Ejercicio 30

UNIDAD 1 Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
Resolución de algunos Ejercicios y Problemas:
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Problema 30
30 Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que cuando uno pierda entregará a cada uno
de los otros dos una cantidad igual a la que cada uno posea en ese momento. Cada uno perdió una partida, y al final cada uno tenía 24 €.
¿Cuánto tenía cada jugador al comenzar?
Resolución
Hacemos una tabla que resuma la situación:
COMIENZO
(1.ª)
(2.ª) + (1.a)
(3.ª) + (1.a)
(
2.a
PARTIDA
PARTIDA
3.a
PARTIDA
1.°
QUE PIERDE
x
x–y–z
2x – 2y – 2z
4x – 4y – 4z
2.°
QUE PIERDE
y
2y
–x + 3y – z
–2x + 6y – 2z
3.°
QUE PIERDE
z
2z
4z
–x – y + 7z
4x – 4y – 4z = 24 ° x – y – z = 6 °
§
§
–2x + 6y – 2z = 24 ¢ –x + 3y – z = 12 ¢
§
§
–x – y + 7z = 24 £ –x – y + 7z = 24 £
8
1.a
1 –1 –1
0 2 –2
0 –2 6
)
6
18 8
30
(
1 –1 –1
–1 3 –1
–1 –1 7
(1.ª)
(2.ª) : 2
(3.ª) : 2
(
6
12
24
1 –1 –1
0 1 –1
0 –1 3
)
8
)
6
9 8
15
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (2.ª)
(
1 –1 –1
0 1 –1
0 0 2
6
9
24
)
x – y – z = 6 ° z = 12
°
§
§
y – z = 9 ¢ y = 9 + z = 21
¢
§
§
2z = 24 £ x = 6 + y + z = 39 £
° 4 · 39 – 4 · 21 – 4 · 12 = 24
§
Comprobamos la solución: ¢ –2 · 39 + 6 · 21 – 2 · 12 = 24
§
£ –39 – 21 + 7 · 12 = 24
Solución: El jugador que perdió primero tenía 39 euros, el que perdió en segundo lugar tenía 21 € y el que perdió en tercer lugar tenía 12 €.