Integrales impropias

159 – Matemáticas I : Cálculo integral en IR
Tema 15
Integrales impropias
15.1
Introducción
En el tema anterior se ha definido la integral de Riemann con las siguientes hipótesis
? Dom(f ) = [a, b] es un conjunto acotado.
? f : [a, b] −→ IR está acotada en [a, b] .
Si alguna de estas condiciones no se cumple denominaremos a la integral correspondiente integral impropia.
15.2
Integrales impropias de primera especie
Definición 298.- Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t], para todo t ≥ a, y sea entonces F : [a, +∞) −→ IR
Z t
la función definida por F (t) =
f (x) dx.
a
El par (f, F ) se denomina integral impropia de primera especie en [a, +∞) y se designa por
Z
Z
+∞
f (x) dx
+∞
ó
f.
a
a
Z
+∞
Definición 299.- Diremos que la integral impropia
f (x) dx es convergente si existe y es finito
a
Z
t
lı́m F (t) = lı́m
t→+∞
f (x) dx
t→+∞
a
y si ese lı́mite es L se dice que el valor de la integral impropia es L. Es decir,
Z +∞
L=
f (x) dx.
a
Si el lı́mite anterior es infinito (∞ ó −∞) se dice que la integral impropia es divergente (hacia ∞ ó hacia
−∞), y si no existe se dice que es oscilante.
De forma análoga se definen las integrales impropias de primera especie en intervalos de la forma (−∞, b]
para funciones f : (−∞, b] −→ IR integrables en [t, b], para todo t ∈ IR , y las representamos por
Z
Z
b
f (x) dx
f.
−∞
Z
−∞
Z
∞
Ejemplo La integral
t→+∞
1
Ejemplo
sen x dx es oscilante, pues
0
Z
0
lı́m
t→+∞
−∞
Prof: José Antonio Abia Vian
dx converge a
0
x2
2
it
1
t2
t→+∞ 2
= lı́m
t
−
1
2
= +∞
4
t
sen x dx = lı́m (cos x]0 = lı́m cos t − 1 y
t→+∞
t→+∞
4
Z
1
1+x2
t→+∞
1
Z
este último lı́mite no existe
Ejemplo
x dx = lı́m
∞
La integral
³
t
x dx es divergente, pues lı́m
Z
b
ó
π
2
0
, pues lı́m
t→−∞
t
1
1+x2
0
dx = lı́m (arctg x]t = lı́m 0 − arctg t =
t→−∞
t→−∞
π
2
4
I.T.I. en Electricidad
160 – Matemáticas I : Cálculo integral en IR
Z
15.2 Integrales impropias de primera especie
∞
Ejemplo 300 Estudiar el carácter de
1
dx
xα
, para α ∈ IR .
Como la función tiene primitivas distintas para α = 1 y α 6= 1, las estudiamos por separado:
Si α = 1 ,
Z
t
lı́m
t→+∞
1
³
it
1
dx = lı́m ln x = lı́m (ln t − ln 1) = lı́m ln t = +∞,
t→+∞
t→+∞
t→+∞
x
1
luego diverge.
Si α 6= 1 ,
Z
lı́m
t→+∞
t
µ
x−α+1
−α + 1
x−α dx = lı́m
t→+∞
1
¸t
µ
= lı́m
t→+∞
1
t−α+1
1−α+1
−
−α + 1 −α + 1
¶
½
t1−α − 1
=
t→+∞ 1 − α
= lı́m
luego diverge si α < 1 y converge si α > 1.
Z ∞
Z
dx
Resumiendo,
diverge
si
α
≤
1
y
converge
si
α
>
1.
En
este
último
caso,
xα
1
∞
1
dx
xα
−1
1−α ,
si α > 1
+∞, si α < 1
=
1
α−1 .
Z
+∞
Definición 301.- Sea f : IR −→ IR integrable en todo intervalo cerrado de IR . Diremos que
f (x) dx es
−∞
convergente si existe algún a ∈ IR tal que
Z alas integrales Z +∞
f (x) dx y
f (x) dx,
−∞
Z +∞a
Z
son ambas convergentes. En ese caso su valor es
f (x) dx =
−∞
4
Z
a
+∞
f (x) dx +
f (x) dx
−∞
a
Z ∞
Z 0
Z t
t
π
1
π
1
1
dx
=
y
dx
=
lı́m
Ejemplo Como
2
2
2 dx = lı́m (arctg x]0 = lı́m arctg t − 0 = 2 ,
1+x
2
1+x
t→∞ 0 1+x
t→∞
t→∞
0
−∞
Z ∞
Z ∞
Z 0
Z ∞
1
1
1
1
π
π
la integral
1+x2 dx converge y
1+x2 dx =
1+x2 dx +
1+x2 dx = 2 + 2 = π
4
−∞
−∞
−∞
0
Observaciones:
Z
1.- Sea f : IR −→ IR integrable en todo intervalo cerrado de IR . El carácter de
+∞
f (x) dx no depende del
−∞
punto a dado en la definición.
Y si la integral es convergente, su valor no depende del punto elegido ya que, para cualquier b ∈ IR ,
Z
Z
a
f+
−∞
Z
∞
Z
b
f=
a
f+
−∞
Z
a
f+
b
Z
b
f+
a
2.- Sea f : IR −→ IR integrable en todo intervalo cerrado. Si
Z
b
f=
b
Z
Z
∞
∞
f+
−∞
f.
b
Z
∞
f converge, entonces
−∞
Z
+∞
f = lı́m
−∞
t
f.
t→+∞
−t
La implicación contraria es falsa. Es decir, puede existir ese lı́mite y la integral ser divergente.
Z +∞
Contraejemplo
2x dx no es convergente, pues
−∞
Z
Z
∞
t
2x dx = lı́m
t→+∞
0
2x dx = lı́m
t→+∞
0
¡ 2 ¤t
x 0 = lı́m t2 = +∞
t→+∞
es divergente, sin embargo
Z
t
lı́m
t→+∞
Z
Prof: José Antonio Abia Vian
−t
t→+∞
¡
x2
¤t
−t
= lı́m t2 − (−t)2 = 0.
4
t→+∞
Z
t
Al valor del lı́m
t→+∞
2x dx = lı́m
+∞
f (x)dx se le denomina Valor Principal de Cauchy, y suele denotarse por V P
−t
f
−∞
I.T.I. en Electricidad
161 – Matemáticas I : Cálculo integral en IR
15.2 Integrales impropias de primera especie
Definición 302.- Diremos que dos integrales impropias tienen el mismo carácter, y lo representaremos por
“ ∼”, si son simultáneamente convergentes, divergentes u oscilantes.
Propiedades 303.1.- Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t] para todo t ≥ a y sea b ≥ a. Entonces
Z
Z
+∞
+∞
f (x)dx ∼
f (x)dx.
a
b
2.- Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t] , ∀ t ≥ a y λ ∈ IR , con λ 6= 0. Entonces
Z
Z
+∞
+∞
f (x) dx ∼
λf (x) dx.
a
a
Z
Z
+∞
3.- Sean f, g: [a, +∞) −→ IR integrables en [a, t], ∀ t ≥ a. Si
f
g
a
Z
Z
+∞
(f + g) converge y
a
Z
+∞
(f + g)(x) dx =
a
convergen, entonces:
a
Z
+∞
+∞
y
+∞
f (x) dx +
a
g(x) dx.
a
Demostración:
1.- Como
Z
ÃZ
t
lı́m
f (x) dx = lı́m
t→+∞
t→+∞
a
Z
b
f (x) dx +
a
!
t
f (x) dx
b
Z
Z
b
=
t
f (x) dx + lı́m
t→+∞
a
f (x) dx
b
el lı́mite de la izquierda es finito, infinito o no existe si el lı́mite de la derecha es finito, infinito o no existe
respectivamente. Y viceversa.
Z t
Z t
2.- Como lı́m
λf (x) dx = λ lı́m
f (x) dx , ambos lı́mites son simultáneamente finitos, infinitos o no
t→+∞
existen.
t→+∞
a
Z
existen.
Z
∞
Z
t
3.- Basta considerar que lı́m
t→+∞
a
(f + g)(x) dx = lı́m
t→+∞
a
Z
t
t
f (x) dx + lı́m
a
t→+∞
g(x) dx, si los segundos lı́mites
a
1
1
dx es convergente, ya que x+2
x3 = x2 + 2 x3 y por las propiedades 303 anteZ ∞
Z ∞
Z ∞
(P.2)
(P.1)
1
1
1
y
2 x13 dx ∼
x2 dx
x3 dx ∼
x3 dx, que son ambas convergentes
1
2
1
2
Z2 ∞
x+2
(ejemplo 300). Luego por la propiedad (P.3) la integral
x3 dx es convergente por ser suma de integrales
2
Z ∞
Z ∞
Z ∞
1
x+2
2 x13 dx
convergentes y
x3 dx =
x2 dx +
4
Ejemplo La integral
Z ∞
Z
(P.1)
1
riores,
x2 dx ∼
2
∞
x+2
x3
2
2
2
Proposición 304.- Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t] para todo t ∈ [a, +∞). Si
Z ∞
entonces
f (x) dx diverge.
a
lı́m f (x) = L 6= 0
x→+∞
.
Observación 305.- Como consecuencia de este resultado, si una función tiene lı́mite en +∞ , su integral sólo
puede ser convergente cuando el lı́mite es cero. (Si el lı́mite no existe no se puede asegurar nada.)
El recı́proco de la proposición 304 no es cierto, una integral puede ser divergente, aunque su lı́mite sea 0.
Z ∞
dx
Contraejemplo
lı́m x1 = 0.
x diverge (ver ejemplo 300) y sin embargo,
1
Prof: José Antonio Abia Vian
x→+∞
I.T.I. en Electricidad
162 – Matemáticas I : Cálculo integral en IR
15.2.1
15.2 Integrales impropias de primera especie
Criterios de comparación para funciones no negativas
Lema 306.- Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable y no negativa en [a, t], para todo t ∈ IR . Entonces la función
Z t
F (t) =
f (x) dx es creciente en [a, +∞) .
a
Demostración:
La función F es creciente ya que si t1 , t2 ∈ [a, +∞) , con t1 ≤ t2 , entonces
Z t2
F (t2 ) − F (t1 ) =
f (x) dx ≥ 0
t1
por ser f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, +∞) .
Teorema 307.- Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable y no negativa en [a, t], ∀t ∈ IR .
Z
Z
+∞
f (x) dx
t
es convergente ⇐⇒ F (t) =
a
f (x) dx
está acotada superiormente.
.
a
Z
+∞
Nota: En consecuencia, para funciones no negativas,
f (x) dx sólo puede ser convergente o divergente.
a
Primer criterio de comparación 308.- Sean f, g: [a, +∞) −→ IR integrables en [a, t] para todo t ≥ a y supongamos que existe b > a tal que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) para todo x ≥ b. Entonces:
Z +∞
Z +∞
a) Si
g(x) dx converge ⇒
f (x) dx también converge.
a
Z
a
Z
+∞
b) Si
+∞
f (x) dx diverge ⇒
a
g(x) dx también diverge.
a
Demostración:
Por la propiedad 1 de 303,
Z +∞
Z
f (x) dx ∼
a
Z
+∞
f (x) dx
Z
+∞
y
+∞
g(x) dx ∼
b
a
g(x) dx,
b
luego basta probarlo en [b, +∞) .
Z +∞
Z t
a) Si
g(x) dx converge, G(t) =
g(x) dx está acotada superiormente.
b
b
Por ser 0 ≤ f (x) ≤ g(x), se tendrá que
Z
Z
t
F (t) =
f (x) dx ≤
b
t
g(x) dx = G(t),
b
Z
+∞
luego F (t) está acotada superiormente y
f (x) dx es convergente.
b
Z
Z t
f (x) dx y, por tanto, F (t) =
f (x) dx no está acotada
a
b
Z +∞ b
superiormente. Como F (t) ≤ G(t) , G no está acotada superiormente y
g(x) dx es divergente, luego
b
Z +∞
g(x) dx es divergente.
b) Si
Z
+∞
+∞
f (x) dx es divergente también lo es
a
Z
∞
Ejemplo
1Z
Z ∞
1
x2 +1 dx ≤
1
Prof: José Antonio Abia Vian
1
1
2
x2 +1 dx es convergente, pues en [1, +∞), 0 < x
∞
1
x2 dx y como la mayor es convergente, la menor
< x2 + 1 de donde 0 <
también.
1
1+x2
<
1
x2
. Luego
4
I.T.I. en Electricidad
163 – Matemáticas I : Cálculo integral en IR
15.2 Integrales impropias de primera especie
Z ∞
1
Ejemplo
x+1 dx es divergente, pues en [1, +∞), 0 < x + 1 < x + x = 2x de donde 0 <
Z ∞
Z1 ∞
1 1
1
dx
≤
2 x
x+1 dx y como la menor es divergente, la mayor también lo es.
1
1
2x
<
1
x+1
. Luego
4
1
Segundo criterio de comparación 309.- Sean f, g: [a, +∞) −→ IR integrables en [a, t], para todo t ≥ a y no
(x)
negativas. Supongamos que existe lı́m fg(x)
= L . Entonces:
x→+∞
Z
Z
+∞
a) Si 0 < L < +∞ =⇒
g(x) dx.
a
a
b) Si L = 0 , se tiene:
Z
Z +∞
g(x) dx converge =⇒
[i] si
Z
a
+∞
f (x) dx converge.
a
+∞
Z
+∞
[ii] si
f (x) dx diverge =⇒
g(x) dx diverge.
a
a
c) Si L = +∞ , se tiene:
Z +∞
Z
[i] si
f (x) dx converge =⇒
Z
a
+∞
g(x) dx converge.
a
+∞
Z
+∞
[ii] si
g(x) dx diverge =⇒
a
Z
+∞
f (x) dx ∼
f (x) dx diverge.
.
a
∞
1√
dx es convergente, pues [2, +∞) es positiva y
Ejemplo
x2 − x
Z ∞ 2
Z ∞
1√
1
Luego
dx ∼
x2 dx que converge.
x2 − x
2
lı́m
x→+∞
1
√
x2 − x
1
2
x
=
2
lı́m 2 x √
x→+∞ x − x
= 1 6= 0.
4
2
Observación:
Aunque los Z
criterios dados
+∞ , teniendo en
Z +∞ son válidos únicamente para funciones positivas en un entornoZde+∞
+∞
cuenta que
f∼
−f , para las funciones negativas basta estudiar el carácter de
−f.
a
15.2.2
a
a
Convergencia absoluta
Z
Definición 310.- Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t] para todo t ≥ a. Diremos que
Z +∞
absolutamente convergente si
|f (x)|dx converge.
+∞
f (x)dx es
a
a
Teorema 311.- Sea f : [a, +∞) −→ IR integrable en [a, t] para todo t ≥ a.
Z
Z
∞
Si
|f (x)|dx converge, entonces
a
+∞
f (x)dx converge.
a
En otras palabras, si una integral impropia converge absolutamente entonces converge.
Demostración:
Para todo x ∈ [a, +∞) se tiene −|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)| , luego 0 ≤ f (x) + |f (x)| ≤ 2|f (x)| . Entonces, si
Z +∞
Z +∞
|f (x)|dx converge se tiene que
(|f (x)| + f (x)) dx es convergente y, por tanto, aplicando al propiedad
a
3 de 303, se tiene que
a
Z
Z
+∞
f (x)dx =
a
Z
+∞
(f (x) + |f (x)|) dx −
a
+∞
|f (x)|dx
a
converge.
Prof: José Antonio Abia Vian
I.T.I. en Electricidad
164 – Matemáticas I : Cálculo integral en IR
15.3 Integrales impropias de segunda especie
Nota: El recı́proco no es cierto.
Z ∞
sen x
Contraejemplo
x dx converge pero no converge absolutamente.
Z ∞ π
sen x
Veamos que
x dx converge.
Z
π
∞
π
Como
½
¾½
¾
sen x
du = −1
u = x1
x2 dx
dx =−→
−→
dv = sen x dx
v = − cos x
x
π
!
õ
¸t Z t
¶
µ
Z t
cos x
1
− cos t
cos x
− cos x
−
dx
=
lı́m
−
−
lı́m
dx
= lı́m
2
t→+∞ π
t→+∞ π
t→+∞
x
x
t
x2
π
π
Z ∞
cos x
1
= −
dx
π
x2
π
Z ∞
Z ∞
1
cos x
y
dx
converge,
2
x
x2 dx converge absolutamente, luego converge y, por tanto
sen x
dx = lı́m
t→+∞
x
| cos x|
x2
1
x2
≤
Z
t
π
π
Z
∞
π
sen x
1
dx = −
x
π
converge.
Z
∞
Veamos que no converge absolutamente. Si
π
puesto que
Z
∞
π
cos x
dx
x2
Z
| sen x|
x
∞
dx convergiera, entonces
π
| cos x|
x
dx convergerı́a,
Z ∞
Z ∞
| sen(x + π2 )|
| sen(t)|
| sen t|
dx =
dt
∼
dt
π
3π
x
t− 2
t
π
π
π
2
Z ∞
| sen x|+| cos x|
(por el segundo criterio de comparación); en consecuencia,
dx convergerı́a. Pero esto es absurdo
x
π
Z ∞
Z ∞
cos x|
| sen x|+| cos x|
1
puesto que | sen x|+|
≥ x1 y como
dx ha de ser divergente.
x
x dx diverge, necesariamente
x
π
Z ∞
Z ∞π
| sen x|
sen x
Luego
dx diverge y
x
x dx no converge absolutamente.
4
∞
| cos x|
dx =
x
π
Z
Z
∞
π
Observación 312.- Los criterios establecidos para integrales impropias de primera especie en [a, +∞) ası́ como
la convergencia absoluta admiten versiones análogas para integrales impropias de primera especie en (−∞, b]
(se construyen similarmente a como se hace en la sección 15.3.1).
Z
b
No obstante, si f : (−∞, b] −→ IR , la función g: [−b, +∞) −→ IR definida por g(x) = f (−x) verifica que
Z −t
f (x)dx =
g(u)du, para todo t ∈ (−∞, b], luego
t
−b
Z
Z
b
∞
f (x)dx ∼
−∞
g(u)du.
−b
Puede, por tanto, estudiarse f (x) en (−∞, b] estudiando f (−x) en [−b, +∞) .
Z −1
1
Ejemplo Estudiar el carácter de
x2 dx.
−∞
Z +∞
Z +∞
Z −1
1
1
1
Como
(−x)2 dx =
x2 dx que converge, la integral
x2 dx converge.
−(−1)
15.3
1
−∞
Integrales impropias de segunda especie
Definición 313.- Sea f : (a, b] −→ IR integrable en [t, b], para todo t ∈ (a, b], y no acotada. Sea F : (a, b] −→ IR
Z b
la función definida por F (t) =
f (x)dx.
t
El par (f, F ) se denomina integral impropia de segunda especie en (a, b] y se designa por
Z
Z
b
f (x)dx
a+
Prof: José Antonio Abia Vian
b
ó
f.
a+
I.T.I. en Electricidad
165 – Matemáticas I : Cálculo integral en IR
15.3 Integrales impropias de segunda especie
Z
b
Definición 314.- Diremos que la integral impropia
f (x)dx es convergente si existe y es finito
a+
Z
lı́m+ F (t) = lı́m+
t→a
b
f (x)dx
t→a
t
y si ese lı́mite es L se dice que el valor de la integral impropia es L, es decir,
Z
b
L=
f (x)dx.
a+
Si el lı́mite anterior es infinito se dice que la integral impropia es divergente y si no existe se denomina
oscilante.
De forma análoga se definen las integrales impropias de segunda especie en intervalos de la forma [a, b) para
funciones f : [a, b) −→ IR integrables en [a, t] , ∀t ∈ [a, b) y no acotadas. Las representaremos por
Z
Z
b−
f (x)dx
b−
ó
f.
a
a
Definición 315.- Sea f : (a, b) −→ IR integrable en todo intervalo cerrado contenido en (a, b) y no acotada.
Z b−
Z c
Z b−
f (x)dx es convergente si existe algún c ∈ IR tal que las integrales
f (x)dx y
Diremos que
f (x)dx
a+
a+
son ambas convergentes. En ese caso su valor es
Z
Z
b−
a+
b
Ejemplo 316 Estudiar el carácter de
a+
Z
f (x)dx.
c
Z
dx
(x−a)α
b−
f (x)dx +
a+
Z
Solución:
Si α = 1 ,
Z
c
f (x)dx =
c
b−
y de
a
dx
(b−x)α
, para los α ∈ IR .
³
´
³
ib
dx
= lı́m+ ln |x − a| = lı́m+ ln |b − a| − ln |t − a| = +∞
t
t→a
t→a
t→a
t x−a
Z t
³
it
³
´
dx
lı́m−
= lı́m− − ln |b − x| = lı́m− ln |b − a| − ln |b − t| = +∞
t→b
a
t→b
t→b
a b−x
b
lı́m+
Si α 6= 1 ,
Z
b
lı́m
t→a+
t
Z
t
lı́m
t→bb
a
¸b
1
1
1 − α (x − a)α−1 t
µ
¶ ½
1
1
1
1
(1−α)(b−a)α−1 ,
= lı́m+
−
=
+∞,
(b − a)α−1
(t − a)α−1
t→a 1 − α
µ
¸t
−1
1
dx
= lı́m
(b − x)α t→b− 1 − α (b − x)α−1 a
µ
¶ ½
1
1
1
1
(1−α)(b−a)α−1 ,
= lı́m−
−
=
+∞,
(b − t)α−1
(b − a)α−1
t→b α − 1
dx
= lı́m
(x − a)α t→a+
µ
luego converge si α < 1 y diverge si α ≥ 1.
Z
Análogamente se hace la segunda, y se obtiene que
a
15.3.1
b−
dx
(b−x)α
si α < 1
si α > 1
si α < 1
si α > 1
converge si α < 1 y diverge si α ≥ 1.
Criterios de comparación para funciones no negativas
Las integrales impropias de segunda especie para funciones no negativas, admiten criterios análogos a los dados
para las integrales de primera especie. En este sentido, obsérvese que el Teorema 318 siguiente es idéntico a su
homólogo para integrales de primera especie.
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166 – Matemáticas I : Cálculo integral en IR
15.3 Integrales impropias de segunda especie
Por ello, enunciaremos los criterios omitiendo sus demostraciones, que tienen un desarrollo parejo a las
demostraciones de los criterios para las integrales de primera especie. Véase la observación 322 posterior, que
“identifica” las integrales de segunda especie con las de primera especie, donde se aporta más información sobre
estos comentarios.
Lema 317.- Sea f : (a, b] −→ IR integrable en [t, b] , para todo t ∈ (a, b], no negativa y no acotada. Entonces,
Z b
la función F (t) =
f (x)dx es decreciente.
t
Teorema 318.- Sea f : (a, b] −→ IR integrable en [t, b], para todo t ∈ (a, b], no negativa y no acotada. Entonces
Z
Z
b
b
f (x)dx es convergente ⇐⇒ F (t) =
a+
f (x)dx está acotada superiormente.
t
.
Primer criterio de comparación 319.- Sean f, g: (a, b] −→ IR integrables en [t, b], para todo t ∈ (a, b], y no
acotadas. Supongamos que existe c ∈ (a, b] tal que 0 ≤ f (x) ≤ g(x), para todo x ∈ (a, c], entonces
Z b
Z b
f (x)dx también converge.
a) Si
g(x)dx converge =⇒
a+
a+
Z
Z
b
b
f (x)dx diverge =⇒
b) Si
a+
g(x)dx también diverge.
a+
Segundo criterio de comparación 320.- Sean f, g: (a, b] −→ IR integrables en [t, b], para todo t ∈ (a, b] , no
(x)
negativas y no acotadas. Supongamos que existe y es finito lı́m+ fg(x)
= L. Entonces:
x→a
Z
Z
b
a) Si L 6= 0 entonces,
b
f (x)dx ∼
a+
g(x)dx.
a+
b) Si L = 0 , se tiene:
Z b
Z
[i] Si
g(x)dx converge =⇒
a+
Z b
[ii] Si
Z
f (x)dx también converge.
a+
b
f (x)dx diverge =⇒
a+
b
g(x)dx también diverge.
a+
Teorema 321.- (Convergencia absoluta.)
Sea f : (a, b] −→ IR integrable en [t, b], ∀t ∈ (a, b], y no acotada.
Z
Z
b
Si
b
|f (x)|dx convergente =⇒
a+
f (x)dx
es convergente.
a+
Nota: También pueden darse enunciados análogos para integrales impropias de segunda especie en [a, b).
Observación 322.- Cualquier integral impropia de segunda especie puede transformarse mediante un cambio
de variable adecuado en una integral impropia de primera especie:
Segunda especie
Z
Cambio de variable
Z
b
f (x)dx
t=
a+
Z
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1
x−a
t=
1
b−x
+∞
1
b−a
Z
b−
f (x)dx
a
Primera especie
+∞
1
b−a
f ( 1t +a)
dt
t2
f (b− 1t )
dt
t2
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167 – Matemáticas I : Cálculo integral en IR
15.4 Ejercicios
Por consiguiente, como ya anunciábamos, los teoremas y criterios de comparación estudiados para las integrales impropias de primera especie admiten enunciados análogos para las integrales impropias de segunda
especie.
Las demostraciones pueden hacerse utilizando los cambios de variable arriba indicados y los resultados ya
conocidos referentes a las integrales impropias de primera especie, o bien siguiendo los mismos pasos de las
demostraciones realizadas en la subsección 15.2.1.
15.4
Ejercicios
Z
+∞
15.220 Calcular el valor de
−∞
Z
Z
+∞
dx
1+x2
0
e−x dx y
15.221 Calcular
.
ex dx.
0
−∞
Z
+∞
15.222 Estudiar el carácter de
−∞
Z
+∞
15.223 Probar que
0
Z
dx
xα
Z
2x−1
1+x2 dx
+∞
y hallar V P
−∞
2x−1
1+x2 dx .
diverge para cualquier α ∈ IR .
Z
+∞
15.224 Probar que
+∞
sen xdx no es convergente. ¿Existe V P
−∞
sen xdx ?
−∞
15.225 Estudiar el carácter de las siguientes integrales, según los valores de a.
Z +∞
sen2 x
a)
x2 dx .
a
Z
+∞
b)
a
dx
ln x
, para a > 1 .
15.226 Responder razonadamente, sobre la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a) Si f : [a, +∞) −→ IR , es integrable en [a, t] para todo t ∈ [a, +∞), y lı́m f (x) = 0, entonces
x→+∞
Z +∞
f (x)dx converge.
a
Z ∞
b) Si f : [a, +∞) −→ IR , es continua y lı́m f (x) = 0, entonces
f (x)dx converge.
x→+∞
a
Z ∞
c) Si f : [a, +∞) −→ IR , es derivable, creciente y acotada entonces
f 0 (x)dx converge.
Z
Z
∞
d) Si
f (x)dx es convergente, entonces
a
Z
∞
Z
Z
f) Si
Z
1
f (x)dx y
0
f (x)dx.
a
Z
∞
(f (x) + g(x))dx converge, entonces
a
∞
f (x)dx ≤
a
e) Si
a
Z
1000
f (x)dx y
a
1
∞
g(x)dx convergen necesariamente.
a
Z
1
g(x)dx convergen, entonces
f (x)g(x)dx converge necesariamente.
0
0
Z ∞
Z ∞
15.227 Probar que si f y g son funciones positivas tales que
f (x)dx y
g(x)dx convergen y existe, cuando
a
Z a∞
x → ∞, el lı́mite de una de las funciones, entonces
f (x)g(x)dx converge.
a
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168 – Matemáticas I : Cálculo integral en IR
15.4 Ejercicios
15.228 Estudiar el carácter de las integrales siguientes:
Z
Z
∞
a)
(2 + sen x)dx
Z
b)
1
Z
1
ch x dx
−∞
Z
0
j)
1
x
1+x4 dx
k)
e−x sen xdx
n)
∞
0
Z
0
Z
dx
1−cos x
1
q)
0
−∞
∞
e2x (2x2 − 4x)dx
f)
Z
2
0
∞
sen3 x
1+cos x+ex dx
i)
Z
dx
√
x
0
∞
x ln x
(1+x2 )2 dx
l)
Z
0
p)
x2 +1
x4 +1 dx
√
0
π
Z
1
2
e−x dx
0
Z
∞
c)
xe−x dx
∞
m)
Z
dx
∞
h)
−∞
∞
0
e)
e2x (2x2 − 4x)dx
Z
e
−∞
∞
g)
Z
−x
0
d)
Z
Z
∞
dx
x(1−x)
0
1
sen
√ x+cos x dx
x(1−x)
o)
Z
ex
ex −1 dx
0
π
2
r)
0
x
√e
dx
sen x
15.229 Estudiar el carácter de las integrales siguientes:
Z
a)
d)
Z
1
sen x
x2 dx
0
√
Z 2
x
Z
0
Z
4
(x2 −1) 5
0
+∞
g)
1
π
b)
dx
2
e)
1
Z
sen2 x1 dx
Z
sen2 2x
x2 dx
Z
dx
x ln x
f)
ln x ln(x + 1)dx
i)
Z
1
h)
∞
c)
0
1
ln x
x4 −x3 −x2 +x dx
∞
dx
1
x+(x3 +1) 2
0
∞
0
ex
ex +1 dx.
15.230 Estudiar el carácter de las integrales siguientes:
Z
a)
(1−tg x) sen x
3
3
2 2
(π
4 −x) x
0
Z
∞
c)
0
Z
1
e)
0
Z
g)
π
4
ex
ex +1
i)
π
−
dx
b)
Z
ex
ex −1 dx
³
0
√
x2
1+ x
2 − 8 − 1+sen x
0
7
x2
π
2
h)
Z
dx
³
π
4
∞
j)
dx
(x−1)4
∞√
x sen 12
x
ln(1+x)
Z
− 1 dx
arctg(x−1)
√
3
1
´
2
1−e−x
x2 cos x
∞
Z
dx
2
d)
f)
π
4 −arcsen x
1
3
x 2 ( √1 −x) 2
0
sen3 (x−1)
dx
x ln3 x
0
Z
√
2
2
Z
π
4
2
1−e−x
x2 cos x
dx
´
− 1 dx
1
sen x arctg 3 (x−1)
2
(x−1) 3
0
sh x
dx.
15.231 Encontrar los valores de a, para que las integrales siguientes sean convergentes.
Z
a)
π
2
0
Z
∞
d)
0
Z
g)
Z
1−cos x
dx
xa
Z
x−sen x
dx
xa
e)
xa sen xdx
h)
Z
∞
0
³
∞
0
∞
³
ax
x2 +1
−
√ 1
1+2x2
1
2x+1
−
Z
´
a
x+1
dx
0
Z
´
dx
x1−a
0
i)
a
√1
x
1−e
xa
∞
f)
Z
sen2 x
x2 −1 dx
∞
c)
∞
dx
dx
√
3
1−x2
xa
x4 −1 dx
1
xp−1 (1 − x)q−1 dx. Encontrar los valores reales de p y q para
15.232 Se define la función beta por B(p, q) =
los que la función B(p, q) está definida.
2
a
Z
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∞
b)
0
I.T.I. en Electricidad
169 – Matemáticas I : Cálculo integral en IR
15.4 Ejercicios
Z
∞
xp e−x dx.
15.233 Se define la función gamma por Γ(p) =
0
a) Probar que esta función está definida para todo p > −1.
b) Probar que se verifica la igualdad Γ(p + 1) = pΓ(p), para cualquier p .
Z ∞
c) Calcular, usando b),
x6 e−x dx.
0
15.234 Sea f : [0, +∞) −→ IR . Se define la función transformada integral de Laplace de la función f , que
Z ∞
denotaremos por L{f } , como L{f (x)} = F (s) =
f (x)e−sx dx, siempre que la integral exista. Probar
0
que:
a) Si f (x) = 1, F (s) = L{1} =
1
s
.
b) Si F (s) = L{f (x)} y G(s) = L{g(x)} , entonces, para todo λ, µ ∈ IR ,
L{λf (x) + µg(x)} = λL{f (x)} + µL{g(x)}.
c) Si f es derivable y verifica que
entonces
d) L{x} =
Prof: José Antonio Abia Vian
1
s2
y que L{sen(ax)} =
lı́m f (x)e−sx = 0, a partir de un cierto s , y existe L{f 0 (x)},
x→+∞
L{f 0 (x)} = sL{f (x)} − f (0).
a
s2 +a2
, usando el resultado del apartado c).
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