f(x) = x – 3x + x + 1 f(- ½) = (- ½) – 3(- ½) + (- ½) + 1 = - 1/8 – ¾

Facultad de Contabilidad y Finanzas
2008 – I
SOLUCIONARIO DEL EXAMEN PARCIAL A - B
Curso
Profesor
Ciclo
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ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Ing. Oscar Reyes Almora
VI
1. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto x1 = - ½:
f(x) = x3 – 3x2 + x + 1
(2,0 puntos)
Hallamos la ordenada correspondiente a x1 = - ½:
f(- ½) = (- ½)3 – 3(- ½)2 + (- ½) + 1 = - 1/8 – ¾ - ½ + 1 = - 3/8
Hallamos la función derivada:
f ´(x) = 3x2 – 6x + 1
2
Evaluamos la función derivada en x1 = - ½: f ´(- ½) = 3(- ½) – 6(- ½) + 1 = ¾ + 4 = 19/4
Sustituimos en la forma punto-pendiente:
y – f(x1) = f ´(x1)(x – x1) → y – (- 3/8) = 19/4 (x – (- ½)) → y + 3/8 = 19/4 (x + ½)
→ y = 19/4 x +19/8 – 3/8 → y = 19/4 x + 2
2. Calcule los valores de los extremos locales y la coordenada del punto de inflexión de la
3
función: g(x) = x – 3x + 2
(3,0 puntos)
Valores extremos locales:
g´(x) = 3 x2 – 3 → 3(x2 – 1) = 0 → (x + 1)(x – 1) = 0 → x = -1 y x = 1
g(-1) = (-1)3 – 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4
g(1) = (1)3 – 3(1) + 2 = 1 – 3 + 2 = 0
Coordenada del Punto de inflexión:
g´´(x) = 6 x → 6 x = 0 → x = 0 → g(0) = (0)3 – 3(0) + 2 = 2 → ∴ (0, 2)
3. Bosqueje la gráfica de la función del problema anterior, indicando posteriormente los
intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad.
(3,0 puntos)
Intervalos de crecimiento/decrecimiento:
Intervalo
Valor de prueba
g´(x)
Signo
Tipo
] - ∞, -1 [
-2
9
+
Creciente
] -1, 1 [
0
-3
–
Decreciente
] 1, ∞ [
2
9
+
Creciente
Intervalos de concavidad/convexidad:
Intervalo
Valor de prueba
g´´(x)
Signo
Tipo
] - ∞, 0 [
-1
-6
–
Convexa
] 0, ∞ [
1
6
+
Cóncava
4. Una empresa está comercializando un nuevo producto y determina que con el fin de
vender x unidades, el precio por unidad debe ser p = 280 – 0,4x. También determina que el
2
costo total de producir x unidades está dado por: C(x) = 5000 + 0,6x .
a. Halle la función de ingresos totales.
(1,0 punto)
I(x) = p.x = (280 – 0,4x)x = 280x – 0,4x2
b. Halle la función de utilidad total.
(1,0 punto)
U(x) = I(x) – C(x) = 280x – 0,4x – (5 000 + 0,6x ) → U(x)= 280x – 5000 – x2
2
2
c. ¿Cuántas unidades debe producir y vender la compañía con el fin de maximizar las
utilidades?.
(1,0 punto)
U´(x)= 280 – 2x = 0 → x = 140 unidades
d. ¿Qué precio por unidad debe cobrarse con el fin de producir la máxima utilidad? (1 pto.)
p = 280 – 0,4(140) → p = 224 u.m.
5. Empleando el Método de Newton, calcule aproximadamente (con cuatro cifras decimales)
la mayor de las raíces reales de la función del problema 1, cuya gráfica se muestra a
continuación:
(3,0 puntos)
f(x) = x3 – 3x2 + x + 1
Función derivada:
f ´(x) = 3x2 – 6x + 1
Punto de arranque:
x1 = 2,0000
x2 = 3,0000
x3 = 2,6000
x4 = 2,4423
x5 = 2,4150
x6 = 2,4142
x7 = 2,4142
xn + 1 = xn – f(x)/f´(x)
6. Sea M la función monto compuesto (en soles), siendo la variable x el número de periodos
x
de capitalización. Si M(x) = 1200(1,0375)
a. Halle la tasa de interés nominal si la capitalización es trimestral.
(1,0 punto)
1 + i/k = 1,0375 → i/4 = 1,0375 – 1 → i = 4(0,0375) = 0,15
∴ la tasa nominal es de 15% capitalizable trimestralmente
b. ¿Cuál es el monto que se obtendrá luego de 3 años?
(1,0 punto)
En 3 años existen 12 periodos de capitalización (trimestres), luego:
M(12) = 1200(1,0375) ≈ S/. 1866,55
12
7. Halle f ´(x) para cada caso:
a) f(x) = 2x 3 ln e 1/x
3
f(x) = 2x ln e
1/x
(1,0 punto)
3
= 2x (1/x)
pues
ln e 1/x = 1/x
→ f(x) = 2x 2 → f ´(x) = 4x
b) g(x) = 4 x / (x - 2)2
x
(1,0 punto)
g´(x) = 4 (ln 4)(x – 2) – 2(x – 2) 4 x = 4 x(x – 2)((ln 4)(x – 2) – 2) = 4 x ((ln 4)(x – 2) – 2)
4
4
3
(x - 2)
(x - 2)
(x - 2)
c) h(x) = xe x / ln (x 2 + x)
2
(1,0 punto)
h´(x) = (e x + xe x)[ln (x 2 + x)] – xe x(2x +1)/( x 2 + x)= e x[(1 + x) ln(x 2 + x) – (2x +1)/(x + 1) ]
[ln (x 2 + x) ] 2
[ln (x 2 + x) ] 2
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