y + P(x)y + Q(x)y = r(x) (1) yh = C1 y1 + C2 y2 (3)

ITESM, Campus Monterrey
Departamento de Matemáticas
MA-841: Ecuaciones Diferenciales
Lectura #14
2
Profesor: Eduardo Uresti
Unidad II: Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
2.6
2.6.1
Método de Variación de Parámetros
Introducción
En esta sección veremos un método general para obtener una solución particular a una
ecuación diferencial(ED) lineal no homogénea de orden 2. Este método, conocido como el
método de variación de parámetros, se basa en la suposición de que una solución particular
debe ser parecida a la solución a la homogénea auxiliar; la diferencia radica en suponer que
los parámetros constantes que aparecen en ella, C1 y C2 , ahora son variables. Las funciones
que los reemplazan se convierten ahora en funciones de x que debemos despejar.
El presente método se aplica sin importar la naturaleza de r(x), a diferencia del método de
coeficientes indeterminados(CI) el cual sólo aplica cuando r(x) tiene una forma especı́fica
que se incluye en la tabla. Es decir el método de variación de parámetros es general contrario al método de CI el cual tiene restricciones. Otra ventaja importante es que el método
de variación de parámetros puede aplicar aún y cuando la ED sea de coeficientes variables,
contrario al método de CI que solo aplica en EDLCC.
Las desventajas que presenta este método son que uno debe conocer primeramente la
solución a la homogénea auxiliar, y otra es que las integrales que aparecen en las fórmulas
pueden ser difı́ciles de calcular.
En la siguiente sección veremos la deducción de las sendas fórmulas del método. Posteriormente veremos algunos ejemplos que ilustran su uso.
2.6.2
Deducción
La forma estándar de la ED lineal no-homogénea con la que vamos a trabajar es:
y 00 + P (x) y 0 + Q(x) y = r(x)
(1)
Observe que asumimos que el coeficiente de y 00 es precisamente 1, y por consiguiente las
fórmulas que deduciremos deben usarse con este supuesto.
Asumimos que tenemos la solución general a la ecuación homogénea auxiliar a (1):
y 00 + P (x) y 0 + Q(x) y = 0
(2)
yh = C 1 y1 + C 2 y2
(3)
Y que su solución es:
El método de variación de parámetros se basa en una idea simple: si la ED(2) se parece a
la ED(1), la solución a (2) deberı́a parecerse a la solución a ED(1). La similitud propuesta
1
es que la solución buscada tiene la forma:
yp = U (x) y1 + V (x) y2
(4)
Es decir, hemos supuesto que los parámetros C1 y C2 dependen de x. Es decir que los
parámetros constantes ahora varı́an. Ésta es la razón del nombre del método.
El problema consiste ahora en determinar estas dos funciones. El requisito es que (4) sea
solución a (1). Para poder sustituir determinemos las derivadas.
d
(U y1 + V y2 )
dx
d
d
=
(U y1 ) +
(V y2 )
dx
dx
d
d
d
d
= U
y1 +
U y1 + V
y2 +
V y2
dx
dx
dx
dx
= U y10 + U 0 y1 + V y20 + V 0 y2
yp0 =
yp0 =
U y10 + V y20 + y1 U 0 + y2 V 0
(5)
Puesto que tendremos dos variables libres ,U y V , y una sola restricción, la que venga de
la sustitución del yp en la ED, tenemos la posibilidad de adicionar una restricción adicional
para la determinación de U y V . La que este método tiene es:
y1 U 0 + y2 V 0 = 0
(6)
De esta forma la primera derivada de yp en (5) queda
yp0 = U y10 + V y20
(7)
Calculando ahora yp00 :
yp00 =
=
d
U y10 + V y20
dx
d
d
U y10 +
V y20
dx
dx
yp00 = U y100 + U 0 y10 + V y200 + V 0 y20
(8)
Si sustituimos (7) y (8) en (1) obtenemos:
U y100 + U 0 y10 + V y200 + V 0 y20 + P U y10 + V y20 + Q (U y1 + V y2 ) = r(x)
(9)
Agrupando los términos con U y V obtenemos:
U y100 + P y10 + Q y1 + V y100 + P y10 + Q y1 + y10 U 0 + y20 V 0 = r(x)
(10)
Puesto que y1 y y2 son soluciones a (2) entonces
y100 + P y10 + Q y1 = 0
(11)
y200 + P y20 + Q y2 = 0
(12)
2
Si sutituimos (11) y (12) en (10) obtenemos la condición para que yp sea solución a la ED(1)
propuesta:
y10 U 0 + y20 V 0 = r(x)
(13)
Resumiendo, para que yp = U y1 + V y2 sea solución a la ED(1), U y V deben satisfacer:
y1 U 0 + y2 V 0 = 0
y10 U 0 + y20 V 0 = r(x)
(14)
El cual es un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas U 0 y V 0 . Si aplicamos la regla
de cramer para resolverlo tenemos que:
U0 =
W1
W
(15)
V0 =
W2
W
(16)
y
Donde
y
W = 10
y1
y2
y20
0
y
y2 1
,
W
=
, W1 = 0
2
r(x) y20 y1
0
r(x)
(17)
De donde, si desarrollamos los deteminantes, obtenemos:
U0 = −
y2 r(x)
y1 y20 − y10 y2
integrando respecto a x obtenemos:
U =−
y2 r(x)
dx
y1 y20 − y10 y2
Z
(18)
y
V0 =
y1 r(x)
y1 y20 − y10 y2
integrando respecto a x:
V =
2.6.3
Z
y1 r(x)
dx
y1 y20 − y10 y2
Ejemplos
1. Encuentre una solución particular a:
y 00 − 2 y 0 + y = x
sabiendo que la solución general a la homogénea auxiliar es:
yh = C1 ex + C2 x ex
3
(19)
Sol
En este problema
y1 = ex
y2 = x ex
r(x) = x
(Una duda frecuente es sobre el orden en el cual deben elegirse las funciones y1 y y2 . La
yp resultante será la misma independientemente de cual se elija como y1 o y2 , siempre y
cuando esta elección se mentenga a lo largo de los cálculos.)
Ası́
y10 = ex
y20 = (x + 1) ex
y
y1 y20 − y10 y2 = ex (x + 1) ex − ex x ex = e2 x
Sustituyendo lo anterior en las fórmulas (18) y (19):
x ex x
dx
2x
Z e
= − x2 e−x dx
= −
U
Z
= (x2 + 2 x + 2) e−x
U
y
ex x
dx
2x
Z e
=
x e−x dx
Z
V
V
=
= −(x + 1) e−x
( En ninguna de estas integrales se necesita poner las constantes de integración. Esto se
debe a que estas constantes se multiplicarı́an por las funciones y1 y/o y2 las cuales podrı́an
después combinarse con las respectivas partes de la solucón a la homogénea auxiliar haciendo
redundante ponerlas o no, preferiremos no colocarlas. Un argumento extra serı́a que estas
partes, las multiplicaciones de las constantes de integración por las yi s son innecesarias
debido a que se anulan en la ED por ser soluciones a la homogénea auxiliar. Debido a esto
las omitiremos.)
Continuando con los cálculos:
yp = U y1 + V y2
=
(x2 + 2 x + 2) e−x ex + −(x + 1) e−x x ex
= (x2 + 2 x + 2) + (−(x + 1)) x
= x2 + 2 x + 2 − x2 − x
yp = x + 2
4
2. Encuentre la solución general a:
x2 y 00 − 3 x y 0 + 3 y = x2
Sol
Primero resolvamos la homogénea auxiliar:
x2 y 00 − 3 x y 0 + 3 y = 0
Esta ecuación es una ED de Cauchy-Euler, para resolverla planteamos la ecuación caracterı́stica:
r2 + (−3 − 1) r + 3 = r2 − 4 r + 3 = (r − 3) (r − 1) = 0
Las raı́ces son
r1 = 3 y r2 = 1
Por consiguiente aplica el caso I el cual dice que la solución a la homogégena de CauchyEuler tiene la forma:
yh = C1 x 3 + C2 x
De donde deducimos que
y1 = x 3
y2 = x
Pasemos ahora a determinar una solución particular. Para poder utilizar las fórmulas del
método de variación de parámetros el coeficiente de y 00 debe hacerse 1. Por consiguiente
debemos dividir toda la ED entre x2 quedando la ED:
y 00 −
3 0
3
y + 2,y = 1
x
x
Por consiguiente
r(x) = 1
Uno de los principales errores que se comente en el uso de las fórmulas anteriores es no
tener esto en consideración para determinar adecuadamente r(x).
Continuando con los cálculos:
y10 = 3 x2
y20 = 1
y por tanto
y1 y20 − y10 y2 = x3 − x 3 x2 = −2 x3
Sustituyendo lo anterior en las fórmulas (18) y (19):
U
= −
=
U
1
2
= −
Z
x×1
dx
−2 x3
Z
x−2 dx
1 1
2x
5
y
x3 × 1
dx
−2 x3
Z
1
= −
dx
2
1
= − x
2
Z
V
V
=
De donde:
yp = U y1 + V y2
1
1 1
3
x + − x x
=
−
2x
2
1
1
= − x2 − x2
2
2
2
yp = −x
De esa forma
y = yh + yp = C1 x 3 + C2 x − x 2
6