guia de trabajos practicos nº 7 – ejercicio modelo

UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
Materia: Microeconomía I
Docente: Alejandro Paredes
Ayudantes: Nicolás De Méstico
Martín Gil Libarona
María del Carmen Alvarez
José María Gasparin
Andrea Pietrobuono
Lucila Pappalardo
GUIA DE TRABAJOS PRACTICOS Nº0 – SOLUCIONES PROPUESTAS PARA EJERCICIOS
DE DERIVADAS, CONCAVIDADY CONEXIDAD, EXTREMOS Y DE SISTEMAS DE
ECUACIONES

Derivadas Totales
Para resolver los siguientes ejercicios debemos utilizar las reglas habituales de derivación. Con lo cual
obtenemos las siguientes primeras derivadas:
1) y(x) = 5x + 4x3 + 3
Resolución:
y´(x) = 5 + 12 x2 + 0
2) h(j) = 8j5 + 3j2 – 9
Resolución:
h´(x) = 40j4 + 6j - 0

Derivadas Parciales
Para obtener las derivadas parciales de una función de dos variable - F(x, y) -, debemos obtener la primera
derivada de la función con respecto a la primera variable - F x - y la primera deriva de la función con
respecto la segunda variable - F y -.
Para calcular F x se considera “y” constante derivando con respecto de “x” y para calcular F y se
considera “x” constante derivando con respecto de “y”. Puede aplicarse por lo tanto las reglas habituales
de derivación.
1) Z (x,y) = 2x2 – 3xy + 4y2
Resolución:
El primer paso es calcular la primera deriva de Z con respecto “x” considerando a “y” como constante.
Z
 4x  3y
x
El segundo paso es calcular la primera deriva de Z con respecto “y” considerando a “x” como constante.
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Materia: Microeconomía I
Docente: Alejandro Paredes
Ayudantes: Nicolás De Méstico
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Z
 3x  8 y
y
3) j(x,y) = (1 + x2 + y2) ½ + 5x10 – 6xy7
Resolución:
El primer paso es calcular la primera deriva de j con respecto “x” considerando a “y” como constante.
1
1
j 1
 1  x 2  y 2 2 .2 x  50 x 9  42 yx 6  x1  x 2  y 2 2  50 x 9  42 yx 6
x 2
El segundo paso es calcular la primera deriva de j con respecto “y” considerando a “x” como constante.
1
1
j 1
 1  x2  y 2 2 .2 y  0  42xy 6  y1  x2  y 2 2  42xy 6
y 2

Concavidad y Conexidad
1)
Diremos que una figura es CONVEXA cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda
por dentro de la figura
3)
Diremos que una figura es CÓNCAVA cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda
por afuera de la figura
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Materia: Microeconomía I
Docente: Alejandro Paredes
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Extremos (Máximos y Mínimos)
1) F(x) = x3 – 12x3 + 36x + 8
Resolución:
El primer paso es calcular los puntos críticos del polinomio dado. Para ello debemos derivar la ecuación.
Así, derivamos f(x) = x3 – 12x2 + 36x + 8. De este modo:
f´(x) = 3x2 – 24x + 36
Igualamos a cero la primera derivada y calculamos sus raíces:
24  242  4  3  36 24  12
3x – 24x + 36 = 0 

 4  2  x1  6  x2  2
6
6
2
Hemos obtenido los puntos críticos, es decir, aquellos puntos en los cuales estarán ubicados los extremos en
el caso de que existan. Ahora necesitamos conocer si se trata de máximos, mínimos o puntos de inflexión.
Para ello, utilizaremos el criterio de la derivada segunda, que nos da las condiciones suficientes para
determinar ante qué tipo de extremo nos encontramos. Para ello, necesitamos calcular la derivada segunda,
y valuarla en los puntos críticos. Si la derivada segunda valuada en los puntos críticos es mayor a cero,
estamos en la presencia de un mínimo, si es mayor a cero, ante un máximo. En nuestro caso:
f´´(x) = 6x – 24  Valuamos en los puntos críticos y vemos su signo:
f´´(x1 = 6) = 12  0  Mínimo
f´´(x2 = 2) = -12  0  Máximo
De este modo, para ver cual es el valor de la función en los puntos extremos, no tenemos más que
reemplazar los valores de x encontrados en la ecuación. Así:
f(2) = 40  Máximo: (2 ; 40)
f(6) = 8  Mínimo: (6 ; 8)

c)
Sistemas de Ecuaciones
x2 = 4x1
4x1 . x2 + 6x2 + 9 = 0
Resolución:
Lo primero que tenemos que hacer para resolver por el método de sustitución un sistema de ecuaciones
como el propuesto, es despejar de una de las ecuaciones una de las variables, y luego reemplazarla en la
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otra ecuación. De este modo, en el caso del ejercicio, en la primera ecuación la variable X2 se encuentra
despejada, por lo que la reemplazamos por su valor en la segunda ecuación. Así:
Sabemos que X2 = 4X1; reemplazamos X2 por 4X1 en la ecuación 2:
4X1.X2 + 6X2 + 9 = 0 = 4X1.(4X1) + 6(4X1) + 9 
16X12 + 24X1 +9 = 0
Resolvemos:
 24  242  4  16  9
3

32
4
cómo X2 = 4X1  X2 = 4(-3/4)


X1 = -3/4
X2 = -3
4