OPCIÓ A

COMISSIÓ GESTORA DE LES PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT
COM ISIÓN GESTORA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT
CONVOCATÒRIA:
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CONVOCATORIA:
JUNY 2011
JUNIO 2011
M ATEM ÁTICAS II
MATEMÀTIQUES II
BAREM DE L’EXAMEN:CalelegirsolsUNA delesduesOPCIONS,A oB,is’handeferelstresproblemesd’aquestaopció.
Cadaproblemapuntuafinsa10 punts.
Laqualificaciódel'
exerciciéslasumadelesqualificacionsdecadaproblemadivididaentre3, iaproximadaalescentèsimes.
Cadaestudiantpotdisposard'
unacalculadoracientíficaogràfica. Se’nprohibeixlautilitzacióindeguda(guardarfórmulesotextenmemòria).
S'
useonolacalculadora, elsresultatsanalíticsigràficshand'
estarsempredegudamentjustificats.
BAREM O DEL EXAM EN: SeelegirásoloUNA delasdosOPCIONES,A oB,ysehandehacerlostresproblemasdeesaopción.
Cadaproblemasepuntuaráhasta10 puntos.
Lacalificacióndelejercicioserálasumadelascalificacionesdecadaproblemadivididaentre3 yaproximadaalascentésimas.
Cadaestudiantepodrádisponerdeunacalculadoracientíficaográfica. Seprohíbesuutilizaciónindebida(guardarfórmulasotextoenmemoria).
Seutiliceonolacalculadora, losresultadosanalíticosygráficosdeberánestarsiempredebidamentejustificados.
OPCIÓ A
ProblemaA.
1.Sigaelsistemad’equacions
z (m
& x )y )
#
3 z ( 2m ) 1 ,
)
S : % 2x
# x ) 3 y ) !m ' 2" z ( m ' 1
$
rereal
. Obt
i
ngueuraonadament:
on m ésunparàmet
a) Toteslessolucionsdelsistema S quan m ( 2. (4 punts).
éunasol
uci
óúni
ca. (2 punts).
b) Totselsvalorsde m peralsqualselsistema S t
/3 1 ,
c) Elvalorde m peralqualelsistemaS admetlasolució !x, y, z " ( - , ' , 0 *. (4 punts).
.2 2 +
)z(2
&x
ProblemaA.
2.Enl’espaiesdonenlesrectesr : %
$2 x ' y ) z ( 0
raonadament:
a) Unpuntiunvectordirectordecadarecta. (3 punts).
b) Laposiciórelativadelesrectesr is . (4 punt
s).
c) L’equaciódelplaquecontéa r iésparal·
lela s . (3 punt
s).
i
(3
&2 x ' y
s: %
i
ngueu
. Obt
$x ' y ' z ( 2
x
. Obt
i
ngueuraonadament:
x ' 3x ) 2
a) Eldominiilesasímptotesdelafunció f ( x) . (3 punts).
b) Elsintervalsdecreixementidecreixementdelafunció f ( x) . (4 punts).
x
dx . (3 punts).
c) Laintegral0f ( x)dx ( 0 2
x ' 3x ) 2
ProblemaA.
3. Si
ga f lafunciódefinidaper f ( x) (
2
1
OPCIÓ B
/ '1
ProblemaB.
1.Esdónal
amatriu A ( - 0
-2
.
0
1
,
*
0 * , onm ésunparàmet
m
rereal.
2
*
1
m ' 1+
a) Obt
i
ngueuraonadamentelrangocaracterísticadelamatriu A enfunciódelsval
orsde m. (5 punt
s).
s).
b) Expliqueuperquèésinvertiblelamatriu A quan m ( 1 . (2 punt
'1
c) Obtingueu raonadamentlamatriu inversa A de A quan m ( 1 , iindiqueu elsdistintspassospera
s).
l’obtencióde A'1 . Comproveuqueelsproductes AA'1 iA'1 A donenlamatriuunitat. (3 punt
&x ( 1
#
’espaiesdonenlesrectesr : % y ( 1 ' 1
ProblemaB.
2.Enl
#z ( 3
$
i s : 2 x ' 1 ( y ( z ' 3 . Obt
i
ngueu
raonadament:
a) Unvectordirectordecadaunadeditesrectesr i s . (2 punt
s).
s).
b) L’equaciódelplaperpendicularalarecta r quepassapelpunt(0, 1, 3) . (3 punt
c) Elpuntd’intersecciódelesrectes r is (2 punt
s) i l’equaciódelpla 3 quecontéaquestesrectes r i
s . (3 punt
s).
ProblemaB.
3.Esdesi
tjaconstruiruncamprectangularambvèrtexsA, B, C iD demaneraque:
2
Elsvèrtexs A iB siguenpuntsdel’arcdelaparàbola y ( 4 ' x , ' 2 4 x 4 2, ielsegmentd’extremsA iB
éshoritzontal.
2
ElsvèrtexsC iD siguenpuntsdel’arcdelaparàbola y ( x ' 16, ' 4 4 x 4 4, ielsegmentd’extremsC iD
éstambéhoritzontal.
ElspuntsA iC handetindrelamateixaabscissa, elvalordelaqualéselnombrerealpositiux.
ElspuntsB iD handetindrelamateixaabscissa, elvalordelaqualéselnombrerealnegatiu –x.
Esdemanaobtindreraonadament:
a) L’expressió S ( x) del’àreadelcamprectangularenfunciódelnombrerealpositiu x . (4 punt
s).
b) Elnombrerealpositiu x peralquall’àrea S ( x) ésmàxima. (4 punt
s).
c) Elvalordel’àreamàxima. (2 punt
s).
2
BAREM DE L’EXAMEN:CalelegirsolsUNA delesduesOPCIONS,A oB,is’handeferelstresproblemesd’aquestaopció.
Cadaproblemapuntuafinsa10 punts.
Laqualificaciódel'
exerciciéslasumadelesqualificacionsdecadaproblemadivididaentre3, iaproximadaalescentèsimes.
Cadaestudiantpotdisposard'
unacalculadoracientíficaogràfica. Se’nprohibeixlautilitzacióindeguda(guardarfórmulesotextenmemòria).
S'
useonolacalculadora, elsresultatsanalíticsigràficshand'
estarsempredegudamentjustificats.
BAREM O DEL EXAM EN: SeelegirásoloUNA delasdosOPCIONES,A oB,ysehandehacerlostresproblemasdeesaopción.
Cadaproblemasepuntuaráhasta10 puntos.
Lacalificacióndelejercicioserálasumadelascalificacionesdecadaproblemadivididaentre3 yaproximadaalascentésimas.
Cadaestudiantepodrádisponerdeunacalculadoracientíficaográfica. Seprohíbesuutilizaciónindebida(guardarfórmulasotextoenmemoria).
Seutiliceonolacalculadora, losresultadosanalíticosygráficosdeberánestarsiempredebidamentejustificados.
OPCIÓN A
ProblemaA.
1.Seaelsi
stemadeecuaciones
z (m
& x )y )
#
)
3 z ( 2m ) 1 ,
S : % 2x
# x ) 3 y ) !m ' 2" z ( m ' 1
$
donde m esunparámetroreal.Obtenerrazonadamente:
os).
a) Todaslassolucionesdelsistema S cuando m ( 2. (4 punt
b) Todoslosvaloresde m paralosqueelsistema S tieneunasoluciónúnica. (2 punt
os).
/3 1 ,
c) Elvalorde m paraelqueelsistemaS admitelasolución ! x, y, z " ( - , ' , 0 *. (4 punt
os).
.2 2 +
)z(2
(3
&x
&2 x ' y
osedanlasrectasr : %
y
s: %
. Obtener
ProblemaA.
2.Enelespaci
$2 x ' y ) z ( 0
$x ' y ' z ( 2
razonadamente:
a) Unpuntoyunvectordirectordecadarecta. (3 punt
os).
b) Laposiciónrelativadelasrectasr y s . (4 punt
os).
c) Laecuacióndelplanoquecontienea r yesparaleloa s . (3 punt
os).
x
. Obtenerrazonadamente:
x ' 3x ) 2
a) Eldominioylasasíntotasdelafunción f ( x) . (3 punt
os).
b) Losintervalosdecrecimientoydecrecimientodelafunción f (x) . (4 punt
os).
x
dx . (3 punt
c) Laintegral0f ( x)dx ( 0 2
os).
x ' 3x ) 2
ProblemaA.
3. Sea f l
afunci
óndefi
ni
dapor f ( x) (
2
3
OPCIÓN B
/ '1
ProblemaB.
1.Sedal
amatriz A ( - 0
-2
.
0
1
,
*
roreal.
0 * , dondem esunparámet
m
1
m 2 ' 1*+
oresde m.
a) Obtenerrazonadamenteelrangoocaracterísticadelamatriz A enfuncióndelosval
(5 punt
os).
b) Explicarporquéesinvertiblelamatriz A cuando m ( 1 . (2 punt
os).
'1
c) Obtenerrazonadamentelamatrizinversa A de A cuando m ( 1 , indicandolosdistintospasosparala
obtenciónde A '1 . Comprobarquelosproductos AA'1 y A'1 A danlamatrizunidad. (3 punt
os).
&x ( 1
#
osedanlasrectasr : % y ( 1 ' 1
ProblemaB.
2.Enelespaci
#z ( 3
$
y
s : 2 x ' 1 ( y ( z ' 3 . Obt
ener
razonadamente:
a) Unvectordirectordecadaunadedichasrectasr y s . (2 punt
os).
os).
b) Laecuacióndelplanoperpendicularalarecta r quepasaporelpunto (0, 1, 3) . (3 punt
c) Elpuntodeinterseccióndelasrectas r y s (2 punt
os) ylaecuacióndelplano 3 quecontieneaestas
os).
rectas r y s . (3 punt
ProblemaB.
3.Sedeseaconst
ruiruncamporectangularconvérticesA, B, C yD demaneraque:
Losvértices A y B seanpuntosdelarcodelaparábola y ( 4 ' x 2 , ' 2 4 x 4 2, yelsegmentodeextremos
A yB eshorizontal.
LosvérticesC y D seanpuntosdelarcodelaparábola y ( x 2 ' 16, ' 4 4 x 4 4, yelsegmentodeextremos
C yD estambiénhorizontal.
Lospunt
osA yC debentenerlamismaabscisa, cuyovaloreselnúmerorealpositivox.
Lospunt
osB yD debentenerlamismaabscisa, cuyovaloreselnúmerorealnegativo –x.
Sepideobtenerrazonadamente:
a) Laexpresi
ón S ( x) deláreadelcamporectangularenfuncióndelnúmerorealpositivo x . (4 punt
os).
b) Elnúmerorealpositivo x paraelqueelárea S ( x) esmáxima. (4 punt
os).
c) Elvalordeláreamáxima. (2 punt
os).
4