Práctico 4 1. Sea φ : R → M n×n(R) tal que si φ(t)=(φij(t

Introducción a Ecuaciones Diferenciales
Curso 2016
Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Práctico 4
1. Sea φ : R → Mn×n (R) tal que si φ(t) = (φij (t)) entonces las funciones φij
son de clase C 1 y se cumple que para todo t ∈ R la matriz φ(t) es invertible.
Mostrar que existe una única función A : R → Mn×n (R) de forma tal que
φ(t) es matriz fundamental de x0 = A(t)x. Intentar comprender que pasa
si hay valores de t para los cuales φ(t) no es invertible y valores para los
cuales lo es.
2. Sea x0 = A(t)x donde
PA : R → Mn×n (R) tiene un desarrollo en serie
de potencias A(t) = n≥0 An tn con An Mn×n (R) para t ∈ (−r, r). Sea
x : (−ε,P
ε) → Rn una solución cuyo desarrollo en serie de potencias es
n
n
x(t) =
n≥0 an t con an ∈ R . Demostrar que se cumple para todo
n ≥ 0 que:
(n + 1)an+1 =
n
X
An−j aj .
j=0
Deducir que el desarrollo en serie de potencias de x es convergente en
(−r, r).
3. Sea A ∈ Mn×n (R) de forma que µ no es valor propio de A. Mostrar que
la ecuación x0 = Ax + eµ b con b ∈ Rn tiene una solución de la forma
ϕ(t) = veµt . Escribir todas las soluciones de la ecuación en términos de la
matriz fundamental de A.
4. Hallar la matriz eAt de las siguientes matrices:



6 −2 1
2
4 −6
1) A =
2) A =  6 −1 1  3) A =  0
2 −4
0 0 1
−3
1
2
−2

−1
−1 
3
5. Para las siguientes ecuaciones diferenciales encontrar la solución general y
dibujar diagramas de fase.
0
0
0
x = −x + 4y
x = 2x − 3y
x = −3x + 2y
y 0 = −2x + 5y
y 0 = x − 2y
y 0 = −x − y
6.
x0 = x − y
y0 = x − y
x0 = 2x − y
y 0 = x + 4y
a) Hallar la solución de x00 − x0 /t = t que cumple x(1) = 1 y x0 (1) = 0.
1
b) Resolver la ecuación diferencial x000 − 2x00 − x0 + 2x = 0.
c) Hallar la solución de x00 − 2x0 + 2x = t + 2 que cumple x(0) = 0 y
x0 (0) = 1.
7. Se considera el sistema de ecuaciones lineales
x0 = Ax
donde A es una matriz n × n. Sean
E s = ⊕Re λ<0 Eλ ;
E c = ⊕Re λ=0 Eλ ;
E u = ⊕Re λ>0 Eλ
los espacios estable, central e inestable respectivamente, donde Eλ es el
subespacio propio generalizado asociado al valor propio λ.
a) Demostrar que los espacios Eλ son invariantes por A.
b) Mostrar que si ϕ es una solución tal que ϕ(0) = x0 ∈ Eλ entonces
ϕ(t) ∈ Eλ , ∀t ∈ R.
c) Encontrar E s , E c , E u y esquematizar los retratos de fase para la ecuación x0 = Ax en los siguientes casos:




2 3
0
0 −1 0
−1 −3
0  A =  0 −1 0 
A=
A= 1 0
0
2
0 0 −1
0 0 −1
8. Realizar un esquema aproximado de las soluciones de x0 = Ax donde
1) A =
4) A =
2
1
2
3
1
4
−3
2
2) A =
5) A =
9. Mostrar que eAt = lı́mn id +
−1
1
8
1
5
−3
3
1
3) A =

1
−3
−2
6) A =  0
0
1
−2

0 0
3 0 
1 3
An tn n
.
n
10. Para toda matriz D ∈ Mn×n (R) con det(D) 6= 0 mostrar que existe
B ∈ Mn×n (R) tal que eB = D2 .
2