Capítulo 1 Erro numérico Neste capítulo pretende-se sensibilizar os alunos para os erros que surgem devido à representação dos números no computador ou na calculadora e os erros resultantes das operações numéricas efectuadas. Os dados experimentais, obtidos a partir de aparelhos de medição falíveis, vêm afectados de erro. Pretende-se averiguar de que forma é que esse erro vai afectar o resultado de qualquer operação efectuada com esses dados. A fórmula fundamental dos erros (A.1) permite calcular limites superiores dos erros absolutos e relativos das operações aritméticas que utilizam esses dados. Vão ser resolvidos exercícios simples, apenas manualmente, utilizando a fórmula fundamental dos erros. 1 CAPÍTULO 1. ERRO NUMÉRICO 2 1. Calcule um limite superior do erro absoluto e do erro relativo no cálculo da expressão f (x, y, z) = −x + y 2 + sen(z), sabendo que são usados os seguintes valores aproximados: x = 1.1 (δx = 0.05); y = 2.04 (δy = 0.005); z = 0.5 rad. (δz = 0.05). Quantos algarismos significativos tem o valor calculado de f ? Resolução: A máquina deve ser colocada em modo Radianos. Valor calculado f = 3.5410255386; δx = 0.05, δy = 0.005, δz = 0.05. 1.05 ≤ x ≤ 1.15 (intervalo de incerteza para x) I= 2.035 ≤ y ≤ 2.045 (intervalo de incerteza para y) 0.45 ≤ z ≤ 0.55 (intervalo de incerteza para z) Cálculo dos majorantes: δf δf δf δf = −1, | |I = Mx = 1, = 2y, | |I = My = 4.09, δx δx δy δy δf δf = cos(z), | |I = Mz = 0.90044712 δz δz Fórmula fundamental do erro (A.1): δf ≤ 1 × (0.05) + 4.09 × (0.005) + 0.90044712 × (0.05) = 0.115472355 Limites superiores dos erros absoluto/relativo: δf ≤ 0.115472355, δf ≤ 0.032609. |f | Para identifição dos algarismos significativos deve encontrar-se o primeiro valor superior a δf na forma 0.5× potências de base 10. Neste caso tem-se 0.115472355 ≤ 0.5 × 100 . Então, colocando o valor de f e o majorante de δf em termos de 0.5× potências de base 10, com o mesmo expoente vem, 3. 0. 5410255386 ×100 5 ×100 Conclui-se que apenas existe 1 algarismo significativo (3) - os algarismos de f cuja posição está à esquerda do algarismo 5 de δf . 3 2. Uma corrente eléctrica atravessa uma resistência R de 20Ω. A resistência foi medida com um erro relativo que não excede 0.01. A intensidade da corrente I é 3.00 ± 0.01 A. Sabendo que a tensão da corrente é dada por V = RI, determine um limite superior do erro absoluto no cálculo da tensão da corrente. Quantos algarismos significativos garante para o valor calculado da tensão? Resolução: Função: V = RI Fórmula fundamental do erro (A.1): δV ≤ MR δR + MI δI Cálculo das derivadas parciais: ∂V = I, ∂R R = 20Ω; ∂V =R ∂I δR ≤ 0.01 ⇔ δR ≤ 0.2 (limite superior do erro relativo em R). R I = 3.00 ± 0.01 ⇒ δI ≤ 0.01 (limite superior do erro absoluto em I). Intervalo de incerteza: 20 − δR ≤ R ≤ 20 + δR ⇔ 19.8 ≤ R ≤ 20.2 (intervalo de incerteza para R) 3 − δI ≤ I ≤ 3 + δI ⇔ 2.99 ≤ I ≤ 3.01 (intervalo de incerteza para I) Cálculo dos majorantes MR , MI no intervalo de incerteza: | ∂V ∂V | ≤ MR ⇒ MR = 3.01; | | ≤ MI ⇒ MI = 20.2 ∂R ∂I Substituição na fórmula: δV ≤ 20.2 × 0.01 + 3.01 × 0.2 = 0.804 × 100 ≤ 0.5 × 101 V = 20 × 3 = 60 = 6.0 × 101 Conclui-se que apenas existe 1 algarismo significativo - o 6. CAPÍTULO 1. ERRO NUMÉRICO 4 3. Pretende-se calcular a área de um terreno circular, de raio aproximadamente igual a 250m. Usando 3.14 para valor aproximado de π, quantos algarismos significativos apresenta o valor da área? Resolução: Área como função de π e r: f (π, r) = πr 2 . Derivadas parciais: ∂f ∂f = r2, = 2πr ∂π ∂r δπ ≤ 0.005 δr ≤ 0.5 250 − 0.5 ≤ r ≤ 250 + 0.5 ⇔ 249.5 ≤ r ≤ 250.5 (intervalo de incerteza para r) 3.14 − 0.005 ≤ π ≤ 3.14 + 0.005 ⇔ 3.135 ≤ π ≤ 3.145 (intervalo de incerteza para π) Majorantes: Mπ = 250.52 = 62750.25, Mr = 2 × (3.145) × 250.5 = 1575.645. Fórmula fundamental do erro (A.1): δf ≤ δπMπ + δr Mr δf ≤ 0.005 ×62750.25 + 0.5 ×1575.645 = 1101.57375 = 0.110157375 ×104 ≤ 0.5 ×104 O valor da área é 196250 = 19.6250 × 104 . 19. 0. 6250 ×104 5 ×104 No valor da área (196250) apenas são algarismos significativos o 1 e o 9 (estão na posição à esquerda do 5 de δf ).
