Información Incompleta (Asimétrica) Anteriormente habíamos

Información Incompleta (Asimétrica)
Anteriormente habíamos considerado casos en los cuales existía asimetría en la
información respecto a las acciones (simultáneas) tomadas por algunos
jugadores. A esto le llamamos “información imperfecta”.
Los problemas de información incompleta se dan cuando uno de los jugadores
conoce algo que los otros jugadores no conocen (Asimetría en la información):
Tipos.
Ejemplo:
Considere el caso en el cual hay dos personas negociando un bien o un servicio.
Cada individuo puede ser honrado o tramposo.
Si la persona es tramposa, tratará de timar al otro. Si la persona es honrada,
nunca timará al otro.
Sin embargo, el tipo de cada persona es información privada. Es decir, solo es
conocido por el mismo jugador y no por el otro. Esto crea una asimetría de
información.
Como los pagos que cada jugador recibe después de transar el bien dependen del
tipo de los jugadores que negocian, debemos considerar esto para predecir el
comportamiento de cada jugador.
La mejor forma de modelar información incompleta es incorporando eventos
aleatorios en la especificación del juego: Tipos.
En Teoría de Juegos, a tales eventos aleatorios se les llama movimientos de la
naturaleza (natura o nature).
Así, la naturaleza se considera un jugador más en el juego, el cual llamaremos
jugador 0.
Sin embargo, la naturaleza NO es un jugador estratégico. Sus acciones son
definidas por una distribución de probabilidad fija y no por incentivos.
Así, el término “información incompleta” se refiere a que los movimientos de la
naturaleza crean asimetrías de información entre los jugadores.
Situaciones de información incompleta se encuentran en muchos casos reales de
negociación, votaciones, contratación, subastas, mercados competitivos, etc.
Dividiremos nuestro estudio de información asimétrica de la siguiente forma:
1) Juegos estáticos con información asimétrica: Equilibrio de Nash Bayesiano
(Bayesian Nash Equilibrium).
Este tipo de juegos se relacionan con problemas de Selección Adversa.
Nota: En situaciones de Selección Adversa, la naturaleza juega al principio y
así los jugadores afrontan asimetría al tomar sus decisiones. Existe otra
situación de incertidumbre donde la naturaleza juega al final: Riesgo Moral.
Este tipo de situaciones pueden ser estudiadas con nuestros modelos de
información completa, aunque es necesario agregar incertidumbre. Los
Modelo de Riesgo Moral son cubiertos en Microeconomía III.
2) Juegos dinámicos con información asimétrica: Equilibrio Bayesiano Perfecto
(Perfect Bayesian Equilibrium) o Equilibrio de Señalización (Signaling
Equilibrium).
Información Incompleta:
Juegos Estáticos o Bayesianos
Como dijimos, usaremos un jugador extra para modelar la asimetría de
información: Naturaleza o jugador 0.
Toda la asimetría de información (Eventos aleatorios) se pasará al inicio del
juego, donde la naturaleza “decidirá” (según una distribución de probabilidades)
los tipos de los jugadores.
Importante: Naturaleza no juega estratégicamente y no tiene pagos asociados.
Así, cuando nos refiramos a jugadores, nos estaremos refiriendo a jugadores
estratégicos y no a la naturaleza.
Ejemplo 1: Batalla de los Sexos Modificada
1
,2
;
, . Las decisiones son tomadas simultáneamente.
Sin embargo, ahora 1 puede ser de dos tipos diferente: Amante a la opera (tipo 1)
o amante al fútbol (tipo 2).
Este tipo es información privada para 1. Es decir, solo 1 conoce su tipo y 2 no lo
conoce.
1 es de tipo 1 con probabilidad
y de tipo 2 con probabilidad 1
.
Así, los pagos del juego dependerán del tipo de 1 de la siguiente forma:
Si 1 es tipo 1 (ópera)
Si 1 es tipo 2 (fútbol)
1 2 F O 1 2
F O F 1, 2 0, 1 F 3, 2 2, 1 O 2, 0 3, 3 O 0, 0 1, 3 Representemos primero el juego en forma extensiva:
F
1
Tipo1 (p) O 0 2
F
1 , 2
O 0 , 1
F
2 , 0
O 3 , 3
3 , 2
F
Tipo 2 (1‐p) 1
F
O O F
O 2 , 1
0 , 0 1 , 3
Este caso es sencillo y podemos pensar en la siguiente solución:
Si M es tipo 1 (ópera)
Si M es tipo 2 (fútbol)
1 2 F O 1 2
F O F 1, 2 0, 1 F 3, 2 2, 1 O 2, 0 3, 3 O 0, 0 1, 3 Jugador 1: si es tipo 1 escogerá O (dominante), si de es tipo 2 escogerá F
(dominante)
Jugador 2: deberá pensar un poco más. Dado que anticipa que F es dominada si 1
es de tipo 1 y O es dominada si 1 es de tipo 2, entonces:
2 escogerá F si:
0
2 1
2 escogerá O si:
1
2 será indiferente si:
1
3
1
4
4
El concepto de solución que desarrollaremos se basa en esta lógica.
1
4
Formalización (Harsanyi, 1967 & 1968):
Definición: Un Juego Bayesiano posee los siguientes elementos:
1,2, … ,
1. Un número finito de jugadores
2. Para cada jugador :
a) Un espacio de tipos
.
b) Un espacio de acciones (puras)
.
c) Una función de pagos:
:
Donde
…
…
3. Una función de probabilidad
:
0,1
que especifica la probabilidad con la cual la Naturaleza selcciona cada perfil
.
…
de tipos
Ejemplo 1: Batalla de los Sexos Modificada
Siguiendo la definición de juego Bayesiano, podemos formalizar nuestro
ejemplo.
Jugadores:
Espacio de tipos
1,2
:
,
,
Espacio de acciones:
,
Función de pagos: Dada por las matrices de pagos anteriores.
:
, i.e. cada entrada de las matrices.
Función de probabilidad
,
,
,
1
Una forma de representar el juego en su forma normal es usando el concepto de
estrategia:
Llamemos
la estrategia en la cual 1 juega
Igualmente se puede definir
,
,
y
si es
si es
.
El juego se puede escribir como (Bayesian Normal Form):
1 2 F 3
FF FO OF OO O 2 , 2 2 1
, 2 3
, 2 1
2 , 0 , 1 1
, 3
2 2
, 1
2 1
2 , 3 .
Equilibrio de Nash Bayesiano
Existen dos formas de encontrar equilibrios en Juegos Bayesianos, cada una de
ellas ligada a un concepto de equilibrio (los cuales son equivalentes).
El primero, es reducir el juego a su forma normal (si es posible) y aplicar el
concepto de EN. Su definición formal es la siguiente.
Definición 1. Considere un juego Bayesiano. El perfil de estrategias
, :
, es un Equilibrio de Nash Bayesiano (ENB) si
1, … , ,
:
,
,…,
,…,
,
,…,
,…,
El segundo método trata cada tipo de cada jugador como un jugador por
separado.
En general, este método se usa con espacio de acciones continuas. Luego
veremos una aplicación.
El concepto de equilibrio en este caso es:
Definición 2. Considere un juego Bayesiano. El perfil de estrategias
, :
, es un Equilibrio de Nash Bayesiano (ENB) si
1, … , ,
y
:
|
,
,
,…,
|
,
,…,
,,
,…,
,…,
Ejemplo 1: Batalla de los Sexos Modificada
Consideremos la definición 1. La forma normal está dada por:
1 2 F 3
FF FO OF O 2 , 2 2 1
, 2 3
OO , 2 1
1
, 3
2 2
, 1
2 1
2 , 0 , 1 2 , 3 De aquí, es fácil encontrar que:
,
,
,
1/4
,
,
1/4
1/4
Existencia de BNE
Teorema: Considere un juego Bayesiano finito. Un BNE siempre existe.