µ τ ϕ τ

El valor φ=180o es una posición de equilibrio
inestable. Si se desplaza un poco respecto a
esta posición, la espira tiende a trasladarse aún
más de φ=180o.
B
A
τ = 2 F (b / 2) sin ϕ = ( IBa)(b sin ϕ )
El área de la espira es A=ab, podemos reformular la ecuación:
τ = IBA sin(ϕ )
r r r r
τ = IA × B = µ × B
I
r
µ = IA
r
Momento dipolar magnético
I
La regla de la mano derecha determina la
dirección del momento magnético.
A
Pulgar: dirección del momento magnético
µ
Rotación de los otros dedos: corriente
Cuando la orientación de un dipolo magnético cambia en un campo eléctrico, el
campo realiza trabajo sobre él y hay un cambio de energía potencial
correspondiente. La energía es mínima cuando µ y B son paralelos, y máxima
cuando son antiparalelos. En analogía con el dipolo eléctrico en un campo
eléctrico:
r r
U = − µ ⋅ B = − µB cos(φ )
Producto escalar
Energía potencial de un “dipolo
magnético”
MOMENTO DE TORSIÓN MAGNÉTICO SOBRE UNA BOBINA CIRCULAR
µ
B
I
El área de la bobina es:
Una bobina circular de 0.05 m de radio, con 30 espiras
de alambre, yace en un plano horizontal. Conduce una
corriente de 5 A en sentido contrario a las manecillas
del reloj vista desde arriba. La bobina está en un campo
magnético uniforme dirigido hacia la derecha y cuya
magnitud es de 1.2 T. Halle las magnitudes del momento
magnético y del momento de torsión sobre la bobina.
A = πr 2 = π (0.05m) 2 = 7.85 10 −3 m 2
El momento magnético de cada espira de la bobina es:
µ = IA = (5 A)(7.85 10 −3 m 2 ) = 3.93 10 −2 Am 2
El momento magnético total de las 30 espiras:
µtot = 30µ = 30(3.93 10 −2 Am 2 ) = 1.18 Am 2
µ
B
El ángulo φ entre B y µ es de 90º:
I
r
τ = µtot × B = µtot B sin(φ ) = (1.18 Am 2 )(1.2T ) sin(90) = 1.41m
r
ENERGÍA POTENCIAL DE UNA BOBINA EN UN CAMPO MAGNÉTICO
µ
B
Si la bobina gira respecto a su posición original a
una posición donde su momento magnético es
paralelo a B, ¿cuál es el cambio de energía
potencial?
La energía potencial inicial U1 es:
I
r
U1 = − µtot ⋅ B = − µtot B cos(φ ) = −(1.18 Am 2 )(1.2T ) cos(90) = 0
r
I
B
La energía potencial final U2 es:
µ
r
U 2 = − µtot ⋅ B = − µtot B cos(φ2 ) = −(1.18 Am 2 )(1.2T ) cos(0) = −1.41J
r
El cambio de energía potencial es:
∆U = U 2 − U1 = −1.41J − 0 = −1.41J
27.42 El plano de una espira rectangular de alambre de 5 cm x 8 cm es paralelo a
un campo magnético de 0.19 T. La espira conduce una corriente de 6.2 A. a)¿Qué
momento de torsión actúa sobre la espira? b)¿Cuál es el momento de torsión
máximo que se puede obtener con la misma longitud total de alambre
conduciendo la misma corriente en este campo magnético?
d
µ
c
I
a
a
r r
r
a) τ = µ × B = IA × B = IAB sin(90) = IAB
r
B
τ = (6.2 A)(0.19T )(0.05 ⋅ 0.08m 2 ) = 4.7 10 −3 m
b
b) El momento de torsión máximo se obtiene cuando el
área de la espira es máxima, o sea cuando la espira
tiene la forma de un círculo:
Lcírculo = 2πR = Lespira = 2(0.05 + 0.08)m
R = 0.041m
A = πR 2
τ = I (πR 2 ) B = (6.2 A)π (0.041m) 2 (0.19T ) = 6.22 10 −3 m
27.43 Una bobina circular de alambre de 8.6 cm de diámetro tiene 15 espiras y
conduce una corriente de 2.7 A. La bobina está en una región donde el campo
magnético es de 0.56 T. a) ¿Qué orientación de la bobina proporciona el
momento de torsión máximo en la bobina, y cuál es este momento de torsión
máximo? b) ¿Con qué orientación de la bobina es la magnitud del momento de
torsión el 71% del hallado en el inciso a)?
a ) R = 8.6cm / 2 = 4.3cm
τ = nIAB sin(φ )
Máximo cuando sinφ=1
τ max = nIAB = 15(2.7 A)π (0.043m) 2 (0.56T ) = 0.132 m
b) sin(φ ) = 0.71
φ = 45o
27.47 Una bobina con un momento magnético de 1.45 A m2 está orientada
inicialmente con su momento magnético antiparalelo a un campo magnético
uniforme de 0.835 T. ¿Cuál es el cambio de energía potencial de la bobina cuando
se la hace girar de 180o de modo que su momento magnético sea paralelo al
campo?
U = − µB cos(φ )
U1 = − µB cos(180o ) = µB
U 2 = − µB cos(0) = − µB
∆U = U 2 − U1 = − µB − µB = −2µB = −2.42 J
EL MOTOR DE CORRIENTE CONTINUA
En un motor un momento de torsión magnético actúa sobre un conductor
portador de corriente, y se convierte energía eléctrica en energía mecánica.
La parte móvil del motor es el rotor, un tramo de
alambre con forma de una espira de extremos
abiertos y que puede girar en torno a un eje.
B
N
I
I
S
Los extremos de los alambres están acoplados a
segmentos conductores circulares que forman un
conmutador.
Cada uno de los dos segmentos del conmutador
hace contacto con uno de los bornes de un circuito
externo que incluye una fuente de fem.
Esto hace que entre una corriente en el rotor por
un lado (en rojo) y salga por el otro (azul). El rotor
es una espira de corriente con momento magnético
µ. El rotor se localiza entre los polos opuestos de
un imán, de modo que el campo magnético B ejerce
un momento de torsión τ sobre el rotor.
B
N
I
B
N
I
I
S
S
El rotor ha girado 90o respecto a su orientación inicial. Si la
corriente a través del rotor fuera constante, el rotor estaría
ahora en su orientación de equilibrio: simplemente oscilaría
en torno a esta orientación. Pero aquí es donde entra en
juego el conmutador: cada borne está en contacto con ambos
segmentos del conmutador. No hay diferencia de potencial
entre los conmutadores (en ese instante no fluye corriente y
el momento magnético es 0). El rotor continúa girando en
sentido contrario a las manecillas del reloj debido a su
inercia, y una vez más fluye corriente a través del rotor.
Pero ahora la corriente entra por el lado azul y sale por el
lado rojo. En tanto que el sentido de la corriente se ha
invertido con respecto al rotor, el rotor mismo ha girado
180o y el momento magnético tiene la misma dirección y el
momento de torsión hace girar el rotor siempre en el sentido
opuesto a las manecillas del reloj. Gracias al conmutador, la
corriente se invierte de cada giro de 180º.
FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO
Un campo magnético ejerce una
fuerza sobre una carga en
movimiento
Una carga en movimiento
GENERA un campo magnético
Si la carga está en reposo (v=0),
la fuerza magnética es 0.
Si la carga está en reposo
(v=0) no hay campo magnético
CAMPO MAGNÉTICO DE UNA CARGA EN MOVIMIENTO
Punto de fuente: la ubicación de la carga en movimiento en un instante dado
Punto de campo: punto del espacio donde nos proponemos hallar el campo
Los experimentos muestran que el campo magnético B es proporcional a la
carga q de la carga fuente del campo y a 1/r2 (r= distancia entre el punto
de campo y el punto de fuente), pero la dirección de B no sigue la línea que
va del punto de fuente al punto de campo.
r
q
φ
µ 0 q v sin(φ )
B=
r2
4π
r µ0 qvr × rˆ
B=
rˆ =
2
4π r
B
v
v
X
B
v constante
r
r
r
r
Las líneas de campo magnético son círculos
centrados en la línea de la velocidad v que
yacen en planos perpendiculares a esta línea.
La dirección es dada por la regla de la mano
derecha.