CAPITULO 3 ALTERNATIVAS DE DISEÑO

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CAPITULO 3
ALTERNATIVAS DE DISEÑO
Antes de analizar cada alternativa es necesario resolver la ecuación de Mathieu para
conocer las curvas de regiones estables y no estables, las cuales serán importantes para
seleccionar nuestros parámetros en diseño.
3.1
Alternativas de Diseño
Se ha dado una introducción de la teoría de las vibraciones paramétricas y diferentes
ejemplos donde estas se presentan. En este capítulo se escogerán tres alternativas para el
diseño y construcción. Para poder escoger un diseño en particular es necesario conocer el
equipo con el que cuanta la Universidad de las Américas Puebla. Dentro de los posibles
diseños para la construcción de un banco de vibraciones paramétricas se listarán tres
alternativas por su facilidad en construcción y disponibilidad de equipo. En el equipo
podemos listar tres diferentes áreas de suma importancia para la selección de las posibles
alternativas:
1. Electrónica: Excitadores, frecuenciómetros
2. Eléctrica: Motores
3. Mecánica: Maquinas herramientas: Torno, fresa, taladro, máquina CNC, soldadura.
De acuerdo a los recursos mencionados en la propuesta de tesis, dentro de las tres
posibles alternativas para construcción se encuentran las siguientes:
1. Péndulo Físico excitado en pivote
2. Disco excitado angularmente
50
3. Cable con masa excitada
En cada alternativa se analizarán a detalle sus ecuaciones matemáticas, y sus
posibles parámetros de diseño.
3.1.1
Péndulo Físico excitado en pivote
Considera el péndulo simple mostrado en la figura (3.2). El punto de pivote del péndulo
está diseñado para vibrar en la dirección vertical:
Figura 3.1 Péndulo físico
Este péndulo físico tendrá la capacidad de vibrar en el pivote en diferentes
direcciones con la siguiente función de movimiento.
y(t) = Y cosωt
(3.1)
Donde Y es la amplitud y ω es la frecuencia de oscilación. Desde que el péndulo
entero acelera en la dirección vertical, la aceleración neta esta dada por:
oo
g − y (t) = g − ω 2Y cos ωt
(3.2)
51
Y la ecuación de movimiento del péndulo físico puede ser escrita como:
oo
oo
I θ + m(g − y )lsin θ = 0
(3.3)
Para deflexiones pequeñas cerca de θ = 0 , sin θ ≈ θ y la ecuación se reduce a:
oo
Bθ +
(
)
ml
g + ω 2Y cos ωt θ = 0
2
(3.4)
τ = ωt
2
d 2θ
2 d θ
=ω
dt 2
dτ 2
Bϖ 2 *
(3.5)
d 2θ ml
+
g + ω 2Y cosτ θ = 0
2
2
dτ
(
)
d 2θ ⎛ mgl
mlY
⎞
+⎜
+
cosτ ⎟θ = 0
2
2
2B
dτ
⎝ 2 Bϖ
⎠
a=
(3.6)
(3.7)
mgl
2 Bϖ 2
(3.8)
mlY
2B
(3.9)
ε=
d 2θ
+ (a + ε cosτ )θ = 0
dτ 2
(3.10)
52
3.1.2
Masa excitada por cable
A
O
Figura 3.2 Masa excitada por cable
Ecuación de movimiento
tan(ϕ ) =
x
l
para pequeños ángulos ϕ
ϕ=
(3.12)
x
l
oo
m x = −2 Ssenϕ
(3.13)
oo
m x = −2Sϕ
x
=0
l
(3.15)
2S
x=0
ml
(3.16)
oo
m x + 2S
oo
x+
(3.14)
La frecuencia natural es:
ϖ 02 =
2S
ml
(3.17)
Derivación de la Ecuación de Mathieu
z = z0 sen(ϖt)
(3.18)
53
ϕ=
x
l+ z
ϕ=
x
⎛
l⎜1+
⎝
(3.19)
z⎞
⎟
l⎠
z
= y ≤1
l
ϕ=
x
l(1+ y )
1
1
= 1−
−y
(1+ 0) 2
1+ y
ϕ=
x
x x
x xz
= − y= −
l(1+ y ) l l
l l l
x⎛
l⎝
ϕ = ⎜1−
⎞
z0
senϖt ⎟
⎠
l
(3.20)
(3.21)
(3.22)
(3.23)
(3.24)
(3.25)
oo
m x = −2Sϕ
(3.26)
oo
z
⎞x
⎛
m x = −2S ⎜1 − 0 senϖt ⎟
l
⎠l
⎝
(3.27)
2S ⎛ z 0
⎞
⎜1 − senϖt ⎟ x
lm ⎝
l
⎠
(3.28)
oo
x=−
Derivación de la Ecuación de Mathieu
d2y
= +(α − ε cosϖt ) y = 0
dt 2
oo
x+
2S ⎛ z 0
⎞
⎜1 − senϖt ⎟ x = 0
lm ⎝
l
⎠
(3.29)
54
⎛ 2S 2Sz0
⎞
x+ ⎜
− 2 senϖt ⎟ x = 0
⎝ lm l m
⎠
oo
2S
lm
(3.31)
2 Sz 0
l 2m
(3.32)
α=
ε=
3.1.3
(3.30)
Masa excitada por resortes
Figura 3.3 Masa excitada por resortes
Ecuación de movimiento
tan(ϕ ) =
x + ∆x
l
para pequeños ángulos ϕ
ϕ=
(3.33)
x + ∆x
l
oo
m x = −2(∆Rk )senϕ
(3.34)
oo
m x = −2(∆Rk )ϕ
oo
m x + 2(∆Rk )
x + ∆x
=0
l
(3.35)
(3.36)
55
oo
x+
2(∆Rk )(x + ∆x )
=0
ml
(3.37)
La frecuencia natural es:
ϖ 02 =
2(∆Rk )
ml
(3.38)
Derivación de la Ecuación de Mathieu cuando vibra el punto A
z = z0 sen(ϖt)
ϕ=
ϕ=
x + ∆x
l+ z
x + ∆x
⎛ z⎞
l⎜1+ ⎟
⎝ l⎠
z
= y ≤1
l
ϕ=
x + ∆x
l(1+ y )
1
1
= 1−
−y
(1+ 0) 2
1+ y
ϕ=
(3.39)
(3.40)
(3.41)
(3.42)
(3.43)
(3.44)
x + ∆x x + ∆x x + ∆x
x + ∆x x + ∆x z
=
−
y=
−
l
l(1+ y )
l
l
l
l
(3.45)
⎞
x + ∆x ⎛ z 0
⎜1− senϖt ⎟
⎠
l
l ⎝
(3.46)
ϕ=
oo
m x = −2(∆Rk )ϕ
(3.47)
oo
⎛ z
⎞ x + ∆x
m x = −2(k∆R)⎜1− 0 senϖt ⎟
⎝
⎠ l
l
(3.48)
⎞
2(k∆R) ⎛ z 0
⎜1− senϖt ⎟ x + ∆x
⎠
lm ⎝
l
(3.49)
oo
x =−
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Ecuación de Mathieu
d2y
= +(α − ε cosϖt ) y = 0
dt 2
oo
x+
⎞
2(k∆R) ⎛ z0
⎜1− senϖt ⎟ x + ∆x = 0
⎠
lm ⎝
l
⎛ 2(k∆R ) 2k∆Rz 0
⎞
x+ ⎜
− 2
senϖt ⎟ x + ∆x = 0
l m
⎝ lm
⎠
oo
α=
2(k∆R )
lm
ε=
2k∆Rz 0
l 2m
(3.50)
(3.51)
(3.52)
(3.53)
3.2 Elección de Alternativa para Diseño
Se han presentado todas las alternativas de diseño
las cuales representan excelentes
opciones para construir un banco vibratorio. Sin embargo aunque todas presentan puntos
positivos es necesario elegir la que pueda tener un mayor alcance didáctico y pueda
representar diversos problemas vibratorios en mecánica.
El péndulo paramétrico resulta ser una excelente elección, debido a que representa
sistemas de mayor complejidad y dimensión. De la misma manera es un dispositivo donde
se pueden claramente diferenciar los estados estables y no estables. Por el otro lado su
manufactura es sencilla y es posible construirla con el equipo de la Universidad de las
Américas. En los próximos capítulos se enfocará el estudio al análisis del péndulo
paramétrico.