
práctica determinar el colesterol a
todos los adultos del intervalo de edad
que me interesa. ¿Qué puedo hacer?.
Tomar una muestra más asequible de mi
población, calcular el valor medio de
colesterol y estimar cuál es el valor
medio de toda la población.
Así que escojo 500 individuos al azar y determino sus valores de
colesterol en sangre, en miligramos por decilitro, obteniendo una media de
165, una desviación estándar de 25 y una distribución de los valores
aparentemente normal, tal como os muestro en el gráfico que se adjunta.
Lógicamente, como la muestra es bastante grande, el valor medio de la
población probablemente estará cerca de los 165 que he obtenido de la
muestra, pero también es muy probable que no sea exactamente ese. ¿Cómo
puedo saber el valor de la población?. La respuesta es que no puedo saber
el valor exacto, pero sí aproximadamente entre qué valores está. En otras
palabras, puedo calcular un intervalo dentro del cual se encuentre el valor
inasequible de mi población, siempre con un nivel de confianza (o
incertidumbre) determinado.
Pensemos por un momento qué pasaría si repitiésemos el experimento
muchas veces. Cada vez obtendríamos un valor medio un poco diferente, pero
todos ellos deberían ser parecidos y próximos al valor real de la
población. Si repetimos el experimento cien veces y obtenemos cien valores
medios, estos valores seguirán una distribución normal con un valor medio y
una desviación estándar determinados.
Ahora bien, sabemos que, en una distribución normal, aproximadamente el
95% de la muestra se encuentra en el intervalo formado por la media más
menos dos desviaciones estándar. En el caso de la distribución de medias de
nuestros experimentos, la desviación estándar de la distribución de medias
se denomina error estándar de la media, pero su significado es el mismo que
el de cualquier desviación estándar: el intervalo comprendido por la media
más menos dos errores estándar contiene el 95% de las medias. Esto quiere
decir, aproximadamente, que la media de nuestra población se encontrará el
95% de las veces en el intervalo formado por la media de nuestro
experimento (no necesitamos repetirlo cien veces) más menos dos veces el
error estándar. ¿Y cómo se calcula el error estándar de la media?. Muy
sencillo, aplicando la fórmula siguiente:
error estándar = desviación estándar / raíz cuadrada del tamaño de la
muestra
En nuestro caso, el error estándar vale 1,12, lo que quiere decir que el
valor medio de colesterol en nuestra población se encuentra dentro del
intervalo 165 – 2,24 a 165 + 2,24 o, lo que es lo mismo, de 162,76 a
167,24, siempre con una probabilidad de error del 5% (un nivel de confianza
del 95%).
Hemos calculado así el intervalo de confianza del 95% de nuestra media,
que nos permite estimar entre qué valores se encuentra el valor real. Todos
los intervalos de confianza se calculan de forma similar, variando en cada
caso la forma de calcular el error estándar, que será diferente según se
trate de una media, una proporción, un riesgo relativo, etc.
Para terminar esta entrada comentaros que la forma en la que hemos hecho
este cálculo es una aproximación. Cuando conocemos la desviación estándar
de la población podemos utilizar una distribución normal para el cálculo
del intervalo de confianza. Si no la conocemos, que es lo habitual, y la
muestra es grande, cometeremos poco error aproximando con una normal. Pero
si la muestra es pequeña, la distribución de medias ya no sigue una normal,
sino una t de Student, por lo que tendríamos que utilizar esta distribución
para el cálculo del intervalo. Pero esa es otra historia…
El estigma de la culpabilidad
Hay veces en que los conceptos estadísticos son de gran utilidad para
otras facetas de la vida. Por ejemplo, imaginad que se produce un robo en
un banco y que el ladrón se ha introducido a través de un pequeño agujero
que ha hecho en la pared. Ahora seguid imaginando que hace cinco años un
ladrón pequeñito que salió de la cárcel hace dos meses, hizo un robo
similar. ¿A quién creéis que interrogará la policía en primer lugar?.
Todos estaréis de acuerdo en que el ladrón enano será el primer
sospechoso, pero probablemente os preguntaréis también qué tiene todo esto
que ver con la estadística. Pues os diré que es muy simple: la policía está
utilizando el concepto de probabilidad condicionada cuando piensa en su
pequeño sospechoso. Vamos a ver por partes qué es la probabilidad
condicionada y veréis que tengo razón.
Dos sucesos pueden ser dependientes o independientes. Son independientes
cuando la probabilidad de producirse uno no tiene nada que ver con la de
producirse el otro. Por ejemplo, si tiramos un dado diez veces, cada una de
esas tiradas será independiente de las anteriores (y de la siguientes). Si
sacamos un seis en una tirada, no por ello la probabilidad de sacar otro en
la siguiente es más baja, sino que sigue siendo de un sexto. Aplicando el
mismo razonamiento, si hemos tirado diez veces y no hemos tenido ningún
seis, la probabilidad de sacarlo en la siguiente tirada sigue siendo un
sexto. La probabilidad de obtener dos seises en dos tiradas sería el
producto de la probabilidad de obtenerlo en cada una: 1/6 x 1/6 = 1/36.
Expresado matemáticamente, la probabilidad de que ocurran dos sucesos
independientes es la siguiente:
P(A y B) = P(A) x P(B)
En otras ocasiones los sucesos pueden ser dependientes, lo que significa
que el que ocurra uno de ellos cambia la probabilidad de que ocurra el
otro. Hablamos entonces de probabilidad condicionada. Veamos algún ejemplo.
El más inmediato para los médicos puede ser el de los valores
predictivos positivo y negativo de las pruebas diagnósticas. La
probabilidad de que un paciente tenga un positivo en la prueba no es la
misma que la probabilidad de que esté enfermo, una vez que haya dado
positivo. Ésta, a su vez, será mayor que si ha dado negativo. Como veis, el
resultado de la prueba condiciona la probabilidad de la enfermedad.
Pensad por otro lado que estamos estudiando una población de niños para
ver cuantos tienen anemia y malnutrición. Lógicamente, los anémicos tendrán
más probabilidad de estar malnutridos. Una vez que determinamos que el niño
está anémico, la probabilidad de que esté malnutrido se incrementa. Lo
bueno de todo estos es que, si conocemos las distintas probabilidades,
podremos calcular la probabilidad de que tenga anemia una vez que hemos
constatado que está malnutrido. Vamos a verlo matemáticamente.
La probabilidad de que dos sucesos dependientes ocurran puede expresarse
de la siguiente forma:
P(A y B) = P(A) x P(B|A), donde B|A se lee como B condicionada por A.
También podríamos expresarlo cambiando A por B, de la siguiente forma:
P(A y B) = P(B) x P(A|B)
y como la parte izquierda de las dos ecuaciones es la misma podríamos
igualarlas y obtener otra ecuación diferente:
P(A) x P(B|A) = P(B) x P(A|B)
P(B|A) = [P(B) x P(A|B)] / P(A)
que es lo que se conoce como regla de Bayes, que fue un clérigo del
siglo XVIII muy aficionado a los sucesos condicionados.
Para entender su utilidad, vamos a aplicarlo al caso del valor
predictivo positivo. Supongamos una enfermedad cuya prevalencia
(probabilidad de padecerla en la población) es de 0,2 y una prueba
diagnóstica para diagnosticarla con una sensibilidad de 0,8. Si tomamos una
población y obtenemos un 30% de positivos (probabilidad 0,3), ¿cuál es la
probabilidad de que un individuo esté enfermo una vez que ha obtenido un
resultado positivo en la prueba?. Resolvamos el ejemplo:
P(enfermo|positivo) = [P(enfermo) x P(positivo|enfermo)] / P(positivo)
P(enfermo|positivo) = (prevalencia x sensibilidad) / P(prueba positiva)
P(enfermo|positivo) = (0,2 x 0,8) / 0,3 = 0,53
En resumen, si un individuo da positivo habrá un 53% de probabilidades
de que esté enfermo.
Y aquí dejamos la regla de Bayes por hoy. Hay que decir que la
contribución de Bayes a la ciencia de la estadística fue mucho más amplia.
De hecho, este tipo de razonamientos conduce a otra forma de ver la
estadística más dependiente de los sucesos que vayan ocurriendo, frente al
enfoque estadístico clásico frecuentista que empleamos la mayor parte de
las veces. Pero esa es otra historia…