Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales
José Vicente Romero Bauset
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Ecuaciones Diferenciales
Tema 1: Introducción a las ecuaciones diferenciales
Ecuaciones Diferenciales
Definiciones básicas
Ecuación diferencial
Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables
dependientes con respecto a una o más variables independientes es
una ecuación diferencial.
Ecuación diferencial ordinaria
Si existe sólo una variable independiente, la ecuación se dice
ecuación diferencial ordinaria (EDO), ya que las derivadas que
aparecen son ordinarias.
Ejemplos
dy
+ 10y = e−x
dx
d2 y d y
−
+y = x
dx2 dx
Ecuaciones Diferenciales
Definiciones básicas
Ecuación diferencial en derivadas parciales
Si existen varias variables independientes y en la ecuación aparecen
derivadas parciales, se dice que es ecuación diferencial en
derivadas parciales (EDP).
Ejemplos
∆u ≡ ∇2 u ≡
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
1 ∂ 2u
+ 2 + 2 = 2 2 (ecuación de
2
∂x
∂y
∂z
c ∂t
ondas)
∆u = 0 (ecuación de Laplace)
ρ
∆u = − (ecuación de Poisson)
ε0
Orden de una E.D.
Se llama orden de la ecuación diferencial al mayor orden de
derivación con que aparece alguna de las funciones de la E.D.
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Definiciones básicas
Ejemplos
d3 y
+ y = t2
d t3
3
d2 y
dy
−y = x
+5
2
dt
dx
EDO lineal
Una EDO de la forma F t, y , y 0 , . . . , y (n) = 0 se dice que es
lineal si F es una función lineal de y , y 0 , . . . , y (n) , es decir, la
ecuación diferencial se puede escribir de la forma
an (t)
d n−1 y
dy
d ny
+
a
(t)
+ · · · + a1 (t) + a0 (t)y + b(t) = 0.
n−1
n
n−1
dt
dt
dt
Una EDO con coeficientes constantes es aquella en la que todas
las funciones ai (t) son constantes.
Ecuaciones Diferenciales
Ejemplos de problemas fı́sicos y técnicos que se resuelven
mediante ecuaciones diferenciales
Circuito eléctrico
L
d 2q
dq 1
+ q = E (t)
+R
dt 2
dt C
Muelle
my 00 + Cy 0 + ky = f (t)
Ecuaciones Diferenciales
Solución general y particular
Solución de una E.D.
Una solución de una ecuación diferencial es una función f (t) que
satisface
la ecuación.
Es decir,
f (t) es solución de 0
(n)
F t, y , y , . . . , y
= 0 si F t, f (t), f 0 (t), . . . , f (n)(t) = 0
Solución general
Una solución de una ecuación diferencial de orden n que contiene n
constantes arbitrarias se denomina solución general.
Solución particular
Una solución de una ecuación diferencial que no contiene
constantes arbitrarias se llama solución particular
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Problemas de valor inicial y de frontera
Problemas de valor inicial
Dada una EDO F t, y , y 0 , . . . , y (n) = 0, se llama Problema de
Valor Inicial (PVI) al consistente en obtener la función f (t) que
verifica la EDO y una Condición Inicial (CI), dada por
f (to ), f 0 (t0 ), . . . , f (n−1) (t0 )
Problemas de frontera
Dada una EDO F x, y , y 0 , . . . , y (n) = 0 definida en un intervalo
D = [a, b] se llama Problema de Contorno o Problema de
Frontera (PF) al consistente en obtener la función f (x) que
verifica la EDO y una Condición de Contorno (CC) en la frontera
del dominioç D, dada por n ecuaciones que relacionan los valores
de f , f 0 , . . . , f (n−1) en la frontera de de D, es decir en los extremos
del intervalo, a y b.
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