Subido por Luigui Valdivia Palomino

1 Errores

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Capítulo 1
Erro numérico
Neste capítulo pretende-se sensibilizar os alunos para os erros que surgem devido à representação dos números no computador ou na calculadora e os erros resultantes das operações
numéricas efectuadas.
Os dados experimentais, obtidos a partir de aparelhos de medição falíveis, vêm afectados
de erro. Pretende-se averiguar de que forma é que esse erro vai afectar o resultado de
qualquer operação efectuada com esses dados. A fórmula fundamental dos erros (A.1)
permite calcular limites superiores dos erros absolutos e relativos das operações aritméticas
que utilizam esses dados. Vão ser resolvidos exercícios simples, apenas manualmente,
utilizando a fórmula fundamental dos erros.
1
CAPÍTULO 1. ERRO NUMÉRICO
2
1. Calcule um limite superior do erro absoluto e do erro relativo no cálculo da expressão
f (x, y, z) = −x + y 2 + sen(z), sabendo que são usados os
seguintes valores aproximados: x = 1.1 (δx = 0.05); y =
2.04 (δy = 0.005); z = 0.5 rad. (δz = 0.05). Quantos
algarismos significativos tem o valor calculado de f ?
Resolução:
A máquina deve ser colocada em modo Radianos.
Valor calculado f = 3.5410255386; δx = 0.05, δy = 0.005, δz = 0.05.



1.05 ≤ x ≤ 1.15
(intervalo de incerteza para x)


I=
2.035 ≤ y ≤ 2.045 (intervalo de incerteza para y)



 0.45 ≤ z ≤ 0.55
(intervalo de incerteza para z)
Cálculo dos majorantes:
δf
δf
δf
δf
= −1, | |I = Mx = 1,
= 2y, | |I = My = 4.09,
δx
δx
δy
δy
δf
δf
= cos(z), | |I = Mz = 0.90044712
δz
δz
Fórmula fundamental do erro (A.1):
δf ≤ 1 × (0.05) + 4.09 × (0.005) + 0.90044712 × (0.05) = 0.115472355
Limites superiores dos erros absoluto/relativo: δf ≤ 0.115472355,
δf
≤ 0.032609.
|f |
Para identifição dos algarismos significativos deve encontrar-se o primeiro valor superior a δf na forma 0.5× potências de base 10. Neste caso tem-se 0.115472355 ≤
0.5 × 100 . Então, colocando o valor de f e o majorante de δf em termos de 0.5×
potências de base 10, com o mesmo expoente vem,
3.
0.
5410255386 ×100
5 ×100
Conclui-se que apenas existe 1 algarismo significativo (3) - os algarismos de f cuja
posição está à esquerda do algarismo 5 de δf .
3
2. Uma corrente eléctrica atravessa uma resistência R de 20Ω. A resistência foi medida
com um erro relativo que não excede 0.01. A intensidade da corrente I é 3.00 ± 0.01
A.
Sabendo que a tensão da corrente é dada por
V = RI, determine um limite superior do
erro absoluto no cálculo da tensão da corrente.
Quantos algarismos significativos garante para
o valor calculado da tensão?
Resolução:
Função: V = RI
Fórmula fundamental do erro (A.1):
δV ≤ MR δR + MI δI
Cálculo das derivadas parciais:
∂V
= I,
∂R
R = 20Ω;
∂V
=R
∂I
δR
≤ 0.01 ⇔ δR ≤ 0.2 (limite superior do erro relativo em R).
R
I = 3.00 ± 0.01 ⇒ δI ≤ 0.01 (limite superior do erro absoluto em I).
Intervalo de incerteza:

 20 − δR ≤ R ≤ 20 + δR ⇔ 19.8 ≤ R ≤ 20.2 (intervalo de incerteza para R)
 3 − δI ≤ I ≤ 3 + δI ⇔ 2.99 ≤ I ≤ 3.01
(intervalo de incerteza para I)
Cálculo dos majorantes MR , MI no intervalo de incerteza:
|
∂V
∂V
| ≤ MR ⇒ MR = 3.01; |
| ≤ MI ⇒ MI = 20.2
∂R
∂I
Substituição na fórmula:
δV ≤ 20.2 × 0.01 + 3.01 × 0.2 = 0.804 × 100 ≤ 0.5 × 101
V = 20 × 3 = 60 = 6.0 × 101
Conclui-se que apenas existe 1 algarismo significativo - o 6.
CAPÍTULO 1. ERRO NUMÉRICO
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3. Pretende-se calcular a área de um terreno circular, de raio aproximadamente igual a
250m.
Usando 3.14 para valor aproximado de π, quantos algarismos significativos apresenta o valor
da área?
Resolução:
Área como função de π e r: f (π, r) = πr 2 .
Derivadas parciais:
∂f
∂f
= r2,
= 2πr
∂π
∂r
δπ ≤ 0.005
δr ≤ 0.5

 250 − 0.5 ≤ r ≤ 250 + 0.5 ⇔ 249.5 ≤ r ≤ 250.5
(intervalo de incerteza para r)
 3.14 − 0.005 ≤ π ≤ 3.14 + 0.005 ⇔ 3.135 ≤ π ≤ 3.145 (intervalo de incerteza para π)
Majorantes:
Mπ = 250.52 = 62750.25, Mr = 2 × (3.145) × 250.5 = 1575.645.
Fórmula fundamental do erro (A.1):
δf ≤ δπMπ + δr Mr
δf ≤ 0.005 ×62750.25 + 0.5 ×1575.645 = 1101.57375 = 0.110157375 ×104 ≤ 0.5 ×104
O valor da área é 196250 = 19.6250 × 104 .
19.
0.
6250 ×104
5 ×104
No valor da área (196250) apenas são algarismos significativos o 1 e o 9 (estão na
posição à esquerda do 5 de δf ).
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