Expresiones racionales

TEMA : Expresiones Racionales
Contenido
TEMA H: Expresiones Racionales .................................................................................................. 1
Introducción a expresiones racionales ......................................................................................... 1
PRÁCTICA: Indica los valores que no forman parte del conjunto solución ............................... 2
Simplificar Expresiones Racionales ............................................................................................. 2
Práctica: Simplificar Expresiones Racionales ........................................................................... 3
Multiplicar Expresiones Racionales .............................................................................................. 3
Práctica: Multiplicar Expresiones Racionales ........................................................................... 4
Dividir Expresiones Racionales .................................................................................................... 4
Práctica: Dividir Expresiones Racionales.................................................................................. 5
Suma y Resta de Expresiones Racionales ................................................................................. 6
Práctica: Suma y Resta ........................................................................................................... 7
Hallar el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas ...................................................... 8
Resolver Ecuaciones Racionales ................................................................................................. 9
Práctica: Ecuaciones Racionales............................................................................................ 10
Respuestas Tema H: Expresiones Racionales ........................................................................ 11
Repaso ACTIVIDAD 6 - Expresiones Racionales ................................................................... 12
Introducción a expresiones racionales
Toda expresión que conste de una expresión algebraica en su denominador y en el numerador.
EJEMPLOS
x3
x 2
x  3 x  10
2
,
x  5x  6
2
Utilizando la definición de números racionales observamos que las expresiones racionales tienen una
misma restricción, esta es, el denominador no puede ser cero.
EJEMPLO 1
x3
x 2
En esta expresión debido a que el denominador es x+2 , el valor que hace a esta expresión cero es x=-2.
Por lo tanto ese valor queda excluído del conjunto solución.
El procedimiento general consiste en igualar el denominador a cero y resolver la ecuación correspondiente,
es decir, hallar la raíz del denominador.
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2
x
EJEMPLO 2
x
#1
2
 3 x  10
 5x  6
Igualamos el denominador a cero
x
2
 5x  6  0
( x  2 )( x  3 )  0
#2
#3
Resolvemos la ecuación cuadrática
x  2  0
x  3  0
x  2
x  3
Los valores que no pueden ser parte del conjunto solución
x  2 y x  3
PRÁCTICA: Indica los valores que no forman parte del conjunto solución
1.
2.
x5
x3
x
 x  2
2
2
x
3.
x
x
2
1

 8 x  16
2
 x  20

Simplificar Expresiones Racionales
Simplificar una expresión racional consiste en utilizar la regla de cancelación, de ser posible, para eliminar
todos los factores comunes del numerador y el denominador.
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
factorizados.
x
x
2
2
 3 x  10
EJEMPLO 3
x
x
2
 6x  9
2
 2x  3
( x  2 )( x  4 )

x  3
x  2
Factor común en este ejemplo
es (x-4)
Para poder identificar los factores comunes el numerador y el denominador deben estar

 5x  6
( x  4 )( x  3 )

( x  2 )( x  5 )
( x  3 )( x  2 )

x  5
x  3
Factor común (x+2).
Solo se puede eliminar un factor del numerador con uno del denominador.
( x  3 )( x  3 )
( x  3 )( x  1 )

x  3
x 1
1.
2.
Factorizar completamente el numerador y
el denominador.
Cancela (x-3) ya que es el factor común
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Práctica: Simplificar Expresiones Racionales
1)
x
 x  2
2
x
2)
x
x
3)
2
2
2x
3x

1
2
 8 x  16

 x  20
2
 5x  3
2
 7x  6

Multiplicar Expresiones Racionales
Regla: Se lleva a cabo la multiplicación con la regla para la multiplicación de números racionales. Se
multiplican los denominadores de las expresiones entre sí y los denominadores entre sí.
a
b

c
d

a c
bd
Es recomendable, de ser posible, primero simplificar cada expresión.
( x  3)
EJEMPLO 1
( x  1)

(x  2)
( x  1)

( x  3 )( x  2 )
( x  1 )( x  1 )

x
 x  6
2
x
2
1
En este ejemplo no hay factores comunes entre el numerados y el denominador por consiguiente no se
puede simplificar.
x
EJEMPLO 2
2
 4x  4
x 1
x 1

x
2
 4

Se factorizó completamente el numerador y el denominador
( x  2 )( x  2 )
x 1

x 1
( x  2 )( x  2 )

Se eliminó el factor (x-2), por ser factor común.
(x  2)
( x  1)

( x  1)
(x  2)

x
x
2
 3x  2
2
 3x  2
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Práctica: Multiplicar Expresiones Racionales
8x
1.
x
2
2
9
x

16 x
x5
2.
 6x  9
2
25 x

10 x  2
3
x
2
2

1
 10 x  25

Dividir Expresiones Racionales
Para dividir expresiones racionales debemos utilizar la regla de división de números racionales.
a
c

b

d
a

b
d
c
EJEMPLO 1
x  3
x
2
 4
x

2
 x  12
x
3

8
Se aplica la regla
x  3
x
2
 4
x

x
2
3
8
 x  12

Se factoriza completamente
( x  3)
( x  2 )( x  2 )

( x  2 )( x
2
 2 x  4)
( x  4 )( x  3 )

Se eliminan (x+3) y (x-2) por ser ambos factores comunes.
1
(x  2)

(x
2
 2 x  4)
(x  4)

x
x
2
 2x  4
2
 2x  8
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EJEMPLO 2
3 y  12
8y
9 y  36

3
16 y

3
3 y  12
Se aplica la regla
3
8y

16 y
3
9 y  36

Se factoriza completamente
3( y  4 )
8y
3
16 y

3

9( y  4)
Se elimina (x+4) por ser factor común. La expresión que nos queda tiene otros factores comunes, éstos
son: y 3 , 3 ( para el 3 y 9 ), 8 (para el 8 y 16)
3
8y
3

16 y
3

9
1 2
2
 
1 3
3
Práctica: Dividir Expresiones Racionales
1.
2.
3.
( x  3)
( x  1)
2 x  12
3 x  15
x
2


( x  2)
( x  1)
2x
x
2
 4x  4
x 1
2

 6 x  20
 10 x  25

x
2
 4
x 1


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Suma y Resta de Expresiones Racionales
DENOMINADORES IGUALES
Al igual que en las fracciones, sólo podemos sumar expresiones racionales si éstas tienen un mismo
denominador, es decir, un denominador común. El resultado debe expresarse en su forma más simple, por
lo tanto, debemos verificar luego de sumar si hay factores comunes entre el numerador y el denominador.
EJEMPLO 1
2x
3
 x
x
 5x  1
2
 4
2
3x

 2x  6
2
x
x
EJEMPLO 2
x
 4
2
 4x  3
2
3
 2x
x
 3x  5
2
2x

2
2x  3

x
2
 4x  3
 7x  7
2
 4
2
x

x
2
 x  2
 4x  3
Simplificar el resultado: factorizar y cancelar factores comunes.
( x  2 )( x  1 )
EJEMPLO 3
( x  3 )( x  1 )
2
 x 1
4x  3

2x
2
( x  2)
( x  3)
a  b  a  (b)
REGLA DE LA RESTA
3x

 3x  6

4x  3
3x
2
 x 1
4x  3

 2x
2
 3x  6
4x  3

x
2
 4x  7
4x  3
DENOMINADORES DISTINTOS
I Cuando Los Denominadores No Tienen Factores Comunes
REGLA
a

b
c

d
ad

bd
bc

a
ad  bc
bd

b
c
ad

d

bd
bc

bd
ad  bc
bd
bd
b  0, d  0
b  0, d  0
Esta regla se debe usar cuando los denominadores no tienen factores comunes.
2x
EJEMPLO 1
 
(2 x
2
 4 x)  (x
x 3
2

x 1
x  2
 x  3 x  3)
( x  3 )( x  2 )


2 x ( x  2 )  ( x  3 )( x  1 )
( x  3 )( x  2 )
(2 x
2
 4 x)  (x
2
 4 x  3)
( x  3 )( x  2 )
3x

x
2
2
 3
 x  6
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3x
EJEMPLO 2

(3 x
2
x 1
 6 x)  (2 x
x
2

2
2x 1
x  2
 2 x  x  1)

 2x  x  2
3 x ( x  2 )  ( 2 x  1 )( x  1 )

( x  1 )( x  2 )
(3 x
2
 6 x)  (2 x
x
2
2
 3x  1
 x  2

5x
x
2
 3x  1
2
 x  2
EJEMPLO 3
x  5
x
2
 9

x 1
x  3

x  5
( x  3 )( x  3 )
x 1

( x  3)
( x  5 )( x  3 )  ( x  1 )(( x  3 )( x  3 )
( x  3 )( x  3 )( x  3 )
( x  5 )  ( x  1 )( x  3 )
( x  3 )( x  3 )

x  5 x
x
2
2


( x  5 )( x  3 )
( x  3 )( x  3 )( x  3 )
( x  1 )(( x  3 )( x  3 )
( x  3 )( x  3 )( x  3 )
( x  3 )[( x  5 )  ( x  1 )( x  3 )]
 2x  3
 9

( x  3 )( x  3 )( x  3 )

x
2

 3x  2
x
2
 9
Práctica: Suma y Resta
1.
2.
3x  1
x 1
2x
x 1


x  2
x 1
3x
2x  1


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Hallar el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas
Pasos a seguir:
1. La expresión debe estar factorizada. Los factores que se repiten se deben expresar en los
exponentes correspondientes.
2. Seleccionas todos los factores presentes en cada expresión.
 Aquellos factores comunes a más de una expresión se seleccionará el factor que se
repita mas veces, es decir, el factor con exponente mayor.
3. El producto de esos factores es el Mínimo Común Múltiplo
EJEMPLO 1
Halla el Mínimo Común Múltiplo de:
x , (x-2), x3, (x+3)
1. Todas las cuatro expresiones están factorizadas.
2. Los facotres son
(x-2), x3 , (x+3)
3. Mínimo Común Múltiplo
(x-2)( x3 ) (x+3)
EJEMPLO 2
Halla el Mínimo Común Múltiplo de:
(x-1)(x+2)2,
x,
(x-1)2 x3 ,
(x+3)
1. Todas las cuatro expresiones están factorizadas.
2. Los facotres son

(x+2)2, (x-1)2 , x3 , (x+3)
Observación:
i.
entre x y x3 seleccionamos el exponente mayor x3
ii.
Entre (x-1) y (x-1)2 seleccionamos el exponente mayor (x-1)2
3. Mínimo Común Múltiplo (x+2)2(x-1)2 (x3 )(x+3)
EJEMPLO 3
Halla el Mínimo Común Múltiplo de:
x
2
9
,
x
2
 6x  9
2
, x  x6
1. Factorizar cada una de las tres expresiones: x  3  ( x  3 )( x  3 )
2
x
x
( x  3) ,
2
2. Los facotres son
i.
( x  3 ),
2
 6 x  9  ( x  3)
2
 x  6  ( x  3 )( x  2 )
2
( x  2)
Entre (x-3) y (x-3)2 seleccionamos el exponente mayor (x-3)2
Mínimo Común Múltiplo ( x  3 ) ( x  3 )( x  2 )
2
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Práctica Inmediata
m
Halla el Mínimo Común Múltiplo de:
2
 8 m  16
m
,
2
 m  12
Resolver Ecuaciones Racionales
Una ecuación racional consiste en una igualdad en la que encontramos expresiones racionales.
PROCEDIMIENTO
1. Hallar el Mínimo Común Múltiplo de las expresiones de los denominadores de cada término en la
ecuación.
2. Multiplicar cada término por el Mínimo Común Múltiplo determinado en el paso anterior.
3. Simplificar cada término eliminando los factores comunes. Observa que todos los denominadores
de la ecuación se eliminan.
4. Resolver la ecuación que queda para la variable correspondiente.
2
EJEMPLO 1
Resuelve
y

5
y 3
1. Hallar el Mínimo Común Múltiplo de las expresiones de los denominadores de cada término en la
ecuación: y ( y  3 )
2. Multiplicar cada término por el Mínimo Común Múltiplo determinado en el paso anterior.
2
( y )( y  3 ) 
y
5
y 3
( y )( y  3 )
3. Simplificar cada término eliminando los factores comunes. Observa que todos los denominadores
2 ( y  3)  5( y )
de la ecuación se eliminan.
2y  6  5y
4. Resolver la ecuación que queda para la variable correspondiente
2y  6  5y
5y  2y  6
5 y  2 y  6
3 y  6
y  2
Este tipo de ecuación racional se puede resolver como una proporción mediante producto cruzado.
2
y

5
2
y3
y

5
y3
2 ( y  3)  5( y )
El próximo paso es igual al procedimiento enterior para despejar para la variable y.
.
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1
EJEMPLO 2
Resuelve

y
1
 2
2y
En este ejemplo no se puede utilizar producto cruzado ya que no es una proporción,
1. Hallar el Mínimo Común Múltiplo de las expresiones de los denominadores de cada término en la
2y
ecuación.
2. Multiplicar cada término por el Mínimo Común Múltiplo determinado en el paso anterior.
1
(2 y ) 
y
1
(2 y )  2(2 y )
2y
3. Simplificar cada término eliminando los factores comunes. Observa que todos los denominadores
de la ecuación se eliminan. 2  1  4 y
3  4y
y 
4. Resolver la ecuación que queda para la variable correspondiente
3
4
Práctica: Ecuaciones Racionales
y  9
1.
y  2
2y  3
2.
y  2

y  6

y
2
3.
(2 x  2)
3
2
3

x
2
1

5
x 1
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Respuestas Tema: Expresiones Racionales
Práctica: Indica los valores que no forman
parte del conjunto solución
1. x   3
2. x   1,1
3. x   4 , 5
Práctica: Simplificar Expresiones
Racionales
1.
2.
3.
x  2
x 1
x  4
x 5
1.
2.
3.
x  1
;
Práctica: Dividir Expresiones Racionales
x  3
x  2
x  6
3x  6
x  2
x  2
Práctica: Suma y Resta
x   4 ,5
;
2x 1
3x  2
1.
x   3,
;
4x 1
x 3
2
3
x
2.
2x
Práctica: Multiplicar Expresiones
Racionales
1.
2.
x  3
2 x ( x  3)
5x  1
2( x  5)


x  3
2x
2
2
2
 x
 3x  1
Práctica: Ecuaciones Racionales
Se presentaran en clase
 6x
5x  1
2 x  10
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Repaso ACTIVIDAD 6 - Expresiones Racionales
Instrucciones generales: Incluye todo procedimiento necesario para la solución de los
problemas. Contesta el examen en lápiz.
I Lleva a cabo la operación indicada y expresa el resultado en su forma más simple.
8x
1.
x
2.
3.
4.
2
2
9

x
2
16 x
x5
10 x  2
2 x  12
3 x  15
5
4x

 6x  9
3
25 x

x
2
2

1
 10 x  25

2 x  6 x  20
2

3
x  4
x  10 x  25
2


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III
1.
Resuelve las siguientes ecuaciones
2

y
2.
1
y

5
y 3
1
 2
2y
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