MATEM´ATICAS para estudiantes de primer curso de facultades y

Universidad de Cádiz
Departamento de Matemáticas
MATEMÁTICAS
para estudiantes de primer curso
de facultades y escuelas técnicas
Tema 3
Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones
Elaborado por la Profesora Doctora Marı́a Teresa González Montesinos
Índice
1. Ecuaciones de primer grado
1.1. Ecuaciones e identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Ecuaciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita . . . . . . . . .
1.4. Ecuaciones fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Ecuaciones de grado superior reducibles a ecuaciones de primer grado
1.6. Problemas de primer grado con una incógnita . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
1
2
3
3
4
2. Ecuaciones de segundo grado
2.1. Resolución de la ecuación general. Soluciones . . . . .
2.2. Suma y producto de las raı́ces. Forma canónica de una
2.3. Descomposición en factores de un trinomio de segundo
2.4. Ecuaciones trinomias . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Resolución de ecuaciones irracionales . . . . . . . . . .
. . . . .
ecuación
grado .
. . . . .
. . . . .
. .
de
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. . . . . . . . .
segundo grado
. . . . . . . . .
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. . . . . . . . .
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6
6
7
8
9
9
3. Sistemas de ecuaciones de primer grado
3.1. Sistemas de primer grado con dos incógnitas .
3.1.1. Método de sustitución . . . . . . . . .
3.1.2. Método de igualación . . . . . . . . .
3.1.3. Método de reducción . . . . . . . . . .
3.2. Sistemas de primer grado con tres incógnitas
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11
11
11
12
12
13
4. Sistemas de ecuaciones de grado superior
4.1. Sistemas de segundo grado con dos incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Sistemas de dos ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Problemas con dos o más incógnitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
14
15
16
5. Inecuaciones
5.1. Inecuaciones y desigualdades . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Inecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Sistemas de inecuaciones en una variable . . . . . . . .
5.4. Inecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . .
5.5. Inecuaciones polinómicas de grado superior al segundo
5.6. Inecuaciones fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7. Soluciones reales de una ecuación de segundo grado . .
17
17
19
20
21
23
24
25
6. Ejercicios propuestos
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25
Tema 3
1
1. Ecuaciones de primer grado
1.1. Ecuaciones e identidades
En primer lugar, tenemos que distinguir la identidad de la ecuación propiamente dicha. Para más
facilidad, consideremos las siguientes igualdades:
6(x − 3) = 6x − 18,
5x − 2 = 3(x + 4).
Estas dos igualdades tienen un comportamiento muy distinto cuando se sustituye la letra x en sus dos
miembros:
6(x − 3) 6x − 18 5x − 2 3(x + 4)
x=1
−12
−12
3
15
x=2
−6
−6
8
18
x=3
0
0
13
21
x=4
6
6
18
24
x=5
12
12
23
27
x=6
18
18
28
30
x=7
24
24
33
33
x=8
30
30
38
36
La primera igualdad se verifica para cualquier valor se dé a x, mientras que la segunda sólo se verifica
para x = 7.
Diremos que la primera igualdad es una identidad, mientras que la segunda es una ecuación.
Definición 1.1 Una identidad es una igualdad literal que se verifica para cualquier valor de las letras
que la componen.
Una ecuación es una igualdad literal que se verifica para valores especı́ficos o determinados de las
letras que la componen.
Resolver una ecuación consiste en hallar estos valores particulares que, sustituidos en las incógnitas,
convierten las ecuaciones en identidades. A estos valores los llamaremos soluciones o raı́ces de la
ecuación.
1.2. Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Se tienen los siguientes
principios de equivalencia:
Primer principio de equivalencia.– Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta
una misma expresión algebraica, se obtiene una ecuación equivalente.
De este principio se pueden deducir dos consecuencias importantes:
Si en una ecuación se pasa un término de un miembro al otro, cambiándole el signo, la
ecuación que resulta es equivalente a la primera.
Si los dos miembros de una ecuación tienen dos términos iguales, y con el mismo signo, se
pueden suprimir sin que varı́en las soluciones.
Segundo principio de equivalencia.– Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación
por un número o una expresión distinta de cero, y que no contenga la incógnita, se obtiene una
ecuación equivalente.
De este otro también se pueden deducir consecuencias fundamentales:
2
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Se puede cambiar el signo a todos los términos de una ecuación, pues equivale a multiplicar
por −1 sus dos miembros.
Dada una ecuación con coeficientes racionales, se puede transformar en otra con coeficientes
enteros, reduciéndolos primero al mı́nimo denominador común y, después, multiplicando los
dos miembros por este denominador común.
Una ecuación es entera cuando las incógnitas no figuran en el denominador; en caso contrario, se
llama fraccionaria.
El grado de una ecuación entera con una incógnita es el mayor exponente de la misma.
1.3. Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
Para la resolución de una ecuación entera de primer grado con una incógnita nos limitaremos a
recordar los pasos fundamentales:
a) Se suprimen los paréntesis.
b) Se suprimen, igualmente, los denominadores, reduciendo previamente los dos miembros a denominador común.
c) Se hace la transposición de términos, pasando a un miembro todos los términos que contengan la
incógnita y al otro miembro, los demás.
d) Se reducen los términos semejantes.
e) Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros por el coeficiente de la incógnita.
Ejemplo 1.1
x+1
13 − 2x 5x − 2
1)
+
=1−
.
6
4
12
a) No tiene paréntesis.
2(13 − 2x) + 3(5x − 2)
12 − (x + 1)
b) m.c.m.(6, 4, 12) = 12 =⇒
=
.
12
12
Suprimir el 12 en los dos miembros es lo mismo que multiplicarlos por 12; ası́,
26 − 4x + 15x − 6 = 12 − x − 1.
c) −4x + 15x + x = 12 − 1 − 26 + 6.
d) 12x = −9.
9
3
e) x = − = − .
12
4
7x2 − 9
x − 3 2 (x + 2)2
2)
−2
=
− x.
7
2
2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7x2 − 9 x2 − 6x + 9
x2 + 4x + 4
−
=
− x.
7
2
2
2(7x2 − 9) − 7(x2 − 6x + 9)
7(x2 + 4x + 4) − 14x
m.c.d.(7, 2) = 14 =⇒
=
.
14
14
14x2 − 18 − 7x2 + 42x − 63 = 7x2 + 28x + 28 − 14x.
14x2 − 7x2 − 7x2 + 42x − 28x + 14x = 28 + 18 + 63.
28x = 109.
109
x=
.
28
Tema 3
3
1.4. Ecuaciones fraccionarias
El método para resolver las ecuaciones numéricas fraccionarias es análogo al que hemos seguido
para las ecuaciones enteras; sin embargo, debemos tener presente que, para librar los términos de
sus denominadores, debemos multiplicar los dos miembros por el mı́nimo denominador común y éste
contiene la incógnita. En este caso, una vez halladas las soluciones, hemos de desechar las que anulen
este denominador común pues, como sabemos, no se pueden multiplicar los dos miembros de una
ecuación por una expresión nula.
Ejemplo 1.2
1)
3
4
2(x − 3)
−
= 2
.
x+1 x−1
x −1
El denominador común es x2 − 1, que se anula para x = ±1. Ası́,
3(x − 1) − 4(x + 1)
2(x − 3)
= 2
=⇒ 3x − 3 − 4x − 4 = 2x − 6 =⇒
2
x −1
x −1
1
=⇒ 3x − 4x − 2x = −6 + 3 + 4 =⇒ −3x = 1 =⇒ x = − .
3
2)
2(3x + 4) x + 3
4−x
−
=
.
x2 − 4
x−2
x+2
El denominador común es x2 − 4, el cual se anula para x = ±2. Se tiene que
2(3x + 4) − (x + 2)(x + 3) = (x − 2)(4 − x) =⇒
=⇒ 6x + 8 − x2 − 2x − 3x − 6 = 4x − 8 − x2 + 2x =⇒
=⇒ 6x − 2x − 3x − 4x − 2x = −8 − 8 + 6 =⇒ 5x = 10 =⇒ x = 2.
Como x = 2 es un valor que anula el denominador común, no podemos considerarlo como solución
de la ecuación.
1.5. Ecuaciones de grado superior reducibles a ecuaciones de primer grado
Cuando tenemos una ecuación formada por la igualación a cero de un polinomio, esto es, P (x) = 0,
y podemos descomponer P (x) en factores binómicos de primer grado, para buscar las soluciones de la
ecuación, basta igualar a cero cada uno de los factores y hallar las raı́ces de cada ecuación ası́ obtenida.
Ejemplo 1.3 Para la resolución de la ecuación x4 + 3x3 − x2 − 3x = 0, hacemos

x = 0,



x
−
1 = 0 =⇒ x = 1,
P (x) = x4 + 3x3 − x2 − 3x = x(x − 1)(x + 1)(x + 3) = 0 =⇒
x
+
1 = 0 =⇒ x = −1,



x + 3 = 0 =⇒ x = −3.
En efecto, si P (x) = (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) · · · (an x + bn ), la ecuación P (x) = 0 se convierte en

a1 x + b1 =0,




a2 x + b2 =0,
(a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) · · · (an x + bn ) = 0 ⇐⇒
..

.



an x + bn =0.
Cada una de estas ecuaciones nos proporciona una raı́z de la ecuación inicial.
4
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Ejemplo 1.4 Para resolver la ecuación 3ax − a + 6x2 − 2x = 0, hacemos
a(3x − 1) + 2x(3x − 1) = 0 ⇐⇒ (3x − 1)(a + 2x) = 0 ⇐⇒

1

 3x − 1 = 0 ⇐⇒
3x = 1
⇐⇒ x = ,
3
⇐⇒

 a + 2x = 0 ⇐⇒ 2x = −a ⇐⇒ x = − a .
2
1.6. Problemas de primer grado con una incógnita
Una de las aplicaciones más importantes del estudio de las ecuaciones es la resolución de problemas.
En cualquier problema podemos distinguir unas cantidades conocidas, llamadas datos, y otras
desconocidas que reciben el nombre de incógnitas, y que representaremos, generalmente, por las
letras x, y, z, ...
Todo problema nos proporciona una serie de relaciones entre los datos y las incógnitas, que se
tratarán de expresar mediante ecuaciones. Al resolver estas ecuaciones, obtendremos los valores de las
incógnitas, que constituyen la solución del problema, con la condición de que cumplan todos los
requisitos de éste, aun aquellos que no puedan ser traducidos en las ecuaciones.
Un problema se llama de primer grado cuando da lugar a una ecuación de primer grado; de la
misma forma podrı́amos hablar de problemas de segundo, tercer, cuarto grado, etc., según que las
ecuaciones matemáticas sean de segundo, tercer, cuarto grado, etc.
Podemos resumir en el siguiente esquema los pasos que se precisan seguir en la resolución de un
problema con una incógnita:
a) Representar por una letra (en general, por x) la cantidad que ha de considerarse como incógnita.
b) Expresar con una ecuación la relación entre los datos y la incógnita: traducir en sı́mbolos o expresiones matemáticas lo que nos dice el enunciado del problema.
c) Resolver la ecuación obtenida.
d) Comprobar si el resultado de la ecuación cumple todas las condiciones expresadas en el enunciado.
Los dos primeros puntos son los más importantes, los más difı́ciles y los que requieren más ejercicio.
Es esencial tomar como incógnita una cantidad clave, a partir de la cual podamos expresar matemáticamente el problema. Para ello, es aconsejable leer con atención el enunciado del problema hasta que
hayamos captado completamente su significado.
Para comprender el procedimiento que se sigue, veamos algunos ejemplos.
Problema 1 Hallar el número cuyo quı́ntuplo, disminuido en los 3/4 del mismo, es igual al triple de
la suma de dicho número con cinco.
Sea x el número pedido. Traduzcamos ahora el problema a una expresión matemática:
Enunciado
Hallar un número
cuyo quı́ntuplo
disminuido en los 3/4
es igual al triple
de la suma de dicho número más cinco
Traducción matemática
x
5x
3
5x − x
4
3
5x − x = 3
4
3
5x − x = 3(x + 5)
4
Tema 3
5
Ası́,
3
5x − x = 3(x + 5) ⇐⇒ 5x −
4
⇐⇒ 17x = 4(3x + 15) ⇐⇒
3
20x − 3x
x = 3x + 15 ⇐⇒
= 3x + 15 ⇐⇒
4
4
17x = 12x + 60 ⇐⇒ 17x − 12x = 60 ⇐⇒
⇐⇒ 5x = 60 ⇐⇒ x = 12.
Problema 2 El área de un rectángulo aumenta 185 cm2 cuando la base y la altura se ven aumentadas
en 5 cm cada una. Hallar las dimensiones del rectángulo sabiendo que la primera es triple de la
segunda.
Si la altura vale x, la base será 3x.
El área será 3x · x = 3x2 .
El área aumentada en 185 cm2 será 3x2 + 185.
El nuevo área se obtiene cuando las nuevas dimensiones son 3x + 5 y x + 5, es decir, dicho
área es igual a (3x + 5)(x + 5).
La ecuación del problema será pues
3x2 + 185 = (3x + 5)(x + 5),
cuya solución es x = 8. Las dimensiones serán entonces base= 3 · 8 = 24 cm y altura= 8 cm.
Problema 3 Hallar dos números impares consecutivos tales que la mitad más la cuarta parte del
menor sumen lo mismo que la mitad y la séptima parte del mayor.
Sea x el menor. El mayor será entonces x + 2.
x x
+ .
2
4
x+2 x+2
La mitad y la séptima parte del mayor es igual a
+
.
2
7
La mitad y la cuarta parte del menor es igual a
La ecuación correspondiente a este problema viene dada por
x x
x+2 x+2
+ =
+
.
2
4
2
7
La solución de la ecuación es x = 12, que no es solución del problema, ya que su enunciado pide
hallar números impares.
Problema 4 Un padre tiene 38 años, su hijo, 10, y su hija mayor, 14. ¿Cuántos años han de pasar
para que la edad del padre sea 3 veces la del hijo? ¿Y cuántos para que la edad del padre sea 3
veces la de la hija?
Este problema se considerará como dos problemas distintos, con los mismos datos.
a) Sea x el número de años que han de pasar para que el padre tenga el triple de edad que el
hijo. Entonces, al cabo de x años, la edad del padre será igual a 38 + x mientras que la del
hijo será 10 + x. La ecuación del problema viene dada pues por
38 + x = 3(10 + x),
cuya solución es x = 4 años. De este modo, dentro de 4 años, la edad del padre será el triple
de la edad del hijo. En efecto; 38 + 4 = 42, 10 + 4 = 14, 42 = 3 · 14.
6
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
b) Sea y el número de años que deben transcurrir para que el padre tenga triple edad que la
hija. Transcurridos esos y años, la edad del padre será de 38 + y y la de la hija 14 + y. La
ecuación que se obtiene es entonces
38 + y = 3(14 + y),
cuya solución es y = −2. Este valor negativo nos dice que hace dos años que la edad del
padre fue el triple de la edad de la hija. Ası́ es; 38 − 2 = 36, 14 − 2 = 12, 36 = 3 · 12.
2. Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación entera es de segundo grado si el mayor exponente de la incógnita es 2. Su forma
general completa, después de quitar denominadores, paréntesis y reducir términos semejantes es
ax2 + bx + c = 0,
donde a es el coeficiente del término de segundo grado, llamado también coeficiente cuadrático o primer
coeficiente; b es el coeficiente del término de primer grado, también denominado coeficiente lineal; c
es el término independiente.
Cuando algún coeficiente de la ecuación es nulo, diremos que la ecuación es incompleta. Se pueden
presentar los casos siguientes:
1) Si a = 0 se obtiene la ecuación de primer grado bx + c = 0, cuya solución es
c
x=− .
b
2) Si b = 0 obtenemos una ecuación de segundo grado pura: ax2 + c = 0. Ésta se puede resolver del
modo siguiente:
r
c
c
2
2
2
ax + c = 0 ⇐⇒ ax = −c ⇐⇒ x = − ⇐⇒ x = ± − .
a
a
c
> 0, esta ecuación no tendrá solución real, pues un número al cuadrado, x2 , no
a
c
puede ser igual a un número negativo, − .
a
Nótese que, si
3) Si c = 0 la ecuación queda en la forma ax2 + bx = 0, de modo que se obtienen dos soluciones:
2
ax + bx = 0 ⇐⇒ x(ax + b) = 0 ⇐⇒
(
x = 0,
ax + b = 0
⇐⇒
b
x=− .
a
4) Si b = 0 y c = 0 la ecuación se reduce a ax2 = 0, que tiene como solución doble x = 0.
2.1. Resolución de la ecuación general. Soluciones
Dada la ecuación completa de segundo grado ax2 + bx + c = 0, sus soluciones vienen dadas por
√
√
−b + b2 − 4ac
−b − b2 − 4ac
x1 =
, x2 =
.
2a
2a
7
Tema 3
Ejemplo 2.1 Halla las soluciones de la ecuación 3x2 − 2x − 1 = 0.
(
√
x1 =1,
2 ± 4 + 12
2±4
x=
=
=⇒
1
6
6
x2 =− .
3
A la expresión b2 − 4ac la denominaremos discriminante y se denotará por el sı́mbolo ∆.
Nótese que, según los valores del discriminante, se pueden distinguir los casos siguientes:
Si ∆ > 0 se obtienen dos soluciones reales distintas.
Si ∆ = 0 se obtiene una raı́z doble.
Si ∆ < 0 la ecuación no tiene soluciones reales, ya que los números negativos no tienen raı́z
cuadrada real.
2.2. Suma y producto de las raı́ces. Forma canónica de una ecuación de segundo grado
Dada una ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, se pueden conocer la suma y el producto de
sus raı́ces y expresarlas en función de los coeficientes a, b y c sin necesidad de conocer las soluciones.
En efecto, si denotamos por s y p, respectivamente, a la suma y el producto de las raı́ces de la ecuación,
x1 y x2 , se tiene que
b
c
s = x1 + x2 = − , p = x1 x2 = .
a
a
Ejemplo 2.2 Para la ecuación 3x2 + 2x − 4 = 0, tenemos
2
s = x1 + x2 = − ,
3
4
p = x1 x2 = − .
3
Dada la ecuación de segundo grado ax2 +bx+c = 0 y continuando con la notación anterior, si dividimos
todos los términos por a, resulta
b
c
b
c
2
2
x + x + = 0 ⇐⇒ x − −
x + = 0,
a
a
a
a
es decir, se obtiene la ecuación
x2 − sx + p = 0,
llamada forma canónica de la ecuación de segundo grado, y que nos da la ecuación en función de la
suma y el producto de sus raı́ces.
3
x
−
= 2.
x+1 x−1
El denominador común es (x + 1)(x − 1) = x2 − 1, de modo que resulta
Ejemplo 2.3 Hallar la forma canónica de la ecuación
3(x − 1) − x(x + 1) = 2(x2 − 1) ⇐⇒ 3x − 3 − x2 − x = 2x2 − 2 ⇐⇒ −3x2 + 2x − 1 = 0.
Dividiendo entre −3, se obtiene la forma canónica:
2
1
x2 − x + = 0.
3
3
La forma canónica nos permite resolver dos problemas importantes:
Conociendo la suma y el producto de dos números, hallar dichos números.
8
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
a) Planteamos la ecuación x2 − sx + p = 0.
b) Resolvemos la ecuación y obtenemos las dos soluciones pedidas, x1 y x2 .
3
2
y cuyo producto sea − .
5
5
3
2
Dichos números serán las soluciones de la ecuación x2 + x − = 0. Ası́,
5
5
Ejemplo 2.4 Halla dos números cuya suma sea −
3
2
x2 + x − = 0 ⇐⇒ 5x2 + 3x − 2 = 0 ⇐⇒
5
5
(
√
2
−3 ± 9 + 40
−3 ± 7
x1 = ,
⇐⇒ x =
=
=⇒
5
10
10
x2 =−1.
Conocidas las raı́ces o soluciones, x1 y x2 , construir la ecuación de segundo grado. Para ello
basta hacer
s = x1 + x2 , p = x1 x2 =⇒ x2 − sx + p = 0.
Ejemplo 2.5 Formar una ecuación de segundo grado cuyas raı́ces sean −
3
y 3.
2
3
3
3
9
3
9
s = − + 3 = , p = − 3 = − =⇒ x2 − x − = 0.
2
2
2
2
2
2
2.3. Descomposición en factores de un trinomio de segundo grado
Considérese el polinomio P (x) = ax2 +bx+c. Este trinomio de segundo grado se puede descomponer
en factores, resolviendo la ecuación asociada al trinomio: ax2 + bx + c = 0.
Sabemos que, si x1 y x2 son las dos raı́ces de esta ecuación, podemos escribir
b
s = x1 + x2 = − ,
a
p = x1 x2 =
c
.
a
Aplicando estas fórmulas a la descomposición de P (x), tendremos que
b
c
b
c
2
=a x − −
x+
=
P (x) = ax + bx + c = a x + x +
a
a
a
a
2
= a x − (x1 + x2 )x + x1 x2 = a(x2 − x1 x − x2 x + x1 x2 ) =
2
2
= a [x(x − x1 ) − x2 (x − x1 )] = a(x − x1 )(x − x2 ),
esto es,
P (x) = a(x − x1 )(x − x2 ).
Ejemplo 2.6 Para descomponer el trinomio P (x) = 3x2 + 5x − 2, consideramos su ecuación asociada,
1
3x2 + 5x − 2 = 0, cuyas raı́ces son x1 = y x2 = −2. Como las dos raı́ces son reales, podemos escribir
3
1
2
P (x) = 3x + 5x − 2 = 3 x −
(x + 2).
3
9
Tema 3
2.4. Ecuaciones trinomias
Una ecuación trinomia es aquella que puede reducirse a la forma
ax2m + bxm + c = 0.
(1)
Las ecuaciones trinomias en las que m = 2 se llaman ecuaciones bicuadradas.
Para la resolución de (1) hacemos y = xm , y obtenemos la ecuación de segundo grado
ay 2 + by + c = 0.
Una vez conocidas las soluciones de esta ecuación, y1 e y2 , debemos resolver
xm = y1 ,
xm = y2 .
Ejemplo 2.7
1) Para resolver la ecuación x4 −5x2 −36 = 0, hacemos y = x2 obteniendo la ecuación y 2 −5y −36 = 0,
cuyas soluciones son y1 = 9 e y2 = −4. Ahora bien,
y1 = 9 = x2 =⇒ x = ±3 =⇒ x1 = −3, x2 = 3,
y2 = −4 = x2 =⇒ No se obtiene ninguna solución real.
2) En la resolución de la ecuación 8x6 − 63x3 − 8 = 0, realizamos el cambio de variable y = x3 ; la
1
ecuación resultante es 8y 2 − 63y − 8 = 0, cuyas soluciones son y1 = − e y2 = 8. Entonces
8
r
1
1
1
3
y1 = − = x3 =⇒ x1 = − = − ,
8
8
2
√
3
3
y2 = 8 = x =⇒ x2 = 8 = 2.
2.5. Resolución de ecuaciones irracionales
Se llaman ecuaciones irracionales aquellas en las que alguna de las incógnitas figura bajo el
signo radical.
Estudiaremos aquı́ sólo las ecuaciones irracionales con radicales cuyo ı́ndice es 2. Ası́, son ecuaciones
irracionales las siguientes:
√
x − 3 = x,
p
x2 − 1 = 1,
x= √
1
x2 − 5
.
La resolución de ecuaciones irracionales se basa en el siguiente principio:
Si se elevan al cuadrado los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación que,
además de tener las soluciones de la primera, contiene las de una segunda, obtenida al
cambiar de signo a uno de los miembros de la ecuación dada.
Efectivamente; consideremos la ecuación
A(x) = B(x).
(2)
Elevando al cuadrado los dos miembros resulta la ecuación
A(x)2 = B(x)2 ⇐⇒ A(x)2 − B(x)2 = 0,
(3)
10
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
que es, en realidad, una diferencia de cuadrados:
[A(x) − B(x)] [A(x) + B(x)] = 0,
cuyas soluciones vendrán dadas por
A(x) − B(x) = 0
A(x) + B(x) = 0
⇐⇒
⇐⇒
(4)
A(x) = B(x),
A(x) = −B(x).
De este modo, la ecuación (4) y, por tanto, la ecuación (3), contiene, además de las soluciones de
A(x) = B(x), las de A(x) = −B(x), como se querı́a demostrar.
Una consecuencia fundamental que se puede extraer de lo anterior es que siempre que la resolución
de una ecuación exija elevar sus dos miembros al cuadrado, es preciso comprobar si las soluciones
halladas satisfacen la ecuación propuesta.
Ejemplo 2.8
1) Resolver la ecuación 18 −
√
x + 10 = 2.
Si elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuación, el radical no desaparece; para eliminar
el radical, habrá que aislarlo en uno de los dos miembros:
√
18 − 2 = x + 10.
Elevando al cuadrado los dos miembros resulta
256 = x + 10 =⇒ x = 246.
Comprobamos que la solución obtenida es válida:
√
18 − 246 + 10 = 18 − 16 = 2.
2) Para resolver la ecuación
√
4x + 1 −
√
3x − 2 = 1, aislamos un radical y elevamos al cuadrado:
√
√
2
2
4x + 1 = 1 + 3x − 2 ⇐⇒
√
√
⇐⇒ 4x + 1 = 1 + 2 3x − 2 + 3x − 2 ⇐⇒ 4x + 1 = 2 3x − 2 + 3x − 1.
Aislamos el radical resultante y reducimos los términos semejantes:
√
√
2 3x − 2 = 4x + 1 − 3x + 1 ⇐⇒ 2 3x − 2 = x + 2.
Elevamos entonces al cuadrado:
4(3x − 2) = x2 + 4x + 4 ⇐⇒ 12x − 8 = x2 + 4x + 4 ⇐⇒ x2 − 8x + 12 = 0.
Las soluciones de la ecuación de segundo grado obtenida son x1 = 2 y x2 = 6. Comprobamos, por
último, si éstas son soluciones de la ecuación irracional inicial:
√
√
8 + 1 − 6 − 2 =3 − 2 = 1,
√
√
24 + 1 − 18 − 2 =5 − 4 = 1.
Ambas soluciones son válidas.
Tema 3
11
3. Sistemas de ecuaciones de primer grado
3.1. Sistemas de primer grado con dos incógnitas
Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es de primer grado o lineal cuando las dos
ecuaciones que lo forman son de primer grado o lineales, y tendrá la forma que sigue:
a1 x + b1 y =c1 ,
a2 x + b2 y =c2 ,
donde a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 son números reales. Llamamos solución del sistema a todo par (x0 , y0 ) que
satisfaga las dos ecuaciones del sistema.
Para su resolución presentamos aquı́ los tres métodos más conocidos: el de sustitución, el de
igualación y el de reducción.
3.1.1. Método de sustitución
Dado el sistema
a1 x + b1 y =c1 ,
a2 x + b2 y =c2 ,
se despeja una de las incógnitas de una de las ecuaciones, a ser posible, la que tenga como coeficiente
1 o −1; en este caso, despejemos y de la primera ecuación:
y=
c1 − a1 x
.
b1
A continuación se sustituye este valor de y en la segunda ecuación:
a2 x + b2
c1 − a1 x
= c2 .
b1
Obsérvese que la ecuación ası́ obtenida sólo posee una incógnita y se puede resolver fácilmente sin más
que despejar x:
b1 c2 − b2 c1
x=
.
a2 b1 − a1 b2
Una vez conocido el valor de x, lo sustituimos en la expresión de y.
Ejemplo 3.1 Considérese el sistema
5x − 2y = 4,
3x + y = 9.
En la segunda ecuación despejamos y,
y = 9 − 3x,
y lo sustituimos en la primera ecuación, obteniendo ası́ una ecuación de primer grado cuya única
incógnita es x:
5x − 2(9 − 3x) = 4 ⇐⇒ 5x − 18 + 6x = 4 ⇐⇒ 11x = 22 ⇐⇒ x = 2.
Sustituyendo ahora el valor de x en la expresión de y se tiene que
y = 9 − 3 · 2 = 3.
Ası́, la solución del sistema es (2, 3).
12
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
3.1.2. Método de igualación
Dado un sistema en su forma normal
a1 x + b1 y =c1 ,
a2 x + b2 y =c2 ,
podemos despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones; por ejemplo, x:
x=
c1 − b1 y
,
a1
x=
c2 − b2 y
.
a2
Entonces debe ser
c2 − b2 y
c1 − b1 y
=
,
a1
a2
esto es, se ha obtenido una ecuación de primer grado en y. Una vez resuelta ésta, sustituimos el valor
de y en cualquiera de las expresiones obtenidas para x.

3x + 4y


= x − 2,
2
Ejemplo 3.2 Sea el sistema
x
1 3 Antes de resolverlo, transformémoslo en su for

=
− .
y
y 2
ma normal:

3x + 4y


= x−2
3x + 4y = 2x − 4
x + 4y = −4
2
⇐⇒
⇐⇒
x
1
3
2x = 2 − 3y
2x + 3y =
2


=
−
y
y 2
Despejando x en las dos ecuaciones obtenemos:
2 − 3y
2 − 3y
⇐⇒ −4 − 4y =
⇐⇒
2
2
⇐⇒ −8 − 8y = 2 − 3y ⇐⇒ −5y = 10 ⇐⇒ y = −2.
x = −4 − 4y,
x=
Sustituyendo en la primera expresión de x se obtiene finalmente
x = −4 − 4(−2) = 4.
3.1.3. Método de reducción
Dado el sistema
3x − 2y = 6,
5x + 2y = 10,
podemos sumar las dos ecuaciones que lo forman, obteniendo ası́ una ecuación en x:
3x − 2y = 6
+ 5x + 2y = 10
8x
= 16
de donde x = 2. Sustituyendo ahora este valor en cualquiera de las ecuaciones, se obtiene el valor de
y; hagámoslo, por ejemplo, en la primera:
3 · 2 − 2y = 6 ⇐⇒ −2y = 0 ⇐⇒ y = 0.
La solución del sistema es pues (2, 0).
13
Tema 3
2x − 3y = 5,
3x + 4y = 7.
Lo que se pretende es eliminar una de las dos incógnitas. Como los coeficientes de y tienen signo
opuesto, basta con multiplicar por 4 la primera ecuación y por 3 la segunda, sumando después las
ecuaciones resultantes:
×4
2x − 3y = 5 −−→ 8x − 12y = 20
Ejemplo 3.3 Resolver, por el método de reducción, el sistema
×3
3x + 4y = 7 −−→ 9x + 12y = 21
17x
= 41
41
de donde x = . Para eliminar x, podemos multiplicar la primera ecuación por −3 y la segunda por
17
2, sumando a continuación:
×−3
2x − 3y = 5 −−−→ −6x + 9y = −15
×2
3x + 4y = 7
con lo que y = −
−−→
6x + 8y =
17y =
14
−1
1
.
17
3.2. Sistemas de primer grado con tres incógnitas
Un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas es de la forma

 a1 x + b1 y + c1 y =d1 ,
a x + b2 y + c2 y =d2 ,
 2
a3 x + b3 y + c3 y =d3 .
En una de las tres ecuaciones podremos despejar una incógnita y sustituirla en las otras dos, obteniendo
ası́ un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que podemos resolver utilizando cualquiera de
los métodos estudiados anteriormente.
Las soluciones obtenidas se sustituyen en la expresión de la primera incógnita despejada, hallando
de este modo su valor.
Ejemplo 3.4 Resolver el sistema

 3x − 4y − 2z = 2,
x + 5y + 3z = 5,

2x + y − z = 11.
En la segunda ecuación despejamos x:
x = 5 − 5y − 3z,
y sustituimos el valor de esta incógnita en las otras dos ecuaciones:
3(5 − 5y − 3z) − 4y − 2z = 2
−19y − 11z = −13
⇐⇒
2(5 − 5y − 3z) + y − z = 11
−9y − 7z =
1
Resolvemos ahora este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
−9
−19y − 11z = −13 −−→
−9y −
7z =
1
19
−→
171y +
99z = 117
−171y −
133z = 19
−34z = 136
14
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
con lo que z = −4. Por otro lado,
−7
−19y − 11z = −13 −−→
−9y −
7z =
1
11
−→
133y + 77z =
91
−99y − 77z = 11
34y
= 102
de donde y = 3. Sustituyendo los valores de y y z en la expresión de x se obtiene finalmente
x = 5 − 5 · 3 − 3(−4) = 2,
de manera que la solución del sistema es la terna (2, 3, −4).
4. Sistemas de ecuaciones de grado superior
4.1. Sistemas de segundo grado con dos incógnitas
Como el grado de un sistema es el producto de los grados de las ecuaciones que lo componen, para
que un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas sea de segundo grado, deberá estar formado por
una ecuación de primer grado y otra segundo. Luego su forma normal es
ax + by = c,
mx2 + ny 2 + pxy + qx + ry + s = 0,
donde a, b, c, m, n, p, q, r, s son números reales.
Para resolver un sistema de segundo grado, puede emplearse el método de sustitución, despejando
una incógnita en la ecuación de primer grado y sustituyendo en la de segundo grado. Resulta ası́ una
ecuación de segundo grado con una incógnita cuyas raı́ces, sustituidas en la expresión de la incógnita
despejada, nos proporciona los valores correspondientes a ésta.
Ejemplo 4.1
3x + y = 5,
x2 − y 2 = 3.
Despejando y en la primera ecuación y sustituyendo su expresión en la segunda se obtiene:
1) Resolver el sistema
y = 5 − 3x =⇒ x2 − (5 − 3x)2 = 3 =⇒ 4x2 − 15x + 14 = 0.
Resolvemos ahora esta ecuación de segundo grado:

√
 x1 =2,
15 ± 225 − 224
15 ± 1
x=
=
=⇒
7
 x2 = .
8
8
4
7
7
1
Si x1 = 2 entonces y1 = 5 − 3 · 2 = −1. Si x2 = entonces y2 = 5 − 3 = − . De este modo las
4
4
4
7
1
soluciones del sistema son x1 = 2, y1 = −1, x2 = e y2 = − .
4
4
x + y = 8,
2) Resolver el sistema
xy = 12.
Despejando x de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda se tiene que
x = 8 − y =⇒ (8 − y)y = 12 =⇒ y 2 − 8y + 12 = 0 =⇒
√
8 ± 64 − 48
8±4
y1 =6,
=
=⇒
=⇒ y =
y2 =2.
2
2
Si y1 = 6 se tiene que x1 = 8 − 6 = 2, y si y2 = 2 entonces x2 = 8 − 2 = 6, de modo que las soluciones
del sistema son (2, 6) y (6, 2).
15
Tema 3
4.2. Sistemas de dos ecuaciones de segundo grado
Aplicando el método de sustitución a un sistema de dos ecuaciones de segundo grado –cuando
sea posible hacerlo sin demasiadas complicaciones–, se llega a ecuaciones de cuarto grado que sólo
podemos resolver en casos especiales –por ejemplo, si son bicuadradas–.
2x2 + y 2 = 17,
Ejemplo 4.2 Para resolver el sistema
despejamos x en la segunda ecuación y susxy = 6,
tituimos en la primera:

6


 x= ,
y
2
6


+ y 2 = 17.
 2
y
Resolviendo la segunda ecuación:
De este modo,
72
+ y 2 = 17 =⇒ y 4 − 17y 2 + 72 = 0 =⇒
y2

y1

2 = 8
√

y

289
−
288
17
±
17
±
1
y
2
=⇒ y 2 =
=
=⇒
 2
y3
2
2

 y = 9
y4
√
=
2 √2
= −2 2
= −3
=
3
√
√
√
√
6
3 2
6
3 2
√ =−
y1 = 2 2 =⇒ x1 = √ =
, y2 = −2 2 =⇒ x2 =
,
2
2
2 2
−2 2
6
6
y3 = −3 =⇒ x3 =
= −2, y4 = 3 =⇒ x4 = = 2.
−3
3
!
!
√
√
√
3 2 √
3 2
,2 2 , −
, −2 2 , (−2, −3), (2, 3).
De este modo, se han obtenido cuatro soluciones:
2
2
En otros sistemas resulta sencillo eliminar una de las incógnitas empleando el método de reducción.
2
x + 3y 2 = 49/4
Ejemplo 4.3 Resolver el sistema
8x2 − y 2 = −2
Usando el método de reducción resulta:
x2 + 3y 2 = 49/4
8x2
−
y2
= −2
×8
−−→
×−1
−−−→
8x2 + 24y 2 =
−8x2
+
98
y2
=
2
25y 2 = 100
de donde se obtienen y1 = −2 e y2 = 2. Ahora bien, sustituyendo estos valores en la primera ecuación
del sistema se obtiene:
49
1
1
=⇒ x2 = =⇒ x = ± ,
4
4
2
49
1
1
y2 = 2 =⇒ x2 + 12 =
=⇒ x2 = =⇒ x = ± ,
4
4
2
1
1
1
1
con lo que las soluciones del sistema son los pares
, −2 , − , −2 ,
,2 , − ,2 .
2
2
2
2
y1 = −2 =⇒ x2 + 12 =
16
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
4.3. Problemas con dos o más incógnitas
En ocasiones, en la resolución de un problema, es bastante complicado encontrar una cantidad
clave a partir de la cual podamos expresar matemáticamente las relaciones de un problema. En ese
caso se pueden considerar dos o más incógnitas, indicadas usualmente por x, y, z, . . . y, expresando
las relaciones existentes entre estas incógnitas y los datos conocidos, formar tantas ecuaciones como
incógnitas hayamos introducido.
El procedimiento seguido para este tipo de problemas es, sustancialmente, el que se ha establecido
para los problemas con una incógnita. La única diferencia reside en que, como hemos apuntado antes,
se han de formar tantas ecuaciones como incógnitas se hayan fijado. Consideremos varios ejemplos.
Problema 1.– Las dos cifras de un número suman 12. Hallar dicho número, sabiendo que si se invierte
el orden de sus cifras, el número disminuye en 36.
Recordemos que un número de tres cifras, por ejemplo, 528, se puede expresar de la siguiente
forma:
528 = 5 · 100 + 2 · 10 + 8.
Ası́, si x e y indican, respectivamente, las decenas y las unidades de un número de dos cifras,
dicho número será
10x + y;
mientras que el número que se obtiene al invertir las cifras del anterior será
10y + x.
Teniendo en cuenta los datos del problema, podemos establecer el sistema
x + y = 12,
10x + y − 36 = 10y + x,
que tiene como solución x = 8 e y = 4, con lo que el número buscado es el 84.
Problema 2.– Si se aumenta la longitud de un campo rectangular en 5 m y la anchura en 7 m, la
superficie aumenta en 830 m2 ; mientras que si se disminuye la longitud en 8 m y la anchura en
4 m, la superficie disminuye en 700 m2 . Calcular las dimensiones del campo.
y+7
y
y−4
x−8
x
x+5
17
Tema 3
Si x e y representan, en metros, la longitud y la anchura, respectivamente, el área del campo
será xy m2 . El área aumentada será xy + 830, mientras que las dimensiones aumentadas del
campo son x + 5 e y + 7, con lo que debe ser (x + 5)(y + 7) = xy + 830. El área disminuida
será xy − 700, y las nuevas dimensiones son x − 8 e y − 4, de modo que (x − 8)(y − 4) = xy − 700.
De este modo, podemos escribir el sistema
(x + 5)(y + 7) =xy + 830,
(x − 8)(y − 4) =xy − 700,
7x + 5y =795,
que, después de simplificar, resulta
cuya solución es x = 75 e y = 54. Entonces
4x + 8y =732,
la longitud del campo es de 75 m y su anchura de 54 m.
Problema 3.– Dos trenes salen al mismo tiempo desde dos puntos distantes 576 km. Cuando van al
encuentro, lo hacen en 4 horas. Cuando ambos van en la misma dirección, el más veloz alcanza
al más lento después de 16 horas. Hallar las velocidades de los dos trenes.
A
v2
|
576 km
v2
|
B
v1
|
|
Sea v1 la velocidad del tren más rápido y v2 la del más lento.
El espacio recorrido por cada tren después de 4 horas es 4v1 y 4v2 , respectivamente, de donde
la ecuación que se obtiene es 4v1 + 4v2 = 576.
Por otro lado, después de 16 horas, los espacios recorridos son 16v1 y 16v2 , de manera que la
ecuación es 16v1 = 16v2 + 576.
Tenemos ası́ las dos ecuaciones que resuelven el problema:
4v1 + 4v2 = 576,
6v1 = 16v2 + 576,
cuyas soluciones son v1 = 90 km/h y v2 = 54 km/h.
5. Inecuaciones
5.1. Inecuaciones y desigualdades
Escribir una desigualdad es expresar matemáticamente que una expresión A es mayor o menor
que otra B:
A > B o A < B.
A la expresión A la llamaremos primer miembro de la desigualdad, y a la expresión B, segundo
miembro.
Cuando se desea expresar el conjunto de todos los números mayores que 8, se hace por medio de
la siguiente inecuación:
x > 8,
y en la recta real lo representamos por medio del intervalo infinito (8, +∞):
18
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
c
b
R
8
Para indicar el conjunto de todos los números reales comprendidos entre 9 y 10, escribimos la inecuación
doble 9 < x < 10, que geométricamente expresa el intervalo (9, 10):
bc
bc
R
9
10
La inecuación x ≤ a indica el conjunto de todos los números reales menores o iguales que a:
b
R
a
Llamamos inecuación a una desigualdad en la que aparece alguna variable en alguno de sus miembros.
Resolver una inecuación es determinar el conjunto de valores que satisfacen la desigualdad.
Mientras que una ecuación se satisface sólo para determinados valores de sus incógnitas, las inecuaciones tienen infinitas soluciones, que son todos los números pertenecientes a determinados intervalos.
Dos inecuaciones se dicen equivalentes si se satisfacen para los mismos valores.
Los principios que rigen a las desigualdades son los siguientes:
1) Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta la misma expresión, se obtiene una
nueva desigualdad del mismo sentido:
a > b =⇒ a ± c > b ± c.
Ejemplo 5.1
8 > 5 =⇒
8 + 3 > 5 + 3,
8 − 7 > 5 − 7.
2) Si se suman miembro a miembro dos desigualdades del mismo sentido, se obtiene una nueva desigualdad del mismo sentido que las primeras:
a > b
+
c > d
a+c > b+d
Ejemplo 5.2
3 < 5
+ −7 < −2
−4 < 3
3) Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un número positivo, obtenemos
una nueva desigualdad del mismo sentido. Si el número es negativo, la desigualdad cambia de
sentido:
a > b =⇒ ac > bc, ∀ c > 0; a > b =⇒ ac < bc, ∀ c < 0.
Ejemplo 5.3
3 > 1 =⇒ 3 · 2 = 6 > 2 = 1 · 2,
3 > 1 =⇒ 3(−2) = −6 < −2 = 1(−2).
19
Tema 3
Consecuencias:
a) Si cambiamos de signo todos los términos de una desigualdad, ésta cambia de sentido, pues
estamos multiplicando ambos miembros por −1.
b) Podemos eliminar los denominadores de una desigualdad, multiplicando todos los términos por
un múltiplo del denominador común, teniendo siempre en cuenta el signo de ese múltiplo.
4) Si a y b tienen el mismo signo,
a < b =⇒
1
1
> .
a
b
Ejemplo 5.4
1
1
> ,
3
4
3 < 4 =⇒
1
1
−5 > −8 =⇒ − < − .
5
8
5) Si se elevan los dos miembros de una desigualdad a una potencia de exponente natural impar,
resulta una desigualdad del mismo sentido.
Ejemplo 5.5
−3 < −2 =⇒ (−3)3 < (−2)3 .
6) Si se elevan los dos miembros de una desigualdad a una potencia de exponente natural par,
a) el sentido de la desigualdad no cambia si los dos miembros son positivos;
Ejemplo 5.6
3 < 5 =⇒ 32 = 9 < 25 = 52 ;
b) se invierte el sentido de la desigualdad si los dos miembros son negativos;
Ejemplo 5.7
−7 < −2 =⇒ (−7)2 = 49 > 4 = (−2)2 ;
c) no se puede predecir el sentido de la desigualdad si los miembros tienen distinto signo.
Ejemplo 5.8
−5 < 2 =⇒ (−5)2 = 25 > 4 = 22 ,
−2 < 3 =⇒ (−2)2 = 4 < 9 = 32 .
Los principios expuestos para las desigualdades son perfectamente válidos para las inecuaciones. En
efecto, si una vez resuelta la inecuación, sustituimos en la variable uno de los valores hallados, obtenemos una desigualdad en la que se cumplen todos estos principios; y esto para todo valor que satisfaga
la inecuación.
5.2. Inecuaciones de primer grado
Una inecuación es de primer grado si después de realizar las operaciones necesarias para suprimir
paréntesis y denominadores, y reducir términos semejantes, queda en la forma
ax > b.
Si a > 0 entonces x >
b
b
, y si a < 0 entonces x < .
a
a
20
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Ejemplo 5.9 Para la resolución de la inecuación 3(x + 2) > 5 + 5x procedemos como sigue:
1
3x + 6 > 5 + 5x ⇐⇒ 3x − 5x > 5 − 6 ⇐⇒ −2x > −1 ⇐⇒ 2x < 1 ⇐⇒ x < .
2
La representación geométrica de esta solución viene dada por
bc
R
1
2
5.3. Sistemas de inecuaciones en una variable
Un sistema de inecuaciones en una variable está formado por un conjunto de inecuaciones en
la misma variable.
La solución de tal sistema estará formada por el conjunto de números reales que verifiquen, a
la vez, todas las inecuaciones. Para hallar esta solución, se resuelven, por separado, cada una de las
inecuaciones y, a continuación, se toman los valores comunes a todas estas soluciones.
Ejemplo 5.10

2x − 2 5 − 2x


+
< 1,
5
1
1) Resolver el sistema

 x + 2 + 2x − 3 > 3 .
3
4
4
Resolviendo las dos inecuaciones por separado se tiene que
6x − 6 + 25 − 10x < 15
−4x < −4
x>1
=⇒
=⇒
4x + 8 − 6x + 9 > 9
−2x > −8
x<4
1
4
c
b
x>1
bc
x<4
1<x<4
Es fácil observar que la solución viene dada por la doble desigualdad 1 < x < 4.

13x − 2
3x − 2 x + 1

−1<
+
,

12
10
5
2) Resolver el sistema
2
2
(2x + 1) − 8 ≤ (2x − 1) ,


(x + 1)(x − 1) > (x − 2)2 − 3.
Resolviendo separadamente las inecuaciones se tiene que




 65x − 10 − 60 < 18x − 12 + 12x + 12
 35x < 70
 x<2
x≤1
4x2 + 4x + 1 − 8 ≤ 4x2 − 4x + 1
=⇒
8x ≤ 8
=⇒
1
 2


2

x − 1 > x − 4x + 4 − 3
4x > 2
x>
2
21
Tema 3
1
2
1
2
bc
x<2
b
x≤1
c
b
x > 1/2
1
<x≤1
2
La solución a este sistema es
1
< x ≤ 1.
2
5.4. Inecuaciones de segundo grado
Una inecuación es de segundo grado si, aplicando los principios de las desigualdades, queda
reducida a la forma
ax2 + bx + c ≶ 0.
Para la resolución de esta inecuación, es necesario estudiar el signo del trinomio de segundo grado
P (x) = ax2 + bx + c. Según sea el valor del discriminante –recuérdese que éste era ∆ = b2 − 4ac–, se
pueden presentar tres casos:
Si ∆ > 0, la ecuación asociada al trinomio tiene dos raı́ces reales y distintas, x1 y x2 , que
supondremos x1 < x2 . En este caso se tiene que
P (x) = ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ).
Para conocer el signo del trinomio, nos bastará conocer el signo de los tres factores: a, x − x1 y
x − x2 .
Las raı́ces x1 y x2 dividen la recta real en tres intervalos, como aparecen en la siguiente figura:
I1
I2
I3
|
|
x1
x2
R
Si x ∈ I1 entonces x < x1 y x < x2 , es decir, x−x1 < 0 y x−x2 < 0, con lo que (x−x1 )(x−x2 ) > 0.
De este modo, el trinomio P (x) = a(x − x1 )(x − x2 ) tendrá el mismo signo que su primer
coeficiente.
Si x ∈ I2 , entonces x1 < x < x2 de donde x−x1 > 0 y x−x2 < 0, con lo que (x−x1 )(x−x2 ) < 0.
Ası́, el trinomio P (x) tendrá signo contrario al de a.
Cuando x ∈ I3 se tiene que x > x1 y x > x2 , esto es, x − x1 > 0 y x − x2 > 0, de manera que
P (x) tendrá el mismo signo que el primer coeficiente.
Si ∆ = 0 entonces la ecuación asociada al trinomio posee una raı́z doble y se tiene que
P (x) = a(x − x1 )2 .
Como las dos soluciones coinciden, el intervalo I2 se reduce al punto x1 , quedando únicamente
los intervalos I1 e I3 . Como (x − x1 )2 siempre es positivo, el signo del trinomio será siempre igual
al signo de su primer coeficiente, y se anula para el valor x = x1 .
22
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
Si ∆ < 0, las raı́ces de la ecuación no son reales, y puede probarse que (x − x1 )(x − x2 ) > 0,
∀ x ∈ R. En este caso el signo del trinomio será siempre igual al de su primer coeficiente y nunca
se anulará.
Ejemplo 5.11
1) Resolver la inecuación 6x2 + 5x + 1 > 0.
1
1
y x2 = − . Como tiene raı́ces distintas, el trinomio toma el
2
3
1
1
signo positivo –el de su primer coeficiente– en x < − y x > − , cuya representación geométrica
2
3
viene dada por
Los ceros del trinomio son x1 = −
x<−
1
2
c
b
bc
1
−
2
−
x>−
1
3
1
3
R
3(x2 − 1)
5
> 3x2 + .
4
2
Multiplicando los dos miembros por 4 obtenemos:
2) Resolver la inecuación
3(x2 − 1) > 12x2 + 10 ⇐⇒ −9x2 − 13 > 0 ⇐⇒ 9x2 + 13 < 0.
La ecuación asociada a esta inecuación es 9x2 + 13 = 0, la cual no posee raı́ces reales ya que
9x2 + 13 > 0, ∀ x ∈ R, de modo que la inecuación no posee solución alguna.
3) Hallar los valores de x que satisfacen la inecuación
(3 + 2x)(x − 1)
(x − 1)2 − 1
1+x
≤
+1−
3
4
2
Quitando denominadores y reduciendo términos semejantes se obtiene la inecuación
5x2 + 16x − 18 ≤ 0.
4
. El trinomio es negativo, esto es, posee
5
4
signo contrario al de su primer coeficiente, en −4 ≤ x ≤ , cuya representación gráfica es la que
5
sigue:
Las raı́ces de la ecuación asociada son x1 = −4 y x2 =
b
−4
b
4
5
R
23
Tema 3
5.5. Inecuaciones polinómicas de grado superior al segundo
Una inecuación polinómica de grado superior al segundo se presenta, en su forma normal, bajo la
expresión
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + · · · + a1 x + a0 ≶ 0.
Si P (x) se puede descomponer en factores de primer o segundo grado, la resolución de la inecuación
se basará en la regla de los signos del producto, y resultará relativamente fácil, como puede apreciarse
en los siguientes ejemplos:
Ejemplo 5.12
1) Resolver la inecuación x3 − x2 − 6x < 0.
Sacando x factor común se tiene que x(x2 − x − 6) < 0, y descomponiendo el trinomio de segundo
grado que va entre paréntesis, se obtiene
x(x − 3)(x + 2) < 0.
Obsérvese la figura siguiente:
I
−2
II
|
x
x−3
x+2
0|
III
3|
+
IV
+
−
−
−
−
−
+
+
+
+
−
+
−
−
bc
+
bc
bc
Aplicando la regla de los signos, se puede apreciar fácilmente que la inecuación propuesta se satisface
en los intervalos x < −2 y 0 < x < 3, ya que en los cuatro intervalos los signos que intervienen son
I
II
III
IV
−·−·−=− −·−·+=+ +·−·+=− +·+·+=+
2) Resolver la inecuación 4x2 − x3 − 10x + 12 ≥ 0.
Descomponiendo el polinomio en factores resulta
(x − 2)(−x2 + 2x − 6) ≥ 0
El primer factor es positivo para x > 2, mientras que el segundo está formado por trinomio cuyo
discriminante es negativo, por lo que siempre tendrá el signo negativo de su primer coeficiente.
Representando los resultados como en el ejemplo anterior, tendremos la figura siguiente:
24
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
I
−x2
+
−
x−2
+ 2x − 6
II
2|
b
−
−
+
−
La inecuación se verifica para x ≤ 2 ya que
I
II
−·−=+ +·−=−
5.6. Inecuaciones fraccionarias
Una inecuación es fraccionaria cuando la variable se encuentra en el denominador de una fracción.
En este caso no podemos quitar el denominador, ya que el denominador común, que depende de la
incógnita, puede ser positivo, negativo o nulo, según el valor de la variable. Lo que suele hacerse es
transponer todos los términos al primer miembro, reducir todo a común denominador y estudiar el
signo de la expresión resultante.
Ejemplo 5.13 Hallar los valores de x para los que se verifica la inecuación
3x − 2
2x − 1
−1≥
.
x−1
x+1
Tenemos que
3x − 2
2x − 1
3x − 2
2x − 1
−1 ≥
⇐⇒
−1−
≥ 0 ⇐⇒
x−1
x+1
x−1
x+1
4x − 2
2(2x − 1)
⇐⇒
≥ 0 ⇐⇒
≥ 0.
(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(x + 1)
Para que la fracción sea positiva, no influye el 2 del numerador. Para que el numerador sea positivo,
1
debe ser x > , y para que los factores del denominador sean positivos, tendremos que x > 1 y x > −1.
2
Utilizando la representación acostumbrada, resulta
I
−1
II
|
2x − 1
x−1
x+1
1
2
III
|
1|
+
IV
+
−
−
−
−
−
+
+
+
+
−
+
−
−
b
+
bc
bc
Tema 3
La fracción es positiva en los intervalos −1 < x ≤
25
1
y x > 1, ya que
2
I
II
III
IV
−·−·− = − −·−·+ = + +·−·+ =− +·+·+ = +
5.7. Soluciones reales de una ecuación de segundo grado
Para que las soluciones de una ecuación de segundo grado sean reales, es suficiente con que su
discriminante sea positivo o nulo.
Si entre los coeficientes de la ecuación se encuentra una variable, es necesario ver para qué valores
de esa variable las raı́ces son reales. Las inecuaciones nos resuelven el problema, como se puede ver en
estos ejemplos:
Ejemplo 5.14
1) Hallar los valores de k para que la ecuación x2 − 2x + 3k = 0 tenga soluciones reales.
Para esto es necesario que el discriminante sea positivo o nulo:
1
4 − 12k ≥ 0 ⇐⇒ k ≤ .
3
1
Consecuentemente, para cualquier valor de k menor que
la ecuación tiene dos raı́ces reales
3
1
distintas; para k igual a el discriminante es nulo y la ecuación tiene una raı́z doble.
3
2) Hallar los valores de m para que la ecuación x2 − 2mx + (3m − 2) = 0 tenga raı́ces reales.
∆ = 4m2 − 12m + 8 ≥ 0 ⇐⇒ m2 − 3m + 2 ≥ 0 ⇐⇒
√
3± 9−8
m1 = 2
⇐⇒ m =
⇐⇒
m2 = 1
2
Como el trinomio tiene dos raı́ces reales distintas y su primer coeficiente es positivo, la inecuación
se verificará para m ≤ 1 y m ≥ 2.
6. Ejercicios propuestos
(1) Resuelve las siguientes ecuaciones enteras:
a)
b)
c)
d)
e)
x−3 x−8
5−x x
−
=
− ;
2
12
3
4
3−x
x−2
x
1
+4 x−2
−3 1−
− x+
= 23;
3
3
6
2
1 2x + 5 x + 3
1 5 10x − 5
−
=
+
− (2x − 3) ;
2
3
2
5 4
3


1
x
+
1−x 
2  = (4x − 3)(3x − 4);
x−
3
3
1−
1−
4
4
2 2
1
2x − 3
2
x−
−
−1
−1
2
2
= 3
.
1 1
2
−
6 2
26
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
(2) Resuelve las siguientes ecuaciones fraccionarias:
a)
b)
c)
d)
e)
3x
2x − 1
+
= 2;
3x + 1 2x + 2
(x − 1)2 − (x − 2)2 x + 1
x−1
+
=
;
2
x −1
x−1
x+1
(x − 1)2 − (x + 2)2
= 4;
1 2
x−
− (x + 1)2
2
3
1
7 + 5x
−
+
= 0;
x + 4 1 − x (x + 4)(1 − x)
1
4 x
+
− 1− x
x
3 2
6
+1+
= 0.
3 x
2
−
x−
4 3
3
(3) Resuelve las siguientes ecuaciones de grado superior reducibles a otras de primer grado:
a) (x2 − 6x + 9)(x2 − a2 ) = 0;
b) x4 − 5x2 + 4 = 0;
c) x3 − 2x2 + x = 0.
(4) Descompón el número 133 en dos partes tales que, al dividir la parte mayor por la menor, nos
dé 4 de cociente y 8 de resto.
(5) Un hijo tiene 30 años menos que su padre y éste tiene 4 veces la edad del hijo. ¿Qué edad tiene
cada uno?
(6) En un corral hay conejos y gallinas. En total suman 53 cabezas y 176 patas. ¿Cuántos conejos y
gallinas hay?
(7) Halla un número de dos cifras cuya suma es 10 y tal que el doble de dicho número supera en una
unidad al número obtenido invirtiendo sus cifras.
(8) Busca dos números consecutivos tales que, añadiendo al mayor la mitad del menor, el resultado
excede en 13 a la suma de la quinta parte del menor con la onceava parte del mayor.
(9) Dos coches de lı́nea salen simultáneamente desde dos ciudades que distan entre sı́ 600 km. Si uno
lleva una velocidad de 56 km/h, y el otro de 64 km/h, ¿después de cuánto tiempo y a qué distancia
de las dos ciudades se encontrarán?
(10) En un triángulo rectángulo, un cateto mide 24 cm y la hipotenusa supera en 18 cm al otro cateto.
Busca el perı́metro y el área del triángulo.
(11) El perı́metro de un trapecio isósceles mide 196 m y cada lado oblicuo mide 34 m. Halla las bases
3
y el área del trapecio, sabiendo que una base es de la otra.
5
(12) Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 4x2 − 32x = 0;
b) 12x2 − 18 = 0;
Tema 3
27
c) 21x − 100 = x2 + 21 − x;
d)
e)
f)
g)
h)
i)
2x2 − 1 x − 1
1−x
−
=
;
2
3
6
√
√
√
(x − 6)(x + 6) = 3(x + 1) − (x + 6);
6 − x 3(x − 4)
x−2
−
=
;
3
6+x
2
2x − 1 x − 7
3x − 1
−
=4−
;
x+1
x−1
x+2
3−1 (x + 4) − (7 − x)(x − 3)−1 = 9−1 (4x + 7) − 1;
x + 1 x + 12
x+2
−
−1+
= 0.
x−1
x+1
x−2
(13) Escribe la forma canónica de las siguientes ecuaciones y halla la suma y el producto de sus raı́ces:
a) 3x2 + 2x − 5 = 0;
b) x + 2x2 − 5 = 0;
c) 3 = x2 − 2x;
d) (x − a)2 + 2 = x.
(14) Determina las ecuaciones de segundo grado que tienen por suma y producto de raı́ces los valores
que a continuación se señalan:
a) s = 5,
p = 6;
b) s = −5, p = 6;
5
1
c) s = − , p = − ;
6
6
1
1
d) s = , p = − ;
2
9
√
√
e) s = 3 − 1, p = − 3;
√
√
3+1
3
f) s = √ , p =
.
3
3
(15) Forma las ecuaciones cuyas raı́ces son:
a) x1 = −1,
b) x1 = 3,
x2 = 4;
x2 = 5;
3
x2 = − ;
2
d) x1 = a − b, x2 = a + b;
√
√
e) x1 = 1 − 3, x2 = 1 + 3.
c) x1 = −2,
(16) Descompón en factores los siguientes polinomios:
a) P (x) = x2 − 5x + 6;
b) P (x) = 3x2 − 10x + 3;
c) P (x) = x3 − x2 − 12x;
d) P (x) = (x − 3)2 − 2(x − 4) − 1.
(17) Halla el valor de k para que las dos raı́ces de la ecuación 3x2 − 8x − 3k = 0 sean iguales.
28
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
(18) Determina b en la ecuación x2 + bx + 21 = 0, teniendo en cuenta que la diferencia de sus raı́ces es
4.
(19) Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:
a) x4 − 29x2 + 100 = 0;
5
1
b) x4 − x2 + = 0;
4
4
225
c) 34 − x2 = 2 ;
x
2
9(1 − x)
x (2x − 5)
=
;
d)
x+1
2x + 5
√
√
x− 6
3−x
√ .
e) √
=
2
3+x
2x (x + 6)
(20) Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:
√
a) 7 − 3x − x = 7;
√
√
b) x + 4 = 3 − x − 1;
√
√
c) 2x − 1 + x + 4 = 6;
d) 2(2x − 1)1/2 = (6x − 5)1/2 + (2x − 9)1/2 ;
e) (2x − 1)1/2 + (2x + 1)1/2 = (2x − 1)−1/2 ;
√
√
21
f) √
− 6x + 1 = 2 3x.
6x + 1
(21) Halla dos números consecutivos cuyo producto sea 182.
(22) Halla tres números impares consecutivos tales que sus cuadrados sumen 5051.
(23) Dentro de 11 años, la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenı́a hace 13 años.
Calcula la edad de Pedro.
(24) Las dos cifras de un número suman 11 y el producto de dicho número por el que se obtiene de
invertir sus cifras es 3154. Halla dicho número.
(25) En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 13 cm. Averigua las longitudes de los catetos,
sabiendo que su diferencia es de 7cm.
(26) El perı́metro de un triángulo rectángulo es 90 m y el cateto mayor tiene 3 m menos que la
hipotenusa. Halla los tres lados del triángulo.
(27) Resuelve los siguientes sistemas:
3x − 4y = −9
a)
;
2x + y =
5
x − (y + 1) = 3
b)
;
y + (x + 3) = 4
10(x − 2) + y = 1
;
c)
x + 3(x − y) = 5
Tema 3
29

x−y x−y


+
= 5
2
3
d)
;
x+y


+y = 3
7
(
x − 2(x + y) = 3y − 2
x y
e)
;
+
= 3
3 2

3(x
− y)
2 + y 5x − y


=
−
4
4
6
f)
.
2y
−
7x
x
−
y
x

 1+
=
+
12
2
2
(28) Resuelve los siguientes

 x+y+z =
x − 2y + 3z =
a)

x + 3y + 4z =

 x − 3y = 1
9y − z = 1 .
b)

2x − z = 1
sistemas con tres incógnitas:
4
13 ;
11
(29) Resuelve los siguientes sistemas:
2
x + y 2 = 290
;
a)
x + y = 24
x − 2y 2 = 0
;
b)
y + 5 = 3x
2
x − xy + y 2 = 7
;
c)
x+y =5
2x2 + 3y 2 = 11
d)
;
xy = 2
2x2 − 3y 2 = −6
;
e)
4x2 − y 2 = 8
4xy − 6y = 3
f)
.
3x − 8y = 5
(30) Halla dos números cuya suma sea −2 y cuya diferencia sea 44.
(31) Dos motocicletas salen al mismo tiempo de dos lugares que distan 70 km entre sı́. Halla la velocidad
media de los dos, sabiendo que si van en dirección contraria, se cruzan después de 40 minutos,
mientras que si van en el mismo sentido, el más veloz alcanza al otro después de 4 h 40 m.
(32) Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4, la suma de los
cocientes es 15, mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5, la suma de los
productos es 174.
(33) En un corral hay gallinas y conejos; si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134. ¿Cuántos
animales hay de cada clase?
(34) El producto de dos números es 4, y la suma de sus cuadrados es 17. ¿Cuáles son esos números?
30
Matemáticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas
(35) Cuando se divide un número de dos cifras por el producto de las mismas, se obtiene un cociente
igual a 2; y al dividir el número que resulta invirtiendo el orden de las cifras, por la suma de éstas,
el cociente obtenido es 7. ¿De qué número se trata?
(36) Descompón el número 365 en dos sumandos, de tal modo que sean los cuadrados de dos números
enteros consecutivos.
(37) La suma de un número con su inverso es
37
. Halla el número.
6
(38) El perı́metro de un triángulo isósceles es 16 dm y la altura de 4 dm. Halla dos lados de dicho
triángulo.
(39) Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm, respectivamente, y los no paralelos 13 y
20 cm. Calcula la altura del trapecio.
(40) La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 dm. Si a las dos las aumentamos en 2 dm, el
área aumenta en 16 dm2 . Busca las diagonales, el perı́metro y el área de dicho rombo.
(41) Resuelve las siguientes inecuaciones, representando la solución en la recta real:
a) 3 − x ≤ 6;
b) 2(x + 3) > 3(x + 2);
3x − 1
x−1 x+2
−
>
− x;
c)
4
3
6
d) (4x − 3)(2 + x) > (3 − 2x)2 ;
x−2
x−3
3−
+x
−x
4
2
e)
≤ (x − 2)(x − 3).
3
2−
2
(42) Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones de primer grado:
2x − 3 > x − 2
a)
;
3x − 7 < x − 1


 x−1 − x+3 ≤x
3
2
;
b)
4x − 2 x − 1


−
≥x
4
3
2
(x − 1) − (x + 3)2 ≤ 0
c)
;
x − 3(x − 1) ≥ 3

2

2 + (x + 2)2 > (2x − 3)

(x
−
1)


2
d)
(2x + 1)2 − (x − 3)2 < 3(x + 2)2 .



 x−1 +1>x
3
(43) Determina el signo de los trinomios siguientes:
a) x2 − 2x − 3;
b) x2 − 4;
c) 1 − x2 ;
Tema 3
d) 2x2 − 3x − 1.
(44) Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado:
a) x2 − x − 6 > 0;
b) x2 + 3x − 4 ≤ 0;
c) x2 − 18 ≤ 0;
d) 10(2x − 1)(1 − 3x) + 5(1 − 3x)(4x − 1) < 3(1 − 4x)(5x − 1);
2 3x + 2
x−1 x
x−1 x
e)
+2 +
−
−
≥ 0;
2
3
2
3
2
f)
(x − 1)(x − 2) + (x2 − 1)
≤ 5(1 − x).
3
1−
4
(45) Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas:
a) x3 − 5x2 + 6x ≤ 0;
b) (x2 − 1)(x2 + 1) ≤ 0;
c) x3 − x2 − 4x + 4 < 0;
d) x(x2 + x + 3)(x − 1) ≤ 0.
(46) Resuelve las siguientes inecuaciones fraccionarias:
1
2
>
;
x−3
x+3
4 − x2
b) 2
≤ 0;
x −9
x(x − 1)(x + 3)
c)
≥ 0;
(x2 − 4)(x + 5)
a)
d)
x2 + 4
1
x+3
−
>
.
2
x −4 x−2
x+2
(47) Halla los valores de m para que las siguientes ecuaciones tengan raı́ces reales:
a) 3x2 − mx + 3 = 0;
b) 2mx2 − mx + 1 = 0;
c) (m − 2)x2 − 2(3 − 2m)x − m + 2 = 0.
(48) Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
2
x − 3x > 0
a)
;
x − 3x2 < 0
2
x −x−2>0
b)
;
12 + x − x2 ≥ 0
2
x − 5x > 0
c)
.
x2 − x − 2 ≤ 0
31