Sistemas de Ecuaciones

Sistemas de Ecuaciones.
Problema 1
Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que, cuando uno pierda,
entregará a cada uno de los otros dos, una cantidad igual a la que cada uno de ellos
posea en ese momento. (Es decir, cada uno apuesta todo lo que tiene en ese momento y
el que pierde de los tres, tiene que pagar a los restantes lo que cada uno de ellos apostó).
Cada uno perdió una partida y, al final, todos tenían lo mismo: 24 €. ¿Cuánto tenía cada
jugador al comenzar?
Solución:
Las cantidades que tenían los tres jugadores A, B y C, al comenzar eran x , y , z
Al comenzar
Al final de la 1ª
partida
que perdió A
Al final de la 2ª
partida
que perdió B.
Al final de la 3ª
partida
que perdió C
Cantidades que tiene Cantidades que tiene Cantidades que tiene
el jugador A
el jugador B
el jugador C
x
y
z
x- y-z
y + y = 2y
z + z = 2z
(x-y-z) + (x-y-z)=
=2(x-y-z)
2y-(x-y-z)-2z =
= - x + 3y – z
2z+2z=
=4z
2(x-y-z)+2(x-y-z) =
=4(x-y-z)
-x+3y–z+(-x+3y–z)
= 2 (- x + 3y – z )
4z – 2(x-y-z) –
(-x + 3y - z) =
=-x–y+7z
Obsérvese que la suma de las cantidades que hay en cada fila es siempre la misma:
x + y + z , que es la cantidad que en todo momento hay sobre la mesa de juego y que se
va distribuyendo entre los jugadores según el resultado de las partidas.
Al final todos tienen 24 euros. Por tanto:
4 ( x - y - z ) = 24
2 ( -x + 3y - z ) = 24
- x - y + 7 z = 24
que simplificando se transforma en
x-y-z =6
-x + 3y - z = 12
- x - y + 7 z = 24
Hasta aquí el planteo del problema . Ahora vendría la solución por el método de Gauss
que dará lugar a:
 1 −1 −1 6  1 −1 −1 6  1 −1 −1 6 

 
 

 − 1 3 − 1 12  →  0 2 − 2 18  →  0 2 − 2 18 
 − 1 − 1 7 24   0 − 2 6 30   0 0
4 48 

 
 
de donde obtenemos la solución: z = 12 ; y = 21 ; x = 39
Problema 2
Discutir y resolver el sistema según los valores del parámetro:
x–y–z=k
x–y+2z=1
2x+y+kz=0
Resolviendo por el método de Gauss:
k 
k 
1 −1 −1
1 −1 −1
1 −1 −1 k 



 F 2 : − F1 + F 2 

3
1 − k  F 2 ↔ F 3 0 3 k + 2 − 2k 
0 0
1 −1 2 1
0 0
 2 1 k 0  F 3 : −2 F1 + F 3  0 3 k + 2 − 2k 
3
1 − k 





En el primer paso hemos sumado a la segunda fila, la primera cambiada de signo y , a la
tercera, la primera multiplicada por –2.
En el segundo paso hemos intercambiado la segunda y la tercera fila. (Esto equivale a
cambiar de orden las ecuaciones segunda y tercera)
Hemos conseguido de esta manera un sistema escalonado, equivalente al que nos piden
discutir y cuya solución es inmediata:
x–y–z=k
3y+(k+2)z =-2k
3z=1–k
1− k
− 2k (k + 2)(1 − k )
1 − k − 2k (k + 2)(1 − k )
−
+
−
; y=
; x=k+
3
3
9
3
3
9
que simplificado se reduce a :
k 2 + k +1
k 2 − 5k − 2
1− k
x=
; y=
; z=
9
9
3
Una conclusión importante:
Para cualquier valor concreto de k existen valores concretos de x, y , z. Por tanto el
sistema es compatible y determinado (de solución única) para cualquier valor de k.
z=