apéndice Tasas de crecimiento Ejemplo : ¿Cuál ha sido el

apéndice Tasas de crecimiento
Ejemplo :
¿Cuál ha sido el crecimiento promedio anual de la renta per
cápita en USA en período 1870-1994?
Fórmula usual
g x (%) =
x t - x t -1
(∗ 100)
x t -1
x t = x t -1 (1 + g x )
(1.1)
(1.2)
x t 2 − x t1
g x (promedio) =
x t1
Δt
En el ejemplo:
25000 − 2500
2500
g rpc =
= 0.0726 = 7.26 %
124
(1.3)
Tasa anual equivalente
Si x crece todos los años a tasa g x constante:
x t1 +1 = x t1 (1 + g x )
x t1 + 2 = x t1 (1 + g x ) 2
.....
x t 2 = x t1 (1 + g x ) Δt
⎛ x t2
gx = ⎜
⎜ xt
⎝ 1
1/Δt
⎞
⎟
⎟
⎠
-1
En el ejemplo:
1/ 124
⎛ 25000 ⎞
g rpc = ⎜
⎟
2500
⎠
⎝
- 1 = 0.01874 = 1.874 %
(1.4)
Fórmula logarítmica
Si x crece exponencialmente a tasa g x constante:
x = x 0 eg x t
ln x = ln x 0 + g x t
gx =
d(ln x)
dt
(1.5)
(1.6)
(1.7)
Gráficamente, ln (x) = f(t) (escala semilogarítmica) es una
recta de pendiente g x .
Aplicando (1.5) en t1 y t 2 :
x t1 = x 0 e g x t1
x t2 = x 0 e gxt2
dividiendo miembro a miembro la segunda ecuación por la
primera y tomando logaritmos:
gx =
ln (x t 2 /x t1 )
Δt
(1.8)
En el ejemplo:
ln (25000/250 0)
= 0.01856 = 1.856 %
gx =
124
que es la pendiente de la recta que une los puntos inicial y
final en escala semilogarítmica. Ver gráfico pg. anterior
¿Cuánto tarda x en duplicarse?. Aplicando (1.8):
gx =
Δt =
ln 2
Δt
70
ln 2 0.6931... 69.31...
=
=
≅
g x (%) g x (%)
gx
gx
(1.9)
(1.10)
Tasas de crecimiento de operaciones. Aplicando (1.7) y las
propiedades de los logaritmos:
g (A/B) = g A - g B
(1.11)
g (A×B) = g A + g B
(1.12)
g (Aα ) = α g A ,
para α constante
(1.13)