Cap 08 – Pandeo Local de Elementos Compuestos

Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC
J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015
Capítulo 8
PANDEO LOCAL
DE ELEMENTOS COMPUESTOS
1 SECCIONES TÍPICAS DE PARED DELGADA PARA RESISTIR FLEXO-COMPRESIÓN
Un aspecto importante relacionado con el diseño es el costo, el cual está siempre ligado con el
peso del elemento resistente que a su vez depende del área de la sección utilizada. Cuando la
estabilidad ( pandeo) interviene en el diseño, el parámetro más importante es la esbeltez. Cuanto
menor es el valor de la esbeltez mayor es la carga crítica que el elemento estructural puede resistir.
En consecuencia se debe elegir una sección que para igual área produzca el mayor valor posible del
radio de giro en la dirección de pandeo. Para una dirección dada de pandeo, la sección ideal es un
perfil dobleté con alas muy delgadas y alejadas entre si. Si las restricciones de borde son las
mismas en cualquier dirección, la “mejor” solución resulta ser un tubo cilíndrico delgado.
En ambos casos, en el párrafo anterior, se hace referencia a secciones de pared delgada como una
solución eficiente. Sin embargo existen limitaciones porque una vez superado cierto valor máximo de la
relación entre el ancho y el espesor de un elemento comprimido, que es parte de la sección resistente,
se produce el fenómeno de pandeo local de ese elemento individual. En esos casos las ecuaciones
que gobiernan el pandeo global de la viga-columna no son suficientes para resolver el problema.
El valor máximo para la relación ancho/espesor depende del tipo de carga, del material, de la
forma de la sección y del tipo de apoyos. El objeto de este capítulo es encontrar esa relación para
distintas situaciones y además desarrollar criterios de diseño para prevenir el pandeo local.
Figura 1: Secciones típicas de pared delgada usadas para resistir flexo-compresión
En la Figura 1 se muestran secciones típicas usadas para resistir flexo-compresión. Con la
excepción del tubo circular, las restantes están compuestas esencialmente por placas. Esas placas
están solicitadas en compresión, flexión y corte en su propio plano. Las secciones de pared delgada
del tipo a, b y c de la Figura 1 son muy eficientes cuando se las emplea como columnas porque
tienen aproximadamente igual resistencia en todas las direcciones transversales. Esto es exacto en el
caso del tubo circular (Figura 1a). La sección de la Figura 1b puede obtenerse por extrucción o
fabricarse por soladura dependiendo del material y del tamaño. La sección mostrada en la Figura 1c
está compuesta por dos perfiles canal y dos placas que se unen por soldadura o remachado.
La Figura 2 muestra secciones abiertas del tipo dobleté de alas anchas (y similares) que son muy
utilizadas en estructuras metálicas. Cuando se unen varios elementos simples por soldadura para
obtener un elemento compuesto, debe programarse cuidadosamente la secuencia de la soldadura de
los cordones a fin de disminuir en lo posible las tensiones residuales. Una sección como la de la
Figura 2g se fabrica generalmente con chapa plegada y posteriormente soldada por puntos.
Figura 2: Secciones abiertas del tipo dobleté usadas en estructuras metálicas
En la Figura 3 se muestran secciones que no son convenientes para resistir tensiones de
compresión importantes y que son utilizadas generalmente en elementos secundarios.
Figura 3: Secciones abiertas usadas en elementos secundarios de estructuras metálicas
143
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2 TENSIÓN CRÍTICA DE PANDEO DE LAS PLACAS QUE FORMAN UNA SECCIÓN
En el caso de columnas y vigas (compuestas por placas) en flexo-compresión se considera que
las placas que forman la sección están apoyadas unas en otras. Dado que la carga crítica de cada
placa depende de las condiciones de apoyo a lo largo la misma y que el largo de las placas que
componen el elemento estructural es mucho mayor que el ancho, la carga crítica resulta independiente del largo de la placa y de las condiciones de apoyo en los extremos cargados. En ese caso se
pueden usar los coeficientes de pandeo del Capítulo 6 para el caso largo/ancho que tiende a infinito.
Cuando un elemento estructural está compuesto por varias placas delgadas, las placas menos
solicitadas proveen restricción (apoyo) a las placas más comprometidas. Un límite inferior para la
carga crítica puede obtenerse sumando las cargas críticas de todas las placas supuestas simplemente
apoyadas unas en las otras ( los bordes libres deben considerarse como tales).
2.1 Placa solicitada en compresión uniforme
En la Figura 4 se muestra el caso de una placa rectangular, solicitada únicamente por una carga
de compresión uniforme, que es parte de una sección resistente solicitada por carga axial y/o flexión.
Como el largo de las placas, que forman el elemento estructural, es mucho mayor que el ancho,
la carga crítica resulta independiente del largo de la placa y se calcula usando los coeficientes de
pandeo K ∞ del Capítulo 6. La carga crítica está dada por
=
Pcrít
π 2D
siendo D
=
K
b
E h3
12 (1 − ν 2 )
(1)
de donde
σ crít = K
π 2E
 h
 
2
12 (1 − ν )  b 
2
(2)
Figura 4: Tensión crítica de una placa en compresión
El coeficiente de pandeo local de una placa que es parte de una sección compuesta depende de
las condiciones de borde de los lados largos (no cargados) y corresponde al caso a >>b. Los valores
asintóticos para a >>b de las Figuras 7, 8, 9, 10 y 11 del Capítulo 6, se resumen en la Tabla 1.
Tabla 1: Coeficientes de pandeo local ( valores asintóticos para a > > b )
Caso
Tipo de apoyo de los lados largos
Figura No
(C apítulo 6 )
Sección A-A
( Figura 4 )
K∞
1
Dos lados apoyados
7
4,0
2
Dos lados empotrados
8
7,0
3
Un lado empotrado y otro apoyado
9
5,4
4
Un lado empotrado y otro libre
10
1,3
5
Un lado apoyado y otro libre
11
0,42
El valor de la tensión crítica dada en la ecuación (2) es independiente del largo a y de las
condiciones de apoyo (articulado o empotrado) en los extremos donde actúa la carga de compresión P.
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2.2 Placa solicitada en flexión y/o compresión
En el caso de placas que están solicitadas a flexión o flexo-compresión, la tensión crítica se
calcula con la ecuación (2) y los coeficientes de pandeo dados en la Tabla 2.
Tabla 2: Coeficientes de pandeo local K para el caso de flexión de la placa
Caso →
Borde superior →
Borde inferior →
σ2/σ
1
3
4
5
6
7
8
empotrado empotrado
1
2
apoyado
apoyado
empotrado
libre
apoyado
libre
empotrado apoyado
empotrado
apoyado
libre
empotrado
libre
apoyado
1
7,0
5,4
5,4
4,0
1,3
1,3
0,42
0,42
0
13,6
11,6
9,8
7,7
5,9
1,6
1,7
0,57
–1
39,6
35,0
28,0
23,8
14,9
2,16
6,8
0,84
Para valores intermedios de la relación x = σ2/σ1 se puede interpolar utilizando las expresiones
aproximadas dadas en la Tabla 3. Debe respetarse la siguiente convención:
1) Cuando σ1 y σ2 son ambas de compresión se adopta σ1 a la de mayor valor absoluto.
2) Cuando σ1 y σ2 tienes distinto signo se adopta σ1 a la tensión de compresión.
Tabla 3: Fórmulas de interpolación para el coeficiente K en función de la relación x = σ2 / σ1
Caso
σ1
σ2
Polinomio de interpolación
x = –1
x=0
x = +1
1
Empotrado Empotrado
13,6 – 13 x + 9,7 x2 – 3,3 x3
39,6
13,6
7,0
2
Empotrado Apoyado
11,6 – 12 x + 8,6 x2 – 2,8 x3
35,0
11,6
5,4
3
Apoyado
Empotrado
9,8 – 9 x + 6,9 x2 – 2,3 x3
28,0
9,8
5,4
4
Apoyado
Apoyado
7,7 – 7 x + 6,2 x2 – 2,9 x3
23,8
7,7
4,0
5
Empotrado Libre
5,9 – 6 x + 2,2 x2 – 0,8 x3
14,9
5,9
1,3
6
Libre
1,6 – 0,37 x + 0,13 x2 – 0,06 x3
2,16
1,6
1,3
6,8
1,7
0,42
0,84
0,57
0,42
Empotrado
2
3
7
Apoyado
Libre
1,7 – 2,55 x + 1,91 x – 0,64 x
8
Libre
Apoyado
0,57 – 0,19 x + 0,06 x2 – 0,02 x3
2.3 Placa solicitada en corte
En el caso de placas de alma de secciones del tipo mostrado en la Figura 2 que están solicitadas
a corte como se indica en la Figura 5, la tensión crítica de corte τcrít se calcula usando las
ecuaciones (48) y (49) del Capítulo 6. Partiendo del N12 crít, la tensión crítica de corte se obtiene
haciendo τ crít = N12 crít / h y se llega a :
τ crít
π 2E
h
=K
 
2
12 (1 − ν )  b 
2
(3)
donde para a/ b > 1
bordes apoyados →
K = 5,35 + 4 / (a/ b) 2
bordes empotrados → K = 8,98 + 5,6 / (a/b)
Figura 5: Tensión crítica de una placa solicitada a corte
145
(4)
2
(5)
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2.4 Placa solicitada en flexión compuesta y corte
En casos de carga combinada, como el indicado en la Figura 6, se debe calcular la tensión crítica
σ crít para flexión compuesta sola como se indicó anteriormente y la tensión crítica τcrít para el corte
actuando solo, para luego calcular el coeficiente de seguridad CS empleando una curva de interacción.
CS =
OP '
OP
(6)
Figura 6: Coeficiente de seguridad de una placa solicitada a flexión compuesta y corte
Notar que la tensión crítica σcrit debe calcularse según (2) utilizando el coeficiente de pandeo
que corresponda dado en las Tablas 1, 2 ó 3. Debe tenerse presente que el σcrit utilizado no puede
ser mayor que la tensión de fluencia en compresión.
2


π 2E
h
= menor  K
  , σf 
2
 12 (1 − ν )  b 

σ crít
(7)
Similarmente la tensión de corte crítica se calcula según (3) usando los coeficientes de pandeo
aproximados dados por (4) y (5).
τ crít
2

σf
π 2E
h
= menor  K
  ,
2
2
 12 (1 − ν )  b 



(8)
El coeficiente de seguridad para el pandeo local se puede obtener también usando la ecuación
(9) provista por la Norma DIM 4114.
σ1 + σ 2
1
=
+
CS
4σ crit
2
 3σ 1 − σ 2   τ 

 +

 4σ crit   τ crit 
2
(9)
3 SECCIÓN COMPACTA
Una manera de evitar que el modo de falla sea el pandeo local es asegurando que la tensión crítica
de pandeo local sea mayor o igual a la tensión de fluencia en compresión σf. Haciendo σcrit ≥ σf en la
ecuación (2) se puede despejar la relación máxima admisible entre el ancho (b) y el espesor (h) :
b
≤
h
K
π2
E
2
12 (1 − ν ) σ f
(10)
Cuando la relación entre el ancho y el espesor de cada una de las placas que componen la
sección resistente cumple con la condición (10) se dice que la sección es ‘compacta’ y en ese caso
no necesita verificarse al pandeo local.
Notar que el coeficiente de pandeo K en (10) depende del tipo de apoyo (o sea de la sección)
y también del tipo de carga (corte, flexión o compresión).
Hay que tener en cuenta que “cuesta” el mismo trabajo verificar el pandeo local de una sección
usando (2) que verificar si esa sección es compacta (y por lo tanto no necesita ser verificada a pandeo
local) usando (10). Esto se debe a que (10) se deduce de (2). No obstante el concepto de “sección
compacta” es importante. Por ejemplo, el hecho de que los perfiles comerciales (té, dobleté, ele,
canal, etc.) tienen secciones compactas da tranquilidad al proyectista quien no debe preocuparse
por la posibilidad de que el modo de falla sea el pandeo local.
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4 VIGAS Y COLUMNAS RETICULADAS
En el caso de elementos reticulados (vigas o columnas) en compresión puede darse el
fenómeno de pandeo del conjunto denominado “pandeo global” o el pandeo de alguno de sus
elementos constitutivos en forma individual “pandeo local”, como que se indica en la Figura 7.
Figura 7: Pandeo local y global de vigas y columnas reticuladas
En el caso de la Figura 7-a, debe adoptarse un coeficiente de seguridad mayor para el pandeo
del conjunto porque es más peligroso. Recordar que para el pandeo de columna la carga crítica es la
máxima carga portante.
Por otro lado, al verificar elementos a pandeo local habitualmente se consideran los extremos
como articulados cuando en realidad siempre existe un cierto grado de restricción al giro
(empotramiento elástico) y en ese caso se está del lado de la seguridad al considerar al extremo
como simplemente apoyado.
En el caso de una columna, como la mostrada en la Figura 7-a, puede pandear cualquiera de
los tramos montantes porque los tramos generalmente tienen iguales características. Notar que si se
considera el peso propio el tramo más solicitado es el inferior.
En cambio, en el caso de una viga en flexión de tramos iguales, como la mostrada en la Figura 7-b,
el mayor peligro de pandeo local lo tiene el elemento más cargado en compresión que está asociado
al momento flector máximo.
En el caso de estructuras hiperestáticas puede ocurrir que después del pandeo de algún elemento
( pandeo local) se produzca una redistribución de tensiones y la estructura admita cargas adicionales.
Generalmente las barras comprimidas de los reticulados se verifican a pandeo local usando el
método omega. En tales casos debe verificarse que
F
< σ adm
(11)
A
donde F es la fuerza de compresión, A es el área de la barra, σadm es la tensión admisible en tracción
del material y ω es un coeficiente definido como:
ω
ω=
Tensión admisible en tracción
Tensión admisible en pandeo
(12)
La tensión admisible σadm se encuentra tabulada en las normas para los materiales habitualmente
usados en estructuras metálicas reticuladas. El coeficiente ω también se encuentra tabulado en las
normas para los distintos materiales en función de la esbeltez λ dada por (13)
λ = Lp / r
(13)
donde Lp es la longitud de pandeo (que depende las restricciones en los extremos de la barra) y r es
el radio de giro ( r = I / A , donde I es el momento de inercia y A es el área de la sección).
Este tema se trata más detalladamente en el Capítulo: Estructuras Metálicas – Torres.
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ANEXO DEL CAPÍTULO 8
PROPIEDADES DE SECCIONES
DE PARED DELGADA DE ESPESOR UNIFORME
t : espesor pequeño y uniforme en todas las caras
b : ancho
h : altura
Propiedad
Ix
Momento
de inercia
Wx
Módulo
resistente
Iy
Momento
de inercia
t h3 ( 4b + h )
12 ( b + h )
t h ( 4b + h ) / 6
arriba
t h 2 ( 4b + h )
6 ( 2b + h )
abajo
t b3
12
t h2
( 6b + h )
12
t h2
( 3b + h )
6
th
( 6b + h )
6
th
( 3b + h )
3
t b3
6
t b2
( b + 3h )
6
t h3 ( 2b + h )
t h3 ( 4b + h )
t h ( 2b + h ) / 3
arriba
t h 2 ( 2b + h )
t h ( 4b + h ) / 6
arriba
t h 2 ( 4b + h )
t b2
( b + 6h )
12
t b 3 ( b + 4h )
12 ( b + h )
3 ( b + 2h )
3 (b + h )
abajo
12 ( b + h )
t π r3
t π r2
6 ( 2b + h )
Abajo
----
tb 2 ( b + 4h )
Wy
6 ( b + 2h )
a derecha
t b ( b + 4h ) / 6
a izquierda
t b2
6
t b2
3
tb
( b + 3h )
3
tb
( b + 6h )
6
Producto
de inercia
0
0
0
0
t b2 h2
4 (b + h)
0
JR
t3
(b + h )
3
t3
( 2b + h )
3
2t b 2 h 2
b+h
t3
( b + 2h )
3
t3
(b + h )
3
2t π r 3
h 2 ( 6b + h )
h 2 ( 3b + h )
h3 ( 2b + h ) /3
----
0, 7071 r
h2
2 (b + h )
-----
-----
-----
Módulo
resistente
Ixy
Módulo
torsional
rx
h3 ( 4b + h ) / 12
Radio
de giro
b+h
Eje neutro
desde arriba
h2
2 (b + h )
ry
Radio
de giro
b3
12 ( b + h )
12 ( 2b + h )
----b3
6 ( 2b + h )
12 ( b + h )
----b 2 ( b + 3h )
12 ( b + h )
148
b + 2h
h2
b + 2h
b 2 ( b + 6h )
12 ( b + 2h )
-----
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PRÁCTICO
Pandeo Local
1 Partiendo de una chapa de 1,2 mm de espesor, 2,8 m de largo y 24 cm de ancho se ha fabricado una
columna de extremos articulados. Determinar en los tres casos siguientes la máxima carga portante
que garantice: CS ≥ 4 para el pandeo de columna; CS ≥ 2,5 para el pandeo local y CS ≥ 2 para
fluencia en compresión, siendo σf = 2400 kg/cm2, E = 2100000 kg/cm2 y ν = 0,3.
a) Sección U de 8 cm de lado de chapa doblada (sección abierta).
b) Sección cuadrada hueca de chapa doblada y soldada de 6 cm de lado (sección cerrada).
c) Sección circular hueca de chapa curvada y soldada de 7,64 cm de diámetro (sección cerrada).
2 Hay que diseñar una columna de 6 m de altura con una carga de 12 T utilizando 4 perfiles L de alas
iguales según se indica en el croquis. σf = 2400 kg/cm2, E = 2100000 kg/cm2 y ν = 0,3. Se pide:
a)
b)
c)
d)
Elegir el área del perfil de modo que CS ≥ 2,5 para compresión simple.
Determinar b para lograr el CS requerido por el pandeo de columna ( pandeo global ).
Calcular h para obtener el CS requerido por el pandeo de un tramo de columna ( pandeo local ).
Verificar que el perfil elegido es “compacto” para el pandeo de placa (pandeo local).
 3,5......................... si λ > 100
Para pandeo considerar CS = 
2
 1,7 + 0,00018 λ .....si λ < 100
Ayuda: Se dan los datos de un perfil L de lados iguales de 2” x 2” y espesor ⅛”.
A1 = 3,16 cm 2
Iη = 3, 29 cm 4
I x = 7,5 cm 4
3 En el croquis se indica la sección de una bandeja portacables de chapa doblada de 1,2 mm.
σf = 2400 kg/cm2
E = 2100000 kg/cm2
ν = 0,3
La bandeja tiene tramos igualmente espaciados cada
2 m y pesa 20 kg/m incluyendo los cables.
Se pide:
a) Calcular CS para falla por fluencia.
b) Determinar CS considerando pandeo local.
c) Calcular el espesor requerido para que CS ≥ 3 para pandeo local.
d) Para el caso h = 1,2 mm determinar la distancia entre apoyos de modo que sea CS ≥ 3.
Ayuda: Se muestra el momento flector en el primer tramo.
149
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SOLUCIÓN del PRÁCTICO
Pandeo Local
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Nota: Todos los resultados parciales y finales se dan unidades [cm] y [kg]
1 Determinación de la máxima carga portante con un dado C
S de tres columnas fabricadas con chapa
doblada cuyas secciones tienen igual área ( 2,88 cm2 ) e igual espesor (1,2 mm) pero forma diferente.
El área es la misma en los tres casos: A = 24 x 0,12 = 2,88 cm2.................................. A = 2,88 cm 2
La máxima carga con CS = 2 a fluencia es:=
........ Pmáx
a) Sección U de 8 cm de lado
Pandeo global (columna)
(=
A x σ f ) / CS
h3 (2 b + h) / 3
=
b + 2h
Radio de giro:=
Anexo Cap. 8 → rx
(2,88
=
x 2400) / 2
3456 kg
83 (2 x 8 + 8) / 3
= 2,667 cm
8 + 2x8
82 (8 + 6 x 8)
largo
280
Esbeltez:
= 3,53 se utiliza el menor : rx.
=
λx = = 105,0
12 x (8 + 2 x 8)
rx
2,667
2
2
2
2
Considerando la Ec. (59) caso c del Cap. 5=
→ σ crit π=
/105
1880 kg / cm 2
π x 2100000
=
x E /λ
=
ry
Pcrit = σ crit A = 1880 x 2,88 = 5414 kg
Pandeo local (placa)
Tensión crítica en cada ala:
Tabla 1 Caso 5
Tensión crítica en el alma:
Tabla 1 Caso 1
→
Pmáx = Pcrit / CS = 5414 / 4 = 1353 ……... Pmáx = 1353 kg
π x 2100000  0,12 
=
42
K ∞ = 0, 42 Ec. (2) → σ crít 0,=

 179, 4
12 (1 − 0,32 )  8 
2
2
π x 2100000  0,12 
Ec. (2) → σ crít
4=
K ∞=
=4

 1708, 2
12 (1 − 0,32 )  8 
2
2
Carga crítica del conjunto:
2 x (8 x 0,12) x 179, 4 + (8 x 0,12) x 1708, 2 =
1984,3
Pcrít =
∑ Ai (σ crít )i =
Carga máxima limitada por el pandeo local de las placas....=
Pmáx 1984,3 / 2,5 → =
Pmáx
793 kg
b) Sección cuadrada de 6 cm de lado
Pandeo global (columna)
=
rx
Radio de giro:
=
λx 280
=
/2, 45 114,3
Cap. 5 Ec. (59) →
Anexo Cap. 8
→
h 2 ( 3b + h )
=
12 ( b + h )
62 x ( 3 x 6 + 6 )
=
12 x ( 6 + 6 )
2, 45
2
σ crit= π 2 x 2100000 /114,3=
1586,5 → Pcrít= (1586,5 x 2,88)= 4569 kg
Carga máxima limitada por el pandeo global de la columna:. Pmáx = Pcrít / Cs = 4569 / 4 → Pmáx = 1142 kg
2

π 2 x 2100000  0,12 
3036,8
=
 Ec. (2) → σ crít 4=


12 (1 − 0,32 )  6 

σcrít en cada lado: Tabla 1 Caso 5 K ∞ = 4 
 Pcrít = 3036,8 x 2,88 = 8746 → Pmáx = 8746 / 2,5 = 3498 kg
Pandeo local (placa)
c) Sección circular de 7,64 cm de diámetro (radio = 3,82 cm)
Pandeo global (columna)
Radio de giro:
Cap. 5 Ec. (59) →
Anexo Cap. 8
→ rx=
0,7071 x 3,82= 2,70 → λx=
280 / 2,70= 103,7
σ crit = π 2 x 2100000 /103,7 2 = 1927 → Pcrít = (1927 x 2,88) = 5550 → Pmáx = 5550 / 4 = 1387 kg
Pandeo local (cáscara)
1,26
0,52
0,74
Cap. 7 Ec. (47) → σ crít = 0,76 x 2100000 x 0,12 / (280
x 3,82
) = 2185
→
Pmáx = 2185 x 2,88/ 2,5 = 2517 kg
Carga máxima limitada por el pandeo global de la columna:.....................................
Pmáx = 1387 kg
CONCLUSIÓN: La sección circular es más eficiente para evitar el pandeo que las dos restantes.
150
Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC
J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015
2 Diseño de una columna de 6 m de altura con una carga de 12 T utilizando 4 perfiles L.
a) Elección del área del perfil de modo que CS ≥ 2,5 para compresión simple
σ =
Carga
12000
=
;
Área
4 A1
Adoptamos
σy
σ adm =
CS
perfil L 2" x 2" x 1/8"
2400
= 960 ⇒
2,5
=
→ A1 = 3,16 cm2
12000
≤ 960 ⇒
4 A1
Ix = 7,5 cm4 (máx)
A1 ≥ 3,125 cm 2
Iη = 3,29 cm4 (mín)
2
→ CS 2400
A = 4 x 3,16 = 12,64 cm2 → σ = 12000/12,64 = 949 kg/cm=
/949 2,53
=
CS = 2,53
b) Determinación de b para obtener el coeficiente de seguridad requerido ( pandeo global )
2
2
Datos:
=
σ
949 kg / cm
=
; A 12, 64 cm
=
; 
2
600 cm=
; σ crit π 2 E =
/ λ 2 ; I Ar
=
λ /r
x ;
Tanto el coeficiente de seguridad como la tensión crítica dependen de la esbeltez.
Suponemos que λ < 100 → CS = 1,7 + 0,00018 λ2
Tensión crítica de Euler:
Cap. 5 Ec. (44)=
→ σ crit
2
2
π=
π 2 x 2100000 / λ 2
x E /λ
σ crít
π 2 x 2100000 / λ 2
⇒ 1,7 + 0,00018 λ 2 =
⇒ 0,17082 λ 4 + 1613,3 λ 2 − 20726169 = 0
σ
949
2
2
Resolviendo la ecuación de 2do grado en la incógnita λ se tiene λ = 7262,46 → λ = 85,22
CS =
Notar que para λ = 85,22 el coeficiente de seguridad es CS = 1,7 + 0,00018 x (85,22)2 = 3,00
=
λ
La esbeltez depende del radio de giro
600 /=
rx 85, 22 ⇒ =
rx
7,04 cm
I=
4 (7,5 + 3,16 a 2 ) =
30 + 12,64 a 2 
6,87 cm
 ... ⇒ ...a =
2
=
I =
A rx2 12,64 x (7,04)
=
626, 46 
a = b / 2 − 1,39 = 6,87 ⇒ b = 16,52 ........
b = 16,5 cm
c) Cálculo de h para obtener el CS requerido por los tramos de la columna ( pandeo local )
Datos:
=
σ
949 =
kg / cm 2 ;
A1
=
3,16
cm 2 ;
Iη
=

3,
29 cm 4 ;
h
Expresando la tensión crítica de Euler σcrít y el coeficiente de seguridad a pandeo de columna CS en
función de la esbeltez λ como se hizo en el punto anterior se encuentra que: λ = 85,22
Radio de giro rη:........... I=
η
A1 rη2
Largo del tramo h:...... λ=
h / rη
⇒
⇒
r=
η
h=
Iη / A=
1
85, 22 x 1,02=
3, 29 / 3,16= 1,02
86,92 cm
n ≥ 600 / 86,92 =6,9 → Se adoptan 7 tramos → 600 / 7 =85, 71 cm ................... h = 85, 7 cm
d) Verificación del carácter “compacto” del perfil elegido ( pandeo local )
Tabla 1 caso 5
un lado apoyado y otro libre → K∞ = 0,42




2
π
2100000
= 18, 22 
0, 42

12(1 − 0,32 )
2400

b
=
h
2
= 16
1/8
El perfil elegido satisface la ecuación (10)
⇒
151
Sección compacta
Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC
J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015
3 Verificación a pandeo la sección de una bandeja portacables de chapa delgada.
Anexo Cap.
8 → Warriba
=
0,12 x 52 x (2 x 30 + 5)
0,12 x 5 x (2 x 30 + 5)
= 1,857
=
Wabajo
= 13
3 x (30 + 5)
3
El croquis de la izquierda muestra los cuatro puntos críticos del primer
tramo de la viga donde se determinaron las tensiones y se calcularon los
coeficientes de seguridad a fluencia y a pandeo.
Notar que en los tramos interiores los momentos flectores son menores.
Tabla resumen: Tensiones en los puntos críticos.
Ubicación
ℓ = 200 cm, q = 0,2 kg/cm y h = 1,2 mm.
Momento = M
Punto Posición W Tensión = M / W
1
arriba 1,857
– 344,6
Centro del tramo
0,08 x0,2 x2002 = 640
z = 0,4 ℓ
2
abajo
13
49,2
3
arriba 1,857
430,8
Sobre el apoyo
0,1 x0,2 x2002 = 800
z=ℓ
4
abajo
13
– 61,5
σcrít
CS
653,8
2400
2400
121,5
1,90
48,7
5,57
1,97
Pandeo de las caras laterales en el centro del tramo ( z = 0,4 ℓ ) con un borde apoyado y el otro libre:
Pág. 145, Tabla 3 → x =
σ 2 /σ 1 =
49, 23 / (−344, 64) =
− 0,14285
Tabla 3, caso 8 →
Ec. (2) → σ crít
=
K = 0,57 − 0,19 x + 0,06 x 2 − 0,02 x3 = 0,598
π 2 x 2100000  0,12 
2
=
0,598


12 (1 − 0,32 )  5 
653,76
Pandeo de la cara inferior comprimida en la zona del apoyo (z = ℓ ) con los dos bordes apoyados:
dos lados apoyados → K ∞ = 4
Pág 144, Tabla 1, caso 1 →
=
σ
M
=
W
800
π 2 x 2100000  0,12 
=
=
61,54 Ec. (2) → σ crít 4=

 121,5
12 (1 − 0,32 )  30 
13
2
a) Coeficiente de seguridad considerando falla por fluencia debida a la flexión
La máxima tensión por flexión ocurre en el punto 3 en la parte superior sobre el apoyo:
Tensión máxima por flexión:.......
=
σ M
=
/W
( 0,1 x 0, 2 x 200 2 ) /=
1,857 430,80 kg /cm 2
Coeficiente de seguridad:.............
=
CS σ=
f /σ
=
2400 / 430,8
5,57 ............................ CS = 5, 6
b) Coeficiente de seguridad considerando pandeo local
Se deben considerar las dos zonas más comprimidas (puntos 1 y 4) porque si bien el punto 4 tiene
menor tensión, también tiene menor tensión crítica de pandeo.
Punto=
1: σ 344, 64 =
653, 76 / 344,
64 1,90 
σ crít 653, 76 =
CS σ=
=
crit /σ
 ........ CS = 1,9
Punto=
4: σ 61,54 =
121, 47 / =
61,54 1,97 
CS σ
σ crít 121, 47 =
=
crit /σ
c) Espesor para el cual CS ≥ 3 para pandeo local
En la parte b) se determinó que la zona más crítica en pandeo es el punto 1 en el centro del tramo.
Para ese punto, en la primera parte se determinó que el coeficiente de pandeo es K = 0,598.
2
σ crít
45400 h 2
π 2 x 2100000 h
2
=
→
=
=
≥ 3 →
h ≥ 1,51 mm
45400
σ crit = 0,598
h
C
S
12 (1 − 0,3 2 ) 52
344, 64
σ
d) Distancia entre apoyos para que sea CS ≥ 3 sin aumentar el espesor ( h = 1,2 mm )
En el punto b se determinó que el coeficiente de seguridad a pandeo local es 1,9 cuando ℓ = 200 cm.
Al variar ℓ cambia el momento flector en el punto 1 y por lo tanto la tensión máxima de compresión.
La tensión crítica no cambia porque el cociente σ1/ σ2 no cambia →K = 0,598 ⇒ σcrít = 653,8 kg/cm2
2
Tensión función de ℓ:
M
= 0,08 x 0, 2 x =
0,016  2 ⇒ σ= M /W= 0,016  2 / 1,857
= 0,008616  2
Tensión admisible con CS = 3: =
σ adm σ=
653,
=
76 / 3 217,9=
; σ σ adm →
crít / CS
152
 ≤ 159 cm