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El Cálculo. Louis Leithold. Séptima edición en español. ISBN 970-613-182-5
Ejercicios de repaso para el capítulo 3. Ejercicio 43, página 290.
Utilizando la grá…ca de la función
2=3
f (x) = (x + 1)
(x
2
3)
estima los puntos de in‡exión y en dónde la grá…ca es cóncava hacia arriba y en dónde es concava hacia abajo. Con…rma
tus estimaciones analíticamente.
Solución:
La grá…ca de la función
2=3
f (x) = (x + 1)
(x
2
3)
es
Al analizar la grá…ca notamos que tenemos un punto de in‡exión en, aproximadamente, x = 1:5. (Muy importante,
ver las notas más adelante). Aunque en x = 1 parece ser que la grá…ca cambia de concavidad no tenemos un punto de
in‡exión porque no existe una línea recta tangente (esa es una condición para que un punto sea de in‡exión).
Es concava hacia arriba en el intervalo ( 1; 1)
Es concava hacia abajo en el intervalo ( 1; 1:5).
Es concava hacia arriba en el intervalo (1:5; +1) :
Como veremos más adelante estas conclusiones son erroneas, porque la resolución de la grá…ca no nos permite ver las
sutilezas de este caso.
Para demostrar analíticamente estas a…rmaciones, debemos calcular la primera y la segunda derivada. Tenemos
1
f 0 (x) =
8x
3
x2 + 2x + 3
4
1=3
(x + 1)
y
f 00 (x) =
40x2
72
4
1=3
9 (x + 1)
La función puede tener un punto de in‡exión donde su segunda derivada se hace 0; es decir, para x tal que
8 5x2 9
= 0,
9 (x + 1)4=3
p
p
3 5
3 5
que nos da x1 =
= 1: 341 6 y x2 =
= 1: 341 6. Para saber si estos son realmente puntos de in‡exión
5
5
debemos veri…car que la segunda derivada cambie de signo en ellos.
p
3 5
Tomamos primero x1 =
= 1: 341 6 y evaluamos la segunda derivada inmediatamente a la izquierda; tenemos
5
00
00
f (1:3) = 0:161. Ahora
p la evaluamos inmediatamente a la derecha, f (1:4) = 0:221. Como la segunda derivada sí
3 5
cambia de signo, x1 =
es un punto de in‡exión.
5
p
3 5
Hacemos lo mismo para x2 =
= 1: 341 6. Tenemos f 00 ( 1:5) = 5:040 y f 00 ( 1:3) = 2:434. Por tanto,
5
p
3 5
x2 =
también es un punto de in‡exión.
5
p
3 5
2=3
2
y el otro en
Resumiendo, la gra…ca de la función f (x) = (x + 1) (x 3) tiene dos puntos de in‡exión, uno en
5
p
3 5
.
5
Notas:
1. En el análisis de la grá…ca dijimos que posiblemente había un punto de in‡exión en 1.5.
p Efectivamente hay un
3 5
punto de in‡exión aproximadamente en 1.5; el valor exacto que resultó analíticamente es de
= 1: 341 6. El error se
5
debe a lo poco preciso de la grá…ca original.
2. Analíticamente encontramosp
otro punto de in‡exión que no puede verse en la grá…ca que pintamos al principio. Ese
3 5
= 1: 341 6. Nuevamente concluimos que ese punto de in‡exión no lo vemos en la
punto de in‡exión está en x =
5
p
3 5
grá…ca por la poca precisión de esta. Haremos ahora una grá…ca más precisa en una vecindad de x =
. Tenemos
5
2
El punto de in‡exión está marcado por el círculo azul. El cambio en la concavidad es tan suave que aun con esta
resolución es di…cil notarlo. En este sentido el método analítico es más preciso y más poderoso.
Pasamos ahora a analizar la concavidad de la grá…ca.
La función es concava hacia arriba en las regiones donde f 00 (x) > 0 y concava hacia abajo en la regiones en las cuales
f (x) < 0.
00
Vemos que
f 00 (x) =
8 5x2 9
8
=
9 (x + 1)4=3
9
cuando que 5x2
5x2
9
4
1=3
>0
(x + 1)
9 > 0.
Para determinar para que valores de x se satisface esta desigualdad, factorizamos 5x2
r !
r !
p !
p !
9
9
9
3 5
3 5
2
2
5x
9=5 x
=5 x+
x
=5 x+
x
5
5
5
5
5
Si 5x2
9 > 0 tenemos dos posibilidades.
La primera es
p
3 5
i) x +
>0yx
5
p
3 5
>0
5
que se traduce en
p
p
3 5
3 5
x>
yx>
5
5
o bien en únicamente
3
9 como
p
3 5
x>
5
La segunda es
p
3 5
i) x +
<0yx
5
p
3 5
<0
5
que se traduce en
p
p
3 5
3 5
x<
yx<
5
5
o bien en únicamente
p
3 5
x<
5
p
p
3 5
3 5
Resumiendo, la segunda derivada f (x) es mayor que cero para x <
= 1: 341 6 y para x >
= 1: 341 6
5
5
!
p !
p
3 5
3 5
1;
La función es concava hacia arriba en el conjunto
; +1 .
[
5
5
00
Obviamente donde nos es concava hacia arriba es concava hacia abajo; es decir
p
p !
3 5 3 5
La función es concava hacia abajo en el intervalo
;
.
5
5
Presentamos ahora la grá…ca de la segunda derivada
f''(x)
10
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-10
-20
Con esta grá…ca las a…rmaciones anteriores terminarán de clari…carse.
4
5
x