vestibular espm 2010 - novembro/2009

VESTIBULAR ESPM 2010 - NOVEMBRO/2009
PROVA DE MATEMÁTICA - MODELO E
Questão 21
x  y y – x
6
para x = 24 e y = 0,125 é:
O valor da expressão 

  2
2
x – y x  y x – y
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Resolução:
 (x  y) 2 – (x – y) 2  (x  y)(x – y)
(x  y  x – y)  (x  y – x + y)
 x  y x – y  (x 2 – y 2 )

=
= 
=
–

 


6
6
6
x – y x  y
 (x – y)  (x  y) 
4x y
2xy
=

6
3
1
2  24 
8 2
Para x = 24 e y = 0,125, temos:
3
Resposta: C
Questão 22
Uma costureira pagou R$ 135,00 por uma certa quantidade de metros de um tecido. Ao passar pela loja
vizinha, notou que o metro desse mesmo tecido estava R$ 2,00 mais barato que na anterior. Comprou,
então, um metro a mais do que na primeira compra, gastando R$ 130,00. Considerando as duas compras, o
total de metros de tecido que ela comprou foi:
a)
b)
c)
d)
e)
15
17
19
21
23
Resolução:
Seja n o número de metros de tecido e p o preço, em reais, da compra feita na primeira loja. Do enunciado, temos:
n9
 np  135


p  15
 (n  1)  (p – 2)  130
A quantidade de tecido comprado foi de 9 + 10 = 19 metros.
Resposta: C
Questão 23
Uma prova era composta de 3 testes. O primeiro valia 1 ponto, o segundo valia 2 pontos e o terceiro 4
pontos, não sendo considerados acertos parciais. A tabela abaixo mostra a quantidade de alunos que
obtiveram cada uma das notas possíveis:
Nota obtida
0
1
2
3
4
5
6
7
Nº de alunos
2
3
1
5
7
2
3
1
O número de alunos que acertaram o segundo teste foi:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
Resolução:
Acertaram o segundo teste os alunos com notas 2 (2); 3 (1 + 2); 6 (2 + 4) ou 7 (1 + 2 + 4). Assim, o número de alunos é 1 + 5 + 3 + 1 = 10.
Resposta: A
Questão 24
No sistema linear abaixo, a maior das 3 incógnitas vale:
 2x – 3y  z  4

 x  2y – 4z  12
 3x – y  2z  1

a)
b)
c)
d)
e)
3
–1
4
2
–3
Resolução:
 2x – 3y  z  4

 x  2y – 4z  12
 –3x  y – 2z  –1

–5z  15

z  –3
2ª
x + 2y = 12 + 4z = 0  x = –2y
1ª
2(–2y) – 3y – 3 = 4  –7y = 7  y = –1
A maior é x = 2.
Resposta: D

x=2
Questão 25
Um caminhão parte da cidade A ao meio-dia e dirige-se à cidade B com velocidade constante de 40 km/h,
devendo chegar às 6h da tarde desse mesmo dia. Um outro caminhão que saiu às 2h da tarde da cidade B,
dirigindo-se à cidade A com velocidade constante de 60 km/h, deverá encontrar-se com o primeiro, nessa
mesma tarde, às:
a)
b)
c)
d)
e)
2h50min
3h
3h20min
3h36min
3h42min
Resolução:
dAB = 40  6 = 240 km
160 km
80 km
A
40t
40 km/h
12 h
14 h
60t
B
60 km/h
?
14 h
160
= 1,6h = 1h36min.
100
Encontram-se às 15h36min.
40t + 60t = 160  t =
Resposta: D
Questão 26
Seja f uma função tal que f (x, y) = x se x  y e f (x, y) = y se x < y, onde x e y são reais. Seja g uma função
dada por g (x) = f (x + 1, 2 – x). O valor mínimo que g pode assumir é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
3/2
5/2
1/2
–3/4
–1/2
Resolução:
1

 x  1, se x  1  2 – x  x  2
 x, se x  y
Sendo f(x, y) = 
, logo g(x) = f (x + 1, 2 – x) = 
1
 y, se x  y
 2 – x, se x 

2
e seu gráfico é dado por:
y
g(x)
2
3
2
0
O valor mínimo de g é
Resposta: A
3
.
2
1
2
x
Questão 27
Considere o conjunto A = {x  N* | x  51}. Retirando-se um número desse conjunto, a média aritmética entre seus elementos não se altera. Esse número é:
a)
b)
c)
d)
e)
ímpar
primo
quadrado perfeito
maior que 30
múltiplo de 13
Resolução:
(1  51)  51
= 51  26
S=
2
média aritmética

Minicial =
51  26
= 26
51
Retirando-se o número 26, a média ficará: Mfinal =
26 é múltiplo de 13.
50  26
= 26 (não se altera).
50
Resposta: E
Questão 28
O gráfico abaixo mostra o número de pessoas comprovadamente infectadas pelo vírus H1N1 numa certa
cidade do Brasil, entre os meses de maio e setembro de 2009. Na hipótese de um crescimento linear desse
surto, representado pela reta r, pode-se prever que o número de pessoas infectadas em dezembro de 2009
será igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
30
36
40
44
48
Resolução:
reta (r)
y = ax + b
(r)
( 0; 8) 
 b8
 8  a  0  b
 


(r)
(1; 12)    12  a  1  b  a  4
Logo (r) y = 4x + 8.
Em dezembro (x = 7), vem y = 4  7 + 8 = 28 + 8 = 36.
y = 36 pessoas
Resposta: B
Questão 29
Em relação ao teste anterior, sabendo-se que, em maio de 2009, o número de pessoas infectadas
correspondia a 0,016 % da população da cidade e de acordo com a tabela de classificação das cidades
brasileiras, do IBGE, podemos concluir que a cidade em questão pode ser considerada como:
a)
b)
c)
d)
e)
Cidade pequena: 500 a 100 000 habitantes
Cidade média: 100 001 a 500 000 habitantes
Cidade grande: acima de 500 000 habitantes
Metrópole: acima de 1 000 000 de habitantes
Megacidade: acima de 10 000 000 de habitantes
Resolução:
Seja p a população da cidade.
Em maio:
0,016
800 000
800
8=
p p 

 p  50 000 habitantes
0,016
16
100
Resposta: A
Questão 30
Do ano 2000 (x = 0) até o ano 2006 (x = 6), o número de automóveis numa certa cidade variou conforme a
função V(x) = 9x + 100, enquanto a população variou, nesse mesmo período, segundo o polinômio
P(x) = 1,8x2 + 47x + 300, sendo V(x) e P(x) dados em milhares de unidades. Podemos afirmar que, nesse
período, o número de habitantes por automóvel variou segundo a função:
a)
b)
c)
d)
e)
y = 0,2x + 2,4
y = 0,3x + 1,8
y = 3x + 0,6
y = 0,2x + 3
y = 1,2x + 1,6
Resolução:
100 

1,8(x  15) x 

P(x) 1,8x  47x  300
9 

= 0,2(x + 15) = 0,2x + 3


100 
V(x)
9x  100

9 x 

9 

Resposta: D
2
Questão 31
Um sitiante quer construir, ao lado de um muro retilíneo, dois viveiros retangulares para criação de galinhas
e patos, sendo que a área destinada aos patos (P) tem que ter 40 m² a mais que a destinada às galinhas
(G). Para isso ele dispõe de 60 metros lineares de uma tela apropriada, que deverá ser usada para as
cercas AB, CD, EF e BF, conforme a figura abaixo. Para conseguir a maior área possível para os viveiros, a
medida DF deverá ser de:
a)
b)
c)
d)
e)
15 metros
16 metros
17 metros
18 metros
19 metros
A
C
G
B
E
muro
P
D
F
Resolução:
C
A
(G)
x
B
z
E
(P)
x
D
Como AT = (y + z)  x
y
e
x
F
3x + y + z = 60, temos:
–60
= 10.
2(–3)
A área destinada aos patos tem 40 m2 a mais que a destinada às galinhas, então:
xy = xz + 40  10y = 10(60 – y – 30) + 40  y = 17 m
AT = (y + 60 – y – 3x)  x  AT = 60x – 3x2. Para (AT)máx., devemos ter x =
Resposta: C
Questão 32
O produto da média aritmética pela média harmônica entre dois números reais positivos é igual ao produto
desses números. Dessa forma podemos dizer que a média harmônica entre as raízes da equação
2x2 – 15x + 3 = 0 é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
0,4
1,3
0,7
1,5
0,6
Resolução:
Sejam A e H as médias aritmética e harmônica, respectivamente, entre as raízes da equação.
Do enunciado, temos:
A  H = x1  x2
15
(x1  x 2 )
3
 H  x1  x 2  2  H   H = 0,4
2
2
2
Resposta: A
Questão 33
Considerando-se log 2 = 0,3, o valor do determinante abaixo é igual a:
1
1
1
log 4
log 16
log 400
2
2
(log 2) (log 4) (log 20) 2
a)
b)
c)
d)
e)
0,36
0
3
0,74
0,42
Resolução:
log 2 = 0,3

log 4 = 0,6; log 16 = 1,2; log 400 = 2,6; log 20 = 1,3
1
1
1
0, 6
2
0, 6 1, 2 2,6 
 0,96 – 0,54  0,42
0, 27 1, 6
0,09 0,36 1, 69
Resposta: E
Questão 34
No plano cartesiano, uma reta de coeficiente angular 1 intercepta a parábola de equação y = x2 – 2x + 4 nos
pontos A e V, sendo V o vértice da mesma. O comprimento do segmento AV é igual a:
a) 1
b) 2
c) 5
d) 3
e) 2
Resolução:



–(–2)

1
x V 
As coordenadas de V são: 
21
 V(1, 3)
 y  12 – 2  4  3
 V
A reta tem equação y – 3 = 1 (x – 1) ou y = x + 2.
As coordenadas de A são tais que:
x + 2 = x2 – 2x + 4

x2 – 3x + 2 = 0

xV = 1 e xA = 2.
Logo, yA = 22 – 2  2 + 4 = 4 e A(2, 4).

Comprimento do segmento AV é ( 2 – 1) 2  ( 4 – 3) 2  2.
Resposta: E
Questão 35
Uma folha de papel retangular foi dobrada como mostra a figura abaixo. De
acordo com as medidas fornecidas, a região sombreada, que é a parte visível
do verso da folha, tem área igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
24 cm2
25 cm2
28 cm2
35 cm2
36 cm2
Resolução:
Os triângulos ABC e CED são semelhantes:
D
x
4
  x=5
10 8
Logo, área(ACD) =
Resposta: B
5  10
= 25 cm2.
2
A
8
10
x
8–x
B
4
C
6
E
Questão 36
Um oráculo mente sempre às segundas, terças e quartas-feiras, mas fala sempre a verdade nos outros
dias. Num certo dia, ao ser perguntado se “hoje é domingo”, ele respondeu “sim”. A probabilidade de ele estar mentindo é:
a)
b)
c)
d)
e)
3/7
4/7
3/4
1/4
1/7
Resolução:
Para a pergunta “hoje é domingo” o oráculo responde sim às segundas, terças, quartas-feiras e também no
domingo.
3
São 4 dias dos quais em 3 ele está mentindo. A probabilidade de estar mentindo é .
4
Resposta: C
Questão 37
Três números naturais de 2 algarismos formam uma PG de razão 2. Os 6 algarismos usados para escrever
os termos dessa PG são todos distintos entre si. O valor máximo que a soma dos termos dessa PG poderá
ter é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
126
133
161
147
168
Resolução:
Uma P.G. de razão 2 é da forma (x, 2x, 4x), x  N. Assim, o 3º termo é múltiplo de 4 com dois algarismos,
formando as possíveis progressões geométricas:
(24, 48, 96)  repete o algarismo 4
(23, 46, 92)  repete o algarismo 2
(22, 44, 88)  repete os algarismos 2, 4 e 8
(21, 42, 84)  repete os algarismos 2 e 4
(20, 40, 80)  repete o algarismo 0
(19, 38, 76) Essa P.G. tem o valor máximo da soma dos termos sem repetição de algarismos e essa soma vale
19 + 38 + 76 = 133.
Resposta: B
Questão 38
Numa empresa multinacional, sabe-se que 60% dos funcionários falam inglês, 45% falam espanhol e 30%
deles não falam nenhuma daquelas línguas. Se exatamente 49 funcionários falam inglês e espanhol, podemos concluir que o número de funcionários dessa empresa é igual a:
a) 180
b) 140
c) 210
d) 165
e) 127
Resolução:
p funcionários
Inglês
0,6p – 49
Espanhol
49
0,45p – 49
0,3p
0,6p + (0,45p – 49) + 0,3p = p  0,35p = 49  p = 140
Resposta: B
Questão 39
Uma pessoa cujos olhos estão a 1,80 m de altura em relação ao chão avista o topo de um edifício segundo
um ângulo de 30° com a horizontal. Percorrendo 80 m no sentido de aproximação do edifício, esse ângulo
passa a medir 60°. Usando o valor 1,73 para a raiz quadrada de 3, podemos concluir que a altura desse edifício é de aproximadamente:
a)
b)
c)
d)
e)
59 m
62 m
65 m
69 m
71 m
Resolução:
Do enunciado temos a figura:
D
hed.
A
1,8



30°
80
B
60°
C
 ABD é isósceles  BD = 80
CD
 BDC: sen 60° =
 CD = 69,2
80
hed. = 69,2 + 1,8 = 71 m
Resposta: E
Questão 40
Um vidro de perfume tem a forma e as medidas indicadas na figura ao lado
e sua embalagem tem a forma de um paralelepípedo cujas dimensões
internas são as mínimas necessárias para contê-lo. Pode-se afirmar que o
volume da embalagem não ocupado pelo vidro de perfume vale
aproximadamente:
a)
b)
c)
d)
e)
142 cm3
154 cm3
168 cm3
176 cm3
182 cm3
Resolução:
A embalagem é um paralelepípedo de altura 13 cm e base quadrada de lado 6 cm.
Vemb. = 62  13 = 468
Vvidro =   32  10 +   12  3 = 93
O volume pedido é: 468 – 93
Utilizando  = 3,14, temos este volume igual a 175,98  176 cm3.
Resposta: D
2 cm
3 cm
10 cm
6 cm