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Matemáticas Discretas
TC1003
Argumentos en FOL
Departamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes
ITESM
Argumentos en FOL
Matemáticas Discretas - p. 1/23
Introducción
En esta lectura veremos principalmente cómo se
construyen argumentos válidos en Lógica de
Primer Orden. Como en Cálculo Proposicional,
seguiremos el método de Deducción Natural
utilizando equivalencias y reglas de inferencia. Las
equivalencias y reglas de inferencias vistas
anteriormente seguirán siendo válidas y a ellas
sumaremos algunas otras. Cuando no es posible
construir un argumento válido para un conjunto de
premisas y una conclusión, puede ocurrir que la
conclusión no se deduzca de las hipótesis, para
probar esto una alternativa aunque poco viable es
la de construir una interpretación donde las
hipótesis y la conclusión formen un argumento
inválido. El concepto de interpretación se incluye
en esta sección.
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 2/23
Modus Ponens Universal
Regla de Inferencia Modus Ponens Universal
∀ x ∈ D, P(x) → Q(x)
P(a) para una a particular
∴ Q(a)
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 3/23
Ejemplo 1
Ejemplo
Considere el siguiente razonamiento:
1. Para todo número entero, si su cuadrado es par
entonces el número es par.
2. k es un número entero cuyo cuadrado es par.
3. k es par.
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 4/23
Ejemplo 2
Ejemplo
Considere el siguiente razonamiento:
1. Para todo triángulo con longitudes de lados a, b
y c, si c2 = a2 + b2 entonces triángulo es
rectángulo con hipotenusa c.
2. El triángulo ∆DEF cumple d2 = e2 + f 2 .
3. El triángulo ∆DEF es rectángulo con hipotenusa
d.
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 5/23
Modus Tollens Universal
Regla de Inferencia Modus Tollens Universal
∀ x ∈ D, P(x) → Q(x)
¬Q(a) para una a particular
∴ ¬P(a)
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 6/23
Ejemplo 3
Ejemplo
Considere el siguiente razonamiento:
1. Todos los humanos son mortales.
2. Zeus no es mortal.
3. Zeus no es humano.
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 7/23
Ejemplo 4
Ejemplo
Considere el siguiente razonamiento:
1. Todas las personas normales tienen miedo a la
muerte.
2. Rambo no tiene miedo a la muerte.
3. Rambo no es una persona normal.
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 8/23
Ejemplo 5
Ejemplo
Para el siguiente razonamiento indique su
descripción:
1. Ningún coche bueno es barato.
2. Turtle Shell no es un coche barato.
3. Por lo tanto, Turtle Shell es un buen coche.
A
Razonamiento inválido: error de la recíproca.
B
Razonamiento inválido: error de la inversa.
C
Razonamiento válido por modus tollens universal.
D
Razonamiento válido por modus ponens universal.
1. ∀ coche, Bueno(coche) → ¬Barato(coche)
2. ¬Barato(TurtleShell)
3. Bueno(TurtleShell)
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 9/23
Ejemplo 6
Ejemplo
Para el siguiente razonamiento indique su descripción:
1. Ningún estudiante dedicada reprueba Discretas.
2. Rosana no reprobó Discretas.
3. Por lo tanto, Rosana es una estudiante dedicada.
A Razonamiento válido por modus tollens universal.
B
Razonamiento inválido: error de la inversa.
C
Razonamiento inválido: error de la recíproca.
D
Razonamiento válido por modus ponens universal.
1.
∀ estudiante, Dedicada(estudiante) → ¬Reprueba(estudiante)
2.
¬Reprobo(Rosana)
3.
Dedicada(Rosana)
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 10/23
Ejemplo 7
Ejemplo
Para el siguiente razonamiento indique su
descripción: P
1. Si una serie ∞
i=1 ai converge entonces el
término i-ésimo ai tiende a 0.
P∞
2. La serie i=1 bi no converge.
3. Por lo tanto, su término i-ésimo bi no tiende a
cero.
A
Razonamiento inválido: error de la recíproca.
B
Razonamiento válido por modus tollens universal.
C
Razonamiento inválido: error de la inversa.
D
Razonamiento válido por modus ponens universal.
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 11/23
Instanciación Universal
Regla de Inferencia de Instanciación Universal
∀ x ∈ D, P(x)
∴ P(a) para cualquier a en el dominio D
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 12/23
Cuantificación Existencial
Regla de Inferencia de Cuantificación Existencial
P(a) para un a en el dominio D
∴ ∃ x ∈ D, P(x)
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 13/23
Generalización
Regla de Inferencia de Instanciación Universal
P(t) para t cualquiera en el dominio D
∴ ∀ x ∈ D, P(x)
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 14/23
Ejemplo 8
Para la interpretación:
D = {a, b, c}
R
P
Q
a F T T
b T F T
c T F T
Indique cuáles de las siguientes FBFs son válidas:
1. (∃ x, R(x)) ∨ (∃ x, P(x)) −→ (∃ x, (R(x) ∨ P(x)))
2. (∀ x, P(x)) ∧ (∃ x, P(x)) −→ (∃ x, (R(x) ∧ P(x)))
3. ¬ (∀ x, Q(x)) −→ (∀ x, ¬Q(x))
4. (∀ x, (R(x) ∧ P(x))) −→ (∀ x, R(x)) ∧ (∀ x, P(x))
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 15/23
Argumentos Válidos en FOL
Definición
Un argumento válido en FOL es un argumento que
es válido para cualquier interpretación posible.
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 16/23
Ejemplo 9
Ejemplo
En el siguiente argumento válido indique en orden
las opciones que lo completan:
P1 : ∀ x, (P(x) −→ Q(x) ∨ R(x))
P2 : ¬Q(a)
P3 : ¬R(a)
C: ¬P(a)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
¬Q(a) . . .
¬R(a) . . . .
¬Q(a) ∧ ¬R(a)
¬P(a) . . . .
Argumentos en FOL
De Morgan en 3
hipótesis 1
modus tollens universal con 5 y
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
4 Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 17/23
Ejemplo 10
Ejemplo
Elabore un argumento donde se demuestre que la
conclusión se deduce de la hipótesis:
H1 : S (a)
H2 : ∀x ((S (x) ∧ ¬R(x)) −→ Q(x))
H3 : ∀x (S (x) −→ ¬R(x))
C: Q(a)
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 18/23
Ejemplo 11
Elabore un argumento donde se demuestre que la
conclusión se deduce de la hipótesis:
H1 : Q(a)
H2 : ∀x (S (x) −→ ¬Q(x))
H3 : S (a) ∨ R(a)
C: R(a)
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 19/23
Variantes de una Condicional
Consideremos la afirmación:
∀ x ∈ D, (P(x) → Q(x))
■
Su contrapositiva es
∀ x ∈ D, (¬Q(x) → ¬P(x))
■
Su recíproca es
∀ x ∈ D, (Q(x) → P(x))
■
Su inversa es
∀ x ∈ D, (¬P(x) → ¬Q(x))
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 20/23
Implicación y Contrapositiva
Como en Cálculo Proposicional:
La implicación y su contrapositiva son
lógicamente equivalentes: Si una es
verdadera la otra también.
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 21/23
Ojo con los textos
■
∀x, r(x) es una condición suficiente para s(x)
significa:
∀x, r(x) → s(x)
■
∀x, r(x) es una condición necesaria para s(x)
significa:
∀x, s(x) → r(x)
■
∀x, r(x) sólo si s(x) significa:
∀x, ¬s(x) → ¬r(x)
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 22/23
Temas Vistos
■
■
■
■
Modus Ponens Universal
Modus Tollens Universal
Deducción Natural en Lógica de Predicados
Concepto de Interpretación
Argumentos en FOL
Introducción
Modus Ponens
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Modus Tollens
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Instanciación
Cuantificación
Generalización
Ejemplo 8
Argumentos
Ejemplo 9
Ejemplo 10
Ejemplo 11
Variantes
Condicional
Condicional y
Contrapositiva
Nota
Sumario
Matemáticas Discretas - p. 23/23