UNIDAD DIDÁCTICA 8: Funciones II ÍNDICE 1. Funciones
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Unitat d’accés Unidad de acceso accés a la universitat dels majors de 25 anys acceso a la universidad de los mayores de 25 años MATEMÀTIQUES MATEMÁTICAS UNIDAD DIDÁCTICA 8: Funciones II ÍNDICE 1. 2. 3. 4. 5. Funciones polinómicas Funciones trigonométricas Función exponencial Funciones logarítmica Función logarítmica y su inversa, la función exponencial INTRODUCCIÓN GENERAL A LA UNIDAD Y ORIENTACIONES PARA EL ESTUDIO En esta unidad introducimos la representación de las funciones polinómicas de grado menor o igual que tres, de las funciones trigonométricas básicas, es decir, la función seno, coseno y tangente. Así como, la representación gráfica de las funciones exponencial y logarítmica. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Estudiar en general las propiedades y características de las funciones polinómicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Llegar a reconocer las gráficas de las funciones polinómicas de grado menor o igual que 3. Se pretende que observando el polinomio y sus coeficientes se determine qué forma tiene la gráfica, sin necesidad de acudir a la tabla de valores. Identificar, construir y representar las funciones trigonométricas Conocer la definición de las funciones exponenciales y logarítmicas DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS 1. Funciones polinómicas Las funciones polinómicas son funciones reales de variable real, cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales y cuya imagen es un subconjunto de los números reales o el conjunto de los números reales, dependiendo del grado del polinomio y del valor de los coeficientes. A continuación detallamos el caso de las funciones polinómicas de grado menor o igual que tres. Así como las características fundamentales para la representación de dichas funciones. Unidad 08: Funciones II Página 1 de 19 Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio Universitat Miguel Hernández Unitat d’accés Universidad Miguel Hernández Unidad de acceso accés a la universitat dels majors de 25 anys acceso a la universidad de los mayores de 25 años MATEMÀTIQUES MATEMÁTICAS 1.1. Representación de funciones polinómicas de grado uno Las gráficas de las funciones polinómicas de grado uno son de la forma f(x)=ax+b, como estudiamos en la unidad didáctica 5, son rectas, si la pendiente a>0 son crecientes y si a<0, son decrecientes. El coeficiente b nos da un punto de la recta: el punto de corte con el eje y. Por tanto, el coeficiente de x, a, determina, salvo traslación, la gráfica de f(x)=ax+b. Recuerda, antes de nada, que para dibujar una recta nos sobra con conocer dos puntos de ésta. Utilizaremos esta propiedad para representar una recta. En general los pasos que podemos seguir para representar una función de grado 1, f(x)=ax+b, son los siguientes: 1. Determinar el punto de corte con el eje de ordenadas y. Punto de coordenadas (0; b). 2. Determinar el punto de corte con el eje de abscisas x. Punto de coordenadas b ; 0 . a 3. Trazar la recta que pasa por los dos puntos anteriores. Unidad 08: Funciones II Página 2 de 19 Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio Universitat Miguel Hernández Unitat d’accés Universidad Miguel Hernández Unidad de acceso accés a la universitat dels majors de 25 anys acceso a la universidad de los mayores de 25 años MATEMÀTIQUES MATEMÁTICAS Ejemplo: f(x)=-2x-3 Unidad 08: Funciones II f(x)=5x-3 f(x)=3x+4 Página 3 de 19 Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio Universitat Miguel Hernández Unitat d’accés Universidad Miguel Hernández Unidad de acceso accés a la universitat dels majors de 25 anys acceso a la universidad de los mayores de 25 años MATEMÀTIQUES MATEMÁTICAS 1.2. Representación de funciones polinómicas de grado 2 Las funciones polinómicas de 2º grado f(x)=ax2+bx+c representan parábolas cuyo eje de simetría es paralelo al eje y. Son valles, si a>0, y montañas, si a<0; a determina la concavidad de la parábola. Entre b y a se halla el eje de simetría: x= -b/2a. Por otra parte c nos da el punto de corte con el eje y, es decir, el punto de coordenadas (0,c). Adicionalmente, no es muy complicado obtener los puntos de corte del polinomio de grado 2 con el eje X. Para ello bastaría con resolver la ecuación ax2+bx+c=0, que como aprendimos en la Unidad 1 tiene raíces de la forma: Ejemplo: f(x)= 2x2+4x-1 Unidad 08: Funciones II f(x)= -x2+2x+2 Página 4 de 19 Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio Universitat Miguel Hernández Unitat d’accés Universidad Miguel Hernández Unidad de acceso accés a la universitat dels majors de 25 anys acceso a la universidad de los mayores de 25 años MATEMÀTIQUES MATEMÁTICAS 1.3. Representación de funciones polinómicas de grado 3 Las cúbicas: f(x)=ax3+bx2+cx+d son como sillas, unas con el asiento hundido y otras sin hundir, podemos observar que el signo de a decide si el respaldo de la silla está a la derecha o a la izquierda y todas son simétricas respecto del punto en el que la x vale -b/3a, punto de inflexión. En este caso, NO basta con el coeficiente a del máximo grado para saber la forma de la función, tal y como ocurre con las gráficas de las funciones polinómicas de menor grado. Para polinomios de grado 3 se necesita estudiar el signo de b2-3ac. Ejemplo: f(x)=x3-x2+x-2 Observa que f(x)=-x3+3x2-1. En este caso a=-1<0 y a 0 b 2 3ac 0 , d=-2 y –b/3a=1/3 b 2 3ac 9 0 , d=-1 y –b/3a=1 Unidad 08: Funciones II Página 5 de 19 Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio Universitat Miguel Hernández Unitat d’accés Universidad Miguel Hernández Unidad de acceso accés a la universitat dels majors de 25 anys acceso a la universidad de los mayores de 25 años MATEMÀTIQUES MATEMÁTICAS 2. Funciones trigonométricas En la unidad didáctica 6 estudiamos cómo obtener el seno, el coseno y la tangente de un ángulo. En esta unidad vamos a estudiar las representaciones gráficas de las funciones seno, coseno y tangente. 2.1. Función seno Se llama función seno a la aplicación que asigna al número real x, el número real seno de x. El dominio de la función seno es el conjunto de todos los números reales (R) y su imagen es el intervalo [-1,1]. Puesto que una vez que hemos dado una vuelta completa a la circunferencia, el valor del seno de un ángulo se repite, se dice que la función seno es una función periódica de período 360o o 2 radianes (función periódica con período de ángulo completo). En el gráfico siguiente, el eje X está expresado en radianes (360o = 2 rad). Grados ‐30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 Ángulo x radianes ‐ 1/6 ‐0,5235987 0 0 1/6 0,52359878 1/3 1,04719755 1/2 1,57079633 2/3 2,0943951 5/6 2,61799388 1 3,14159265 7/6 3,66519143 8/6 4,1887902 9/6 4,71238898 10/6 5,23598776 11/6 5,75958653 2 6,28318531 13/6 6,80678408 14/3 7,33038286 Unidad 08: Funciones II Sin(x) ‐0,5 0 0,5 0,8660254 1 0,8660254 0,5 0 ‐0,5 ‐0,8660254 ‐1 ‐0,8660254 ‐0,5 0 0,5 0,8660254 Eje OX en grados Página 6 de 19 Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio Universitat Miguel Hernández Unitat d’accés Universidad Miguel Hernández Unidad de acceso accés a la universitat dels majors de 25 anys acceso a la universidad de los mayores de 25 años MATEMÀTIQUES MATEMÁTICAS 2.2. Función coseno Se llama función coseno a la aplicación que a cada número real x le asigna el número real coseno de x. La función coseno, al igual que la función seno, tiene como dominio el conjunto de los números reales (R) y como imagen el intervalo [-1,1]. Análogamente, es una función periódica de período 360o o 2 radianes (es decir, también es función periódica de período de ángulo completo). Grados ‐30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 Ángulo x radianes ‐ 1/6 ‐0,5235987 0 0 1/6 0,52359878 1/3 1,04719755 1/2 1,57079633 2/3 2,0943951 5/6 2,61799388 1 3,14159265 7/6 3,66519143 8/6 4,1887902 9/6 4,71238898 10/6 5,23598776 11/6 5,75958653 2 6,28318531 13/6 6,80678408 14/3 7,33038286 Unidad 08: Funciones II Cos(x) 0,8660254 1 0,8660254 0,5 0 ‐0,5 ‐0,8660254 ‐1 ‐0,8660254 ‐0,5 0 0,5 0,8660254 1 0,8660254 0,5 Página 7 de 19 Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio Universitat Miguel Hernández Unitat d’accés Universidad Miguel Hernández Unidad de acceso accés a la universitat dels majors de 25 anys acceso a la universidad de los mayores de 25 años MATEMÀTIQUES MATEMÁTICAS 2.3. Función tangente Se llama función tangente a la aplicación que asigna a cada número real x, el número real tangente de x. En este caso, recuerda que la tangente de un ángulo se puede definir como el cociente sen( x) , por tanto, el dominio de la función tangente cos( x) no es todo el conjunto de los números reales, pues no está definida para aquellos valores en los que el coseno del ángulo vale cero. Es decir, el domino de la función tangente es dom(tan( x )) R (2t 1)* 90, t Z si trabajamos en grados y dom(tan( x)) R (2t 1) * 2 t Z si trabajamos en radianes. Sin embargo la imagen de la función tangente es todo el conjunto de los números reales (R). Observa, utilizando la definición de tangente, así como la siguiente gráfica, que los valores que toma la tangente también vuelven a repetirse. Es decir, esta función también es periódica, pero en este caso de periodo 180 grados o radianes. Grados ‐30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 Ángulo x radianes ‐ 1/6 ‐0,5235987 0 0 1/6 0,52359878 1/3 1,04719755 1/2 1,57079633 2/3 2,0943951 5/6 2,61799388 1 3,14159265 7/6 3,66519143 8/6 4,1887902 9/6 4,71238898 10/6 5,23598776 11/6 5,75958653 2 6,28318531 13/6 6,80678408 14/3 7,33038286 Unidad 08: Funciones II Tan(x) ‐0,57735027 0 0,57735027 1,73205081 ‐‐‐ ‐1,73205081 ‐0,57735027 0 0,57735027 1,73205081 ‐‐‐ ‐1,73205081 ‐0,57735027 0 0,57735027 1,73205081 Página 8 de 19 Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio Universitat Miguel Hernández Unitat d’accés Universidad Miguel Hernández Unidad de acceso accés a la universitat dels majors de 25 anys acceso a la universidad de los mayores de 25 años MATEMÀTIQUES MATEMÁTICAS 3. Función exponencial La función exponencial es muy importante en matemáticas. Es la función con más presencia en los fenómenos observables. Así presentan comportamiento exponencial: la reproducción de una colonia de bacterias, la desintegración de una sustancia radiactiva, algunos crecimientos demográficos, la inflación, la capitalización de un dinero colocado a interés compuesto, etc. Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma f(x) = ax o y = ax, donde la base de la potencia "a" es constante (un número) y el exponente la variable x. Además, asumiremos que la base de la potencia, a, es mayor estricto que cero y distinta de uno. Ejemplo: Algunos tipos de bacterias se reproducen por "mitosis", dividiéndose la célula en dos cada espacio de tiempo muy pequeño, en algunos casos cada 15 minutos. ¿Cuántas bacterias se producen en estos casos, a partir de una, en un día? Minutos 15 Nº Bacterias 2 30 45 60 x 4 8 16 2x Siendo x los intervalos de 15 minutos, en una hora tendremos 24 = 16 bacterias, en dos horas 28 = 256 bacterias,... en un día 224·4 = 296 = 7,9·1028 bacterias. Esto nos da idea del llamado ¡crecimiento exponencial!, expresión que se utiliza cuando algo crece muy deprisa. La gráfica de la función exponencial de base 2 es la siguiente: x y=2x ‐100 7,88861E‐31 ‐10 0,000976563 ‐6 0,015625 ‐5 0,03125 ‐4 0,0625 ‐3 0,125 ‐2 0,25 ‐1 0,5 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 10 1024 100 1,26765E+30 Unidad 08: Funciones II Página 9 de 19 Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio Universitat Miguel Hernández Unitat d’accés Universidad Miguel Hernández Unidad de acceso accés a la universitat dels majors de 25 anys acceso a la universidad de los mayores de 25 años MATEMÀTIQUES MATEMÁTICAS A continuación representamos las funciones exponenciales de base 2 y de base 0.5 en un mismo gráfico. y=2x x ‐100 7,88861E‐31 ‐10 0,000976563 y=(1/2)x 1,26765E+30 1024 ‐6 0,015625 64 ‐5 0,03125 32 ‐4 0,0625 16 ‐3 0,125 8 ‐2 0,25 4 ‐1 0,5 2 0 1 1 1 2 0,5 2 4 0,25 3 8 0,125 4 16 0,0625 5 32 0,03125 6 64 0,015625 10 1024 100 1,26765E+30 0,000976563 7,88861E‐31 Del gráfico anterior podemos observar que la función exponencial satisface las siguientes propiedades: El dominio de la función exponencial es todo el conjunto de los números reales (R). En todos los casos, es decir, independientemente del valor de la base, siempre pasa por un punto fijo, que es el punto de coordenadas (0,1). Su imagen son los números reales positivos (R+). La función exponencial es creciente si a>1 y decreciente si 0<a<1. En la siguiente gráfica se representan las funciones 2x y 3x en azul y la función y = ex en verde. Quizás ya conozcas el número "e". Si no lo conocías, se trata de un número irracional, por tanto con infinitas cifras decimales y no periódico, cuyo valor es 2,718281... en sus seis primeras cifras decimales. La función exponencial que tiene por base el número e tiene un especial interés que conocerás mejor cuando se estudien los límites y los logaritmos. Evidentemente e>1, luego la función ya es conocida. Además de escribirse como y = ex , también se escribe como y=exp(x), por tratarse de la función exponencial más utilizada. Unidad 08: Funciones II Página 10 de 19 Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio Universitat Miguel Hernández Unitat d’accés Universidad Miguel Hernández Unidad de acceso accés a la universitat dels majors de 25 anys acceso a la universidad de los mayores de 25 años MATEMÀTIQUES MATEMÁTICAS 4. Función logarítmica La función logarítmica es muy importante en matemáticas. Constituye un poderoso instrumento en la práctica del cálculo numérico. Por ser la recíproca de la exponencial, esta función es una de las de más presencia en los fenómenos observables. Se llaman funciones logarítmicas a las funciones de la forma f(x) = loga(x) donde "a" es constante (un número positivo) y se denomina la base del logaritmo. A continuación presentamos la gráfica de la función logarítmica de base a=2>1 y la de base 0<a=1/2<1 para que observes las similitudes y las diferencias. x y=log2(x) ‐1 #¡NUM! 0 #¡NUM! 0,125 ‐3 0,5 ‐1 1 0 2 1 4 2 6 2,5849625 8 3 16 4 128 7 x y=log1/2(x) ‐1 #¡NUM! 0 #¡NUM! 0,125 3 0,5 1 1 0 2 ‐1 4 ‐2 6 ‐2,584962501 8 ‐3 16 ‐4 128 ‐7 La función logarítmica que más se utiliza en matemáticas es la función "logaritmo neperiano", tiene base a=e, y se simboliza normalmente como ln(x), (la función logaritmo en base 10 se simboliza normalmente como log(x)). Unidad 08: Funciones II Página 11 de 19 Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio Universitat Miguel Hernández Unitat d’accés Universidad Miguel Hernández Unidad de acceso accés a la universitat dels majors de 25 anys acceso a la universidad de los mayores de 25 años MATEMÀTIQUES MATEMÁTICAS y=ln(x) = loge(x) x ‐1 #¡NUM! 0 #¡NUM! 0,1 ‐2,30258509 0,5 ‐0,69314718 1 0 2 0,693147181 2,71828183 1 3 1,098612289 7,3890561 2 20,0855369 3 22026,4658 10 x y=log(x) ‐1 #¡NUM! 0 #¡NUM! 0,01 ‐2 0,1 ‐1 1 0 8 0,90308999 10 1 90 1,95424251 100 2 1000 3 100000 5 De las gráficas anteriores se puede observar las siguientes propiedades de la función logarítmica: Observa que la función existe sólo para valores de x mayores que 0, a diferencia de la exponencial que existe para cualquier valor de x. (puedes utilizar la calculadora para ver que el logaritmo de un número negativo ó 0 no existen). Decimos por tanto que el dominio de la función logarítmica es R+ o el intervalo (0, +∞) Observa que en todos los casos la función pasa por un punto fijo (1,0) Observa que se acerca al eje Y tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia abajo en el caso en que a>1 y hacia arriba en caso de a<1. Unidad 08: Funciones II Página 12 de 19 Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio Universitat Miguel Hernández Unitat d’accés Universidad Miguel Hernández Unidad de acceso accés a la universitat dels majors de 25 anys acceso a la universidad de los mayores de 25 años MATEMÀTIQUES MATEMÁTICAS 5. Función logarítmica y su inversa, la función exponencial En la siguiente gráfica se te presenta la función logarítmica de base "a" y la función exponencial de la misma base (concretamente a=2). Las funciones exponencial y logarítmica se dice que son una inversa de la otra. Gráficamente se observa viendo que son simétricas respecto a la recta y = x, como se ve en la gráfica anterior. Numéricamente se observa que, siendo f(x)=2x y g(x)=log2(x), f(2)=22=4 y g(4)= log2(4)=2, f(3)=23=8 y g(8)= log2(8)=3, etc. x f(x) g(f(x)) 2 22=4 log2(4)=2 3 23=8 log2(8)=3 -2 2-2=0,25 log2(0,25)=-2 10 210=1024 log2(1024)=10 Unidad 08: Funciones II Página 13 de 19 Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio Universitat Miguel Hernández Unitat d’accés Universidad Miguel Hernández Unidad de acceso accés a la universitat dels majors de 25 anys acceso a la universidad de los mayores de 25 años MATEMÀTIQUES MATEMÁTICAS RESUMEN Representación de funciones polinómicas o Grado 1 (rectas) f(x)=ax+b. Punto de corte con el eje de ordenadas (0,b). Punto de corte con el eje de abscisas (-b/a,0). o Grado 2 (parábolas) f(x)=ax2+bx+c. a>0, valles y a<0 montañas. El eje de simetría tiene como coordenada de abscisas x=-b/2a. El punto de corte con el eje de abscisas es el punto de coordenadas (0,c). o Grado 3 (funciones cúbicas) f(x)=ax3+bx2+c son como sillas, si a>0 el respaldo está a la derecha y si a<0, el respaldo está a la izquierda. So simétricas respecto del punto en el que la x=-b/3a. En este caso NO es suficiente con conocer el coeficiente “a” para saber la forma de la función. Las funciones seno y coseno o Su dominio es todo el conjunto de los números reales R, y su recorrido o imagen es el intervalo [-1,1]. Es una función periódica de período 360º o 2 radianes. La función tangente o El dominio de la función es dom(tan( x )) R (2t 1)* 90, t Z y su imagen es todo el conjunto de los números reales R. o Es una función periódica de período 180 grados o radianes. Función exponencial o El dominio es el conjunto de los números reales y la imagen es el conjunto de los números reales positivos R+. o Independientemente de la base en la que estemos trabajando, todas las funciones exponenciales pasan por el punto de coordenadas (0,1). o Es una función creciente si a>1 y decreciente si 0<a<1. Función logarítmica o Es la función inversa de la función exponencial. Por tanto, su dominio es el conjunto de los números reales positivos R+ y la imagen el conjunto de los números reales R. o Independientemente de la base en la que estemos trabajando, todas las funciones logarítmicas pasan por el punto de coordenadas (1,0). o se acerca al eje Y tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia abajo en el caso en que a>1 y hacia arriba en caso de a<1. BIBLIOGRAFÍA Emilio Bujalance y otros. Matemáticas especiales. Editorial Sanz y Torres (1998). 2ª Edición María E. Ballvé y otros. Problemas de matemáticas especiales. Editorial Sanz y Torres (1996). 2ª Edición. José T. Pérez Romero y José A. Jaramillo Sánchez. Matemáticas. Pruebas de acceso a la universidad para mayores de 25 años. Editorial MAD. (2002). http://descartes.cnice.mecd.es/ http:www.uoc.edu Unidad 08: Funciones II Página 14 de 19 Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio Universitat Miguel Hernández Unitat d’accés Universidad Miguel Hernández Unidad de acceso accés a la universitat dels majors de 25 anys acceso a la universidad de los mayores de 25 años MATEMÀTIQUES MATEMÁTICAS ACTIVIDADES 1. Dadas las siguientes funciones polinómicas: f(x)=2x-3; g(x)=3x2+6x-2 y h(x)=-x3+x2-4. Determina el dominio y la imagen y esboza la gráfica de cada una de ellas. 2. Dadas las siguientes funciones trigonométricas (el eje X está expresado en radianes): Unidad 08: Funciones II Página 15 de 19 Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio Universitat Miguel Hernández Unitat d’accés Universidad Miguel Hernández Unidad de acceso accés a la universitat dels majors de 25 anys acceso a la universidad de los mayores de 25 años MATEMÀTIQUES MATEMÁTICAS Determina para cada una de ellas: a) Dominio e imagen b) Período c) El valor que toman dichas funciones para los siguientes valores de x (ayúdate con la calculadora) Ángulo 0º x rad sen(2x) sen(3x) cos(2x) 2sen(x) -1+sen(x) 1+cos(x) Unidad 08: Funciones II 45º 90º 180º 270º 360º Dom Img Período Página 16 de 19 Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio Universitat Miguel Hernández Unitat d’accés Universidad Miguel Hernández Unidad de acceso accés a la universitat dels majors de 25 anys acceso a la universidad de los mayores de 25 años MATEMÀTIQUES MATEMÁTICAS 3. ¿La gráfica siguiente corresponde 4. ¿La gráfica siguiente corresponde con la función cuya expresión con la función cuya expresión algebraica es f(x)=(x-2)2-3? algebraica es f(x)=2x-x2? 5. ¿La gráfica siguiente corresponde 6. ¿La expresión f(x)=-(x-1)x(x+1) se con la función cuya expresión corresponde con la gráfica siguiente? algebraica es f(x)=2x-x2? Unidad 08: Funciones II Página 17 de 19 Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio Universitat Miguel Hernández Unitat d’accés Universidad Miguel Hernández Unidad de acceso accés a la universitat dels majors de 25 anys acceso a la universidad de los mayores de 25 años MATEMÀTIQUES MATEMÁTICAS 7. ¿Se corresponde la expresión y=3-x 8. ¿Se corresponde la expresión y=-(2x ) con la gráfica siguiente? con la gráfica siguiente? 9. ¿Se corresponde la expresión y=-ln(x) 10. ¿Se corresponde la expresión con la gráfica siguiente? y=2log(x) con la gráfica siguiente? Unidad 08: Funciones II Página 18 de 19 Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio Universitat Miguel Hernández Unitat d’accés Universidad Miguel Hernández Unidad de acceso accés a la universitat dels majors de 25 anys acceso a la universidad de los mayores de 25 años MATEMÀTIQUES MATEMÁTICAS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1. Representa las gráficas de las siguientes funciones si x 2 1 a) f ( x) 2 x 3 si x 2 x 2 1 si b) g ( x) 2 x 1 si c) h( x) x 2 6 x 9 d) j ( x) sen( x) 3 2. x 1 x 1 Un empresario incrementa el precio de sus productos en un 5% anual. Actualmente uno de sus productos vale 18 euros. Encuentra la función que te proporcione el precio del producto en función de los años transcurridos. A partir de ésta, contesta a las siguientes cuestiones: a) ¿Cuánto costará el producto dentro de 4 años? b) ¿Cuánto costaba hace 4 años? SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1. a) b) c) 2. d) a) 18 (1.05) 4 21.879 Unidad 08: Funciones II b) 18 (1.05) 4 14.809 Página 19 de 19 Prof. Xavier Barber y Juan Aparicio
