     

PRODUCTO ESCALAR
 
u  v  u1  v1  u2  v2  u3  v3
PROYECCIÓN
 
 u v 
proyv u   2  v
v
   
u  v  u  v  cos
/
/
 
 u v
proyv u  
v
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO/ESPACIO
d  p, q  
x2  x1 2   y 2  y1 2  ( z 2  z1 ) 2
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
 x  x2 y1  y 2 z1  z 2 
M xm , y m    1
,
,

2
2 
 2
PRODUCTO VECTORIAL
 
 
u  v  u  v  sen
  
i
j k



 
u  v  u1 u 2 u 3  u 2  v3  u 3  v2 i  u1  v3  u 3  v1  j  u1  v 2  u 2  v1 k
v1 v 2 v3
PRODUCTO MIXTO
u1
  
u  v  w  v1
w1
u2
v2
w2
u3
v3  u1  v 2  w3  v3  w2   u 2  v1  w3  v3  w1   u 3  v1  w2  v 2  w1 
w3
ECUACIONES DE PLANOS
Ecuación vectorial (vector normal): x  x0 , y  y0 , z  z0   n1 , n2 , n3   0
Ecuación vectorial (vectores paral.):
x, y, z   x0 , y0 , z0   1  u1 , u2 , u3   2  v1 , v2 , v3 
Ecuación general: Ax  By  Cz  D  0
 x  x0  1u1   2 v1

Ecuaciones paramétricas:  y  y 0  1u 2   2 v 2
z  z  u  v
0
1 3
2 3

Ecuación segmentaria:
x
y
z
 D  D 1
D
A B C
ÁNGULO ENTRE PLANOS
A1  A2  B1  B2  C1  C 2
cos  
A12  B12  C12  A22  B22  C 22
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
d P1 ,   
A  x1  B  y1  C  z1  D
A2  B 2  C 2
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1
HAZ DE PLANOS
  A1 x  B1 y  C1 z  D1     A2 x  B2 y  C2 z  D2   0
RECTAS EN EL ESPACIO
Ecuación vectorial:
x, y, z   x0 , y0 , z0   u1 , u2 , u3 
 x  x 0    u1

Ecuaciones paramétricas:  y  y 0    u 2
 z  z   u
0
3

Ecuaciones simétricas:
x  x0 y  y 0 z  z 0


u1
u2
u3
ÁNGULO ENTRE RECTAS
 
u v
cos   
u v
ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO
u1  A  u 2  B  u 3  C
sen  
u12  u 22  u 32  A 2  B 2  C 2
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

u  P0 P1
d P1 , R  

u
DISTANCIA ENTRE RECTAS ALABEADAS
 
P0 P1  u  v 
d R, S  
 
u v
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2
MATRICES – DETERMINANTES
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN:





A, B  mn  A  B  mn
 A  B  C  A  B  C 
A N  N  A  A
A   A   A  A  N
A B  B A
PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR UN ESCALAR





    A   mn   . A   mn
. A    .A
   A  A  A
  A  B  A  B
1. A  A
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
  A.BC  AB.C 
 AB  C   A.B  A.C
 A.B  B. A
 A.B=A.C no se cumple que B=C

A.B=N no necesariamente A=N v B=N
PROPIEDADES DE LAS MATRICES SIMETRICAS Y ANTISIMETRICAS

A  Bt  At  Bt
.At  .At
A.Bt  Bt .At

A  A t  A  At

A. At  A. At

A  At   A  At







t
t

t
PROPIEDADES DE LAS MATRICES INVERSIBLES





Si una matriz es inversible su inversa es única
A, B  nn   A.B  B 1.A1
1
A 
1 1
.A
A
1
A 
k 1
 1 .A1    0
 
 A1
k
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3
Una matriz A es ortogonal  A. At  At . A  I
TEOREMA DE CRAMER: si A es una matriz inversible de orden n  B   n1 el
sistema A. X  B tiene exactamente una solución, que se obtiene asignando a cada
incognita el cociente de dos determinantes. El determinante del denominador es el de la
matriz del sistema y el del numerador es el de la matriz que se obtiene sustituyendo del
anterior la columna de los coeficientes de la incógnita por la columna de los términos
independientes.
TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS: un sistema de m ecuaciones lineales con n
incógnitas es compatible si y sólo si el rango de la matriz del sistema es igual al rango
de la matriz ampliada.
Enunciado: Cs    R A  R A B
Pueden ocurrir dos alternativas:


R A  R A B  n (n el numero de incógnitas), el sistema es DETERMINADO.
R A  R A B  n , el sistema es INDETERMINADO.
PROPIEDAD:
A  mn  X  n1  S  X / A.X  0es subespacio de n1 (el conjunto solución de un
sistema homogéneo es un subespacio)
Y su dimensión se define:
dim S  n  R( A)
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4
ESPACIOS VECTORIALES
Un conjunto V es un espacio vectorial y se escribe V ,, , si es un conjunto no vacío
en el que se cumple que: existe el vector nulo, para cada vector existe un opuesto, se
cumple una ley de composición interna en la suma de vectores y de composición externe
en el producto entre escalares reales y vectores.
SUBESPACIOS VECTORIALES
Un conjunto S no vacío e incluído en V siendo V ,, , un espacio vectorial, S es un
subespacio de V si se cumplen las siguientes condiciones:
 S V
 S 
 x, y  S  x  y  S
    x S    x S
Únicos subespacios de  2 : 0,0, 2 ,rectas que pasen por el origen
Únicos subespacios de  3 : 0,0,0, 3 , rectas que pasen por el origen, planos que
pasen por el origen.
COMBINACIÓN LINEAL
Sea V ,, , espacio vectorial y sean v1 , v2 ,...,vr V ; w es combinación lineal de
v1 , v2 ,...,vr si w  1v1   2 v2     r vr con 1 ,  2 ,,  r   .
Si 1   2     r  0 la C.L. es la trivial y se obtiene el vector nulo.
SISTEMAS DE GENERADORES
Sea V ,, , e.v. y sean v1 , v2 ,...,vr V ; los vectores v1 , v2 ,...,vr forman un sistema de
generadores de V o generan a V si todo vector de V puede exprearse como C.L. de
ellos.
Definición: w V , 1 ,  2 ,,  r   / w  1v1   2 v2     r vr
Propiedad: Si el sistema
v1 , v2 ,, vr 
incluido en V es generador de V y uno de los
vectores que lo forman es C.L. de los otros, entonces el subsistema que resulta al
suprimir ese vector también es generador de V.
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5
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
La ecuación 1v1   2 v2     r vr  0 tiene siempre solución trivial

Si la trivial es la única solución entonces los vectores son linealmente
independientes.

Si además tiene otras soluciones, los vectores son linealmente dependientes.
Observaciones y propiedades:

Todo sistema que contenga al vector nulo es L.D.

Todo sistema con un único vector no nulo es L.I.

El sistema
v1 , v2 ,, vr 
es L.D. si y solo si algunos de los vectores del sistema
es C.L. de los restantes.

Si un sistema tiene dos vectores no nulos, si uno es múltiplo del otro son L.D.;
caso contrario son L.I.

En  2 y  3 dos vectores L.D. son paralelos.
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL
B  v1 , v2 ,, vn  es base de V  B es S.G. de V ^ B es L.I.

Si se comprueba cualquiera de las dos condiciones ya se puede decir que es
base.
Llamamos bases canónicas de  n a por ejemplo:


1,0, 0,1 en 2
1,0,0, 0,1,0, 0,0,1 en 3
DIMENSIÓN

Todo espacio vectorial de dimensión finita que no se reduzca al vector nulo admite
por lo menos una base.

Si V es un e.v. de dimensión finita, todas sus bases tienen el mismo número n
de vectores que se llama dimensión de V y se nota: dim V  n


Se define dim0  0
dim n  n dim mn  m  n dim Pn  n  1
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6
Observaciones: sea dim V  n

Todo sistema con más de n vectores de V, son L.D.

Todo sistema con menos de n vectores de V, no generan a V.


Todo sistema de n vectores L.I., forman una base de V.
Todo S.G. de V con n vectores, forman una base de V
Propiedad: Sea dim V  n y sea un conjunto de r vectores (r<n) L.I., el conjunto puede
extenderse a una base de V agregándole (n-r) vectores, formando de esta manera un
conjunto L.I. de n vectores de V.
BASE DE UN SUBESPACIO
B es base de un subespacio S si B es un conjunto L.I. y forma un S.G. de S.
Si dim V  n y S subespacio de V, entonces dim S  n y si dim S  n  S  V
COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE
si B  u1 , u2 ,, un  base de V  v V  !1 , 2 ,, n   / v  1u1   2u2     n un
Se nota: v B
 1 
 
 
 2

 
 
 n
OPERACIONES CON SUBESPACIOS
Intersección:

Sean S1 y S2 subespacios de V, entonces: S1  S 2  x V / x  S1  x  S 2  es un
subespacio de V denominado subespacio intersección.
Suma:

Sean S1 y S2 subespacios de V, entonces
S1  S 2  x V / x  x1  x2 con x1  S1  x2  S 2  es un subespacio de V llamado
subespacio suma.
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7
Propiedades:


S1  S 2  S  S1  S 2  S  S1  S 2  0 (suma directa)
dimS1  S 2   dim S1  dim S 2  dimS1  S 2 
CONJUNTO ORTOGONAL Y ORTONORMAL DE VECTORES
Un conjunto de vectores de un espacio vectorial es un conjunto ortogonal si todos los
pares de vectores del conjunto son ortogonales entre si (producto escalar = 0).
Un conjunto ortogonal en el que cada vector tiene norma 1 es ortonormal.
Propiedades:

Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos de un espacio vectorial V es un
conjunto L.I.

Todo e.v. V que no sea el nulo y que tenga dimensión finita tiene una base
ortonormal.
COMPLEMENTO ORTOGONAL DE UN SUBESPACIO
Sea S subespacio de V:
Se llama complemento ortogonal de S al conjunto formado por todos los vectores de V
que son ortogonales a todos los vectores de S:
S   x V / x  y  0 y  S
Propiedades:



S  es un subespacio de V
Si dim V  n  dim S  dim S   dim V
S S V
ESPACIO FILA Y ESPACIO COLUMNA DE UNA MATRIZ
Se llama espacio fila de A al subespacio de  n generado por los vectores fila de A.
Se llama espacio columna de A al subespacio de  n generado por los vectores columna
de A.
Se llama rango fila de A a la dimensión de Sf  A
Se llama rango columna de A a la dimensión de Sc A
El rango fila y el rango columna de una matriz son iguales. Se llama rango de una
matriz a su rango fila y a su rango columna.
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8
TRANSFORMACIONES LINEALES
DEFINICIÓN: Sean V y W espacios vectoriales sobre  , la función T : V  W es una
transformación lineal de V en W si se verifican los criterios de linealidad.
CRITERIOS DE LINEALIDAD:
 T  x  x   T  x   T  x 
x, x V
 T  .x    .T x 
    x V
PROPIEDADES:
Sea T : V  W transformación lineal
 T 0V   0W
 T  x  T x 
 T  x  x    T  x   T  x 
NÚCLEO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL:
Sea T : V  W
Se llama núcleo de T al conjunto de los vectores de V cuya imagen mediante T es 0W.
NuT   KerT   x V / T x  0W 
El núcleo de T es un subespacio de V.
IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL: sea T : V  W
Se llama conjunto imagen de T al conjunto de vectores de W que son imágenes
mediante T de al menos un vector de V.
ImT   y W / x V  T x  y
La imagen de T es un subespacio de W.
TEOREMA DE LAS DIMENSIONES
Sea T : V  W transformación lineal
dim V  dim NuT   dim ImT 
O bien de otra manera:
n  nulidadT   rangoT 
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9
TRANSFORMACIONES MATRICIALES:
Sea A   mn ; si se consideran los vectores de  m y los vectores de  n expresados
como matriz columna, se puede definir la transformación lineal T de  n en  m como:
T : n  m / T  X   A.X
Donde A se llama matriz estándar.
CLASIFICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
Sea T : V  W transformación lineal:


T es MONOMORFISMO  T es INYECTIVA  NuT   0V 
T es EPIMORFISMO  T es SOBREYECTIVA  ImT   W

T es ISOMORFISMO  T es BIYECTIVA  NuT   0V  ImT   W

T es ENDOMORFISMO  V  W
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
Sean V y W espacios vectoriales sobre  , y sea B  v1 , v2 ,, vn  base de V y
t1 , t 2 ,, t n vectores arbitrarios de W  ! t.l. T : V  W / T v1   ti
i  1,, n
(Si tenemos una base de V con los transformados de cada uno de sus vectores
entonces podemos formar una única transformación lineal con ellos)
o En los ejercicios dependiendo de los datos que nos den se pueden formar una
única transformación lineal, infinitas o que no exista la misma (hay que comprobar
si son L.I. los vectores que nos dan o si nos faltan vectores para armar una
base)
MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Sean T : V  W t.l. / dim V  n  dim W  m
Sea B1  u1 , u2 ,, un  base de V
Sea B2  v1 , v2 ,, vm  base de W
La transformación lineal T queda caracterizada por una matriz A   mn , siendo su
número de filas igual a la dimensión del codominio de T y su número de columnas igual
a la dimensión del dominio de T. A la matriz A se la llama matriz asociada a T en las
bases B1 y B2:
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10
 a11

a
  21


a
 m1
A  M T B1B2
a12
a 22

am2
 a1n 

 a2n 
  

 a mn 
 a11 


 a 21 
Siendo el vector columna 
las coordenadas de T(u1) en la base B2 , el vector
 


a 
 m1 
 a12 
 a1n 




 a 22 
 a2n 
columna 
las coordenadas de T(u2) en la base B2 y el vector columna 
las
 
 




a 
a 
 m2 
 mn 
coordenadas de T(un) en la base B2 .

RESUMIDO: M T B1B2  T u1 B2
T u2 B
2
 T un B2

OBSERVACIÓN: Sea T : V  W t.l. / dim V  n  dim W  m , B1  u1 , u2 ,, un  base de V,
y B2  v1 , v2 ,, vm  base de W; entonces:
M T B1B2  xB1  T xB2
ACLARACIÓN: Las bases canónicas se suelen denominar como E y E’.
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11
MATRIZ ASOCIADA A LA TRANSFORMACIÓN LINEAL INVERSA
Sea T : V  V T.L. BIYECTIVA (Los subespacios V no tienen que ser necesariamente
iguales, tienen que tener igual dimensión)
Con dimV  n   T 1 : V  V T.L.
 
Sea B1 base de V y B2 base de V y sea A  M T B1B2  mn  A1  M T 1
B2 B1
MATRIZ ASOCIADA A LA COMPUESTA DE TRANSFORMACIONES LINEALES
Sean T1 : V  W
 T2 : U  V
 T1  T2 : U  W T.L.
Con dim U  n , dim V  p , dim W  m
Sean B1 base de U, B2 base de V y B3 base de W; y sean:
A  M T1 B2 B3   m p
 B  M T2 B1B2   pn  M T1  T2 B1B3  A  B   mn
La composición se puede hacer tanto matricialmente como aplicando T1 T2 x 
MATRIZ CAMBIO DE BASE O DE CAMBIO DE COORDENADAS
Considerando la transformación lineal identidad Id : V  V / Idx  x
Considerando B1  u1 , u2 ,, un  base de V, y B2  v1 , v2 ,, vm  base de W; entonces:
M Id B1B2  xB1  IdxB2  xB2
La matriz asociada a la identidad actúa como matriz cambio de base o matriz cambio de
coordenadas de la base B1 a la base B2.
NOTACIÓN: M Id B1B2  PB1 B2  P
FÓRMULA: PB1 B2  xB1  xB2
P  X  X 
OBSERVACIÓN: B1  B2  PB1 B2  I n

PROPIEDAD: La matriz PB1 B2 es regular y P 1  PB1 B2

1
 PB2 B1
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12
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
Sea T : V  V endomorfismo
DEFINICIÓN: El vector x  V es un autovector o vector propio de
T  x  0v      / T x    x . A λ se lo llama autovalor o valor propio asociado a x.
DEFINICIÓN DE FORMA MATRICIAL: Sea A   nn
El vector X   n1 es un autovector de A  X  0n1     / A.X  .X
A λ se lo lama autovalor asociado a X.
PROPIEDAD:  autovalorde A  A  .I  0
OBSERVACIÓN:
P   A  .I Polinomio característico cuyas raíces van a ser los autovalores de A
A  .I  0 Ecuación característica.
OBSERVACIÓN: Una vez hallados los autovalores al reemplazarlos en el sistema
homogéneo A. X  . X que es compatible indeterminado queda formado un subespacio de
 n1 llamado subespacio propio asociado a λ (o autoespacio):

S  X  n1 / A.X  .X

MATRIZ SEMEJANTE:
Una matriz B de orden n es semejante a una matriz A de orden n si existe una matriz
regular P de orden n / B  P 1 . A.P .
Dos matrices semejantes representan el mismo endomorfismo en bases distintas.
PROPIEDAD: B  P 1 .A.P  PB    PA  
DEFINICIÓN: Una matriz A de orden n es diagonalizable  tiene n autovectores L.I.
En este caso A es semejante a una matriz diagonal D cuyos elementos en la diagonal
son los autovalores de A mientras que P es una matriz cuyas columnas son
respectivamente los n autovectores L.I. de A. ( D  P 1 . A.P )
PROPIEDAD: Si los autovalores de A son reales y distintos, los autovectores asociados
son L.I.
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13
MULTIPLICIDAD ALGEBRAICA Y GEOMÉTRICA:
A k se lo llama multiplicidad algebraica y a p se lo llama multiplicidad geométrica.
PROPIEDAD: El subespacio propio asociado a un autovalor λ de multiplicidad k  1 tiene
dimensión p  k
CONSECUENCIAS DE ESTA PROPIEDAD:


El subespacio propio asociado a un autovalor simple es de dimensión 1.
A es diagonalizable  k=p para todo autovalor.
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS:
PROPIEDADES:



Si A es una matriz real de orden n simétrica  λ son números reales.
Si A matriz simétrica de orden n  A tiene n autovectores ortonormales.
Una matriz es diagonalizable ortogonalmente  es simétrica
Formulario de Vectores y Matrices
Elaborado por: Ing. Roberto Castellanos
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