ω ω ω ω

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura
Departamento de Ingeniería
Cátedra : Proyecto Final
Apuntes : Filtros Activos
Tema 5-5 : Filtro de Chevichev
Hemos visto que los filtros de Butterworth presentaban una buena aproximación para
ω=0, pero a medida que nos acercamos a la zona de corte, la aproximación empeoraba.
Por el contrario, el filtro Chevichev, no tiene respuesta plana en la zona de paso, sino que
presenta una ondulación alrededor de la unidad en la misma, y posee una caída abrupta
después de ω=1. La aproximación es igualmente buena para ω=0 y ω=1 y por su forma es
llamada de “igual ondulación” o “igual ripple” porque distribuye el error en forma ondulante en la
banda de paso.
Función de Transferencia
La función de transferencia está dada por la siguiente ecuación
2
H ( s) =
1
2
1 + ε C n ( s)
2
5.5.1
donde ε determina la ondulación en la banda de paso. Por lo general ε < 1. Cn (s) es un
polinomio de grado n derivado de los polinomios de Chevichev
.
Una respuesta posible para este filtro puede ser
Ahora bien, los polinomios vienen definidos así.
° Para |ω| ≤ 1
Cn (ω) cos (n cos-1 ω )
° Para |ω| > 1
Cn (ω) cosh (n cosh-1 ω )
Para n=0
Para n=1
C0 (ω) = 1
C1 (ω) = ω
Los polinomios de orden mayor pueden encontrarse con la fórmula recursiva siguiente
Cn (ω ) = 2ωCn −1 (ω ) − Cn − 2 (ω )
si n = 2 será C2 (n)= 2 ω2 –1
si n= 3 será C3 (n)= 4 ω3 –3 ω
de esta manera se puede obtener la tabla de coeficientes
n
0
1
2
3
4
5
6
Polinomio
1
ω
2 ω2 -1
4 ω3 –3 ω
8 ω4 – 8 ω2 +1
16 ω5 –20 ω3 + 5ω
32 ω6 –112 ω5 + 56 ω3 - 7ω
Podemos graficar algunos polinomios
Las propiedades de los polinomios de Chevichev utilizados en la aproximación de un filtro pasa
bajo son:
1. Los ceros del polinomio están ubicados en el intervalo ω ≤ 1
2. en el intervalo |ω| ≤ 1, el valor absoluto de Cn (ω) ≤ 1 para |ω| ≤ 1
3. fuera del intervalo |ω| ≤ 1 , Cn (ω) aumenta rápidamente a medida que ω se incrementa
Función de aproximación
Como hacemos para aplicar los polinomios de Chevichev a la función de aproximación del filtro
pasa bajos ?. Consideremos la función ε2 Cn2 (ω)
Donde ε es real y de valor pequeño comparada con 1
Podemos ver que ε2 Cn2 (ω) variará entre 0 y ε2 en |ω| ≤ 1
Ahora le agregamos 1 a la función. De esta manera, variará entre 1 y 1+ ε2 , una cantidad
levemente superior a 1 para |ω| ≤ 1.
Si invertimos la función, obtenemos la función asociada a |H(jω)|2 , o sea
2
H ( jω ) =
1
2
1 + ε Cn (ω )
2
esta función oscilará por debajo de la unidad en |ω| ≤ 1, de tal forma que el valor máximo es 1 y
el mínimo es 1/ (1+ ε ).
Fuera de este intervalo Cn2 (ω) se torna muy grande, tal que ε2 Cn2 (ω) >> 1 y |H(jω)|2 tiende a
cero.
la ondulación es
r = 1−
1
1+ ε
2
= 1 − H ( j1)
porque C 2 n (1) = 1
para la zona de atenuación es
ε 2 C n 2 (ω ) >> 1
entonces H ( jω ) ≈
1
ε ⋅ C n (ω )
la pérdida en decibeles será
pérdida = −20 log H ( jω ) ≅ 20 log ε + 20 log C n (ω )
para ω elevados, Cn(ω) puede aproximarse a su término principal 2n-1 ωn
pérdida = 20 log ε + 20 log 2 n −1 ω n = 20 log ε + 6(n − 1) + 20n log ω
donde vemos que la respuesta Chevichev cae a 20 dB por década, después de una caída
inicial de 20 log ε +6(n-1) dB
Sin embargo en la mayoría de las aplicaciones este ε es muy pequeño, por lo que su logaritmo
es negativo. Es necesario compensar este pérdida en la banda de paso, eligiendo un n
suficientemente grande.
Hemos visto entonces que la respuesta de Chevichev depende de dos variables: ε y n, las que
quedan determinadas en las especificaciones. La máxima ondulación pone una cota sobre ε.
Diseño de un filtro
Es posible diseñar un filtro activo directamente a partir de tablas y topologías típicas, o
bien a través del cálculo analítico, empleando configuraciones circuitales similares.
Vamos a diseñar un filtro de Chevichev empleando la estructura de Rauch.
Las especificaciones del filtro son en este caso:
ƒ
ƒ
ƒ
Frecuencia de corte f0 = 3500
Ondulación de la banda de paso : 0,01 dB
Atenuación mínima en la banda de atenuación de 40 dB a la primera octava después de f0.
Calculamos primeramente el orden n del filtro, recordamos que para ω >> ω0 la función de
transferencia quedaba reducida a
H (s) =
1
=
ε ⋅ C n (s )
1
ε ⋅2
n −1
ω 
 
 ω0 
n
La pérdida en dB se puede expresar así
n


n −1  ω 
A( jω ) = 20 ⋅ log ε ⋅ 2   

 ω0  
ω 
A[dB ] = 20 ⋅ log ε + 20 ⋅ (n − 1) log 2 + 20 ⋅ n ⋅ log 
 ω0 
Si nos referimos a octavas tenemos
A = 20 ⋅ log ε + 6 ⋅ (n − 1) + 6 ⋅ n ⋅
n=
A − 20 log ε + 6
12
Para nuestro ejemplo necesitamos calcular ε primero, para ello hacemos
r [dB ] = 0,01 = 20 log 1 + ε 2 → ε = 0,048
finalmente
40 − 20 log 0,048 + 6 40 − (− 22) + 6
n=
=
=6
12
12
Ahora vamos a la Tabla y obtenemos los 6 polos complejos conjugados
S1, S1*
S2, S2*
S3, S3*
± j 1,15867
± j 0,8482
± j 0,31046
-0,17147
-0,46864
-0,63992
La función de transferencia del filtro es:
H (s) =
O bien
ε ⋅2
n −1
1
(s − s1 ) s − s (s − s2 ) s − s*2 (s − s3 ) s − s*3
(
*
1
)
(
)
(
)
(ε ⋅ 2 ) ⋅ (ε ⋅ 2 ) ⋅ (ε ⋅ 2 )
H ( s) =
(s − s )(s − s ) (s − s )(s − s ) (s − s )(s − s )
n −1 −1
3
1
*
1
n −1 −1
3
*
2
n −1 −1
3
*
2
3
3
donde
1
1
1
=
=
= 0,866 ⋅ 0,866 ⋅ 0,866
n −1
0,48 ⋅ 32 1,536
ε ⋅2
Recordamos ahora que
(s + s1 )(s + s*1 ) = [s + (a + jb )][s + (a − jb )]
= s 2 + sa − jbs + sa + jbs + a 2 − jab + jab + b 2
= s 2 + 2 sa + a 2 + b 2
Para H1(s) queda
= s 2 + 2(0,17 )s + (0,17 ) + (1,15)
2
2
= s 2 + 0,34s + 1.37
Realizando las mismas operaciones para H2(s) y para H3(s) la ecuación completa quedaría así
H ( s) =
0.866
0.866
0.866
⋅ 2
⋅ 2
s + 0,34s + 1.37 s + 0,93s + 0,93 s + 1,27 s + 0,5
2
Calculamos ω0 = 2 π f0 = 2 π 3500 = 21991 rad/seg
Ahora desnormalizamos la frecuencia haciendo s = s/ω0
H1 ( s ) =
0,866
2
0,34
 s 
+ 1,37

 +
 21991  21991
=
0,63
2
s
+ 1,13 ⋅10 −5 s + 1
2
(25757 )
De la misma forma calculamos para H2 y H3.
Recordamos la función de transferencia de la estructura de Rauch para un filtro pasa bajos.
R4
1
R1 C2C5 R3 R4
H ( s) = −
1  1
1
1 
1
 +
s2 +
+  ⋅ s +
C2  R1 R3 R4 
C2C5 R3 R4
ω1 =
1
= 25757
R3 R4C2C5
y
R4
= 0,63
R1
donde
1 1
1 1 
 + +
 = 1,13 ⋅10 −5 (25757)2 = 7542
C2  R 1 R3 R 4 
(
)
Como existen 5 incógnitas y 3 ecuaciones, fijamos 2 valores
Por ejemplo
R1 = R3 = 10 K
R4 = 6,3 K adopto 6k8
C2 = 47nF
C5 = 503pF adopto 470 pF
De la misma manera calculamos las celdas que restan.
ω2 =
1
= 21308
R3 R4C2C5
R4 = 9,3K → 10 K
C5 = 1,6nF → 1,8nF
C2 = 14,9nF → 15nF
y para la tercera celda
ω3 =
1
= 15641
R3 R4C2C5
R4 = 17 K → 18 K
C5 = 9,2nF → 10nF
C2 = 2,6nF → 2,7nF