espera de menos de 8 minutos es de 16/30, pues su llegada

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espera de menos de 8 minutos es de 16/30, pues su llegada debe ser entre 7:37 y 7:45 o 7:52
y 8:00, que corresponde a dos intervalos de longitud 8.
4.4 Distribución Exponencial
La variable aleatoria continua \ tiene distribución exponencial de parámetro ! si su función
!/!B si B € ! ß !  !
de densidad tiene la forma f ÐBÑ œ œ
.
!
si B  !
Notación: \ œ IB:Ð!Ñ
Valores característicos.
Aplicando las definiciones de valor esperado y varianza a la distribución exponencial
y utilizando un poco de cálculo integral se puede establecer que I [\ ] œ "Î! y Z [\ ] œ
"Î!# .
Ejemplo 4.1
Un pesticida, que se degrada inicialmente en forma muy rápida, tiene un promedio de
residualidad de 8 días. Por residualidad se entenderá que el producto es aún efectivo en ese
instante. Por experiencias anteriores se sabe que la variable aleatoria T, días de residualidad,
se ajusta a una distribución exponencial.
a) determinar la función de distribución de probabilidad del tiempo de residualidad T
I [X ] œ ) œ "Î! Ê ! œ "Î) œ !ß "#& Ê f Ð>Ñ œ œ
!ß "#&‡/!ß"#&‡> si > € !
si >  !
!
b) ¿ cuál es la probabilidad que el insecticida tenga una residualidad mayor a 16 días ?
Para este propósito conviene obtener la función de distribución acumulativa que implica
! , si >  !
' > !ß "#&‡/!ß"#&‡B .B œ "  /!ß"#&‡> , si > € !, o sea, J Ð>Ñ œ œ
,
!ß"#&‡>
!
"/
, si > € !
debiéndose calcular
T ÐX € "'Ñ œ "  J Ð"'Ñ œ /"'Î) œ /# œ !ß "$&. Luego el insecticida
tiene efectividad después de los 16 días con una probabilidad de 0,135.
c) ¿ cuál es el valor mediano de la residualidad del insecticida ?
La mediana corresponde al valor de > tal que J Ð>Ñ œ !ß & Ê "  /!ß"#&‡> œ !ß &
Ê /!ß"#&‡> œ !ß &. Aplicando logaritmo y resolviendo se obtiene que > ¸ &ß & días.
significa que hay una probabilidad del 50% que el producto dure menos de 5,5 días.
Esto
d) ¿ después de cuántos días existe una probabilidad menor a 0,05 de que haya
residualidad del producto ?
Se debe calcular T ÐX  >Ñ  !ß !& Ê "  J Ð>Ñ  !ß !& Ê J Ð>Ñ  !ß *& Ê />Î)  !ß !&,
usando logaritmo y despejando se obtiene >  #% días, es decir, después de los 24 días.