ANALISIS DIMENSIONAL Para determinar la fórmula

Para determinar la fórmula dimensional de la
velocidad se empleará la siguiente fórmula física:
ANALISIS DIMENSIONAL
CONCEPTO
El estudio de las distintas formas que adoptan las
magnitudes derivadas nos obliga a desarrollar un
conjunto de leyes, reglas y propiedades en un campo
puramente matemático.
Pero como la distancia es una magnitud fundamental
que es longitud L y el tiempo es T, entonces:
El Análisis Dimensional es el estudio matemático de
las relaciones que guardan entre si todas las
magnitudes físicas, ya que toda magnitud derivada
puede ser expresada como una combinación
algebraica de las magnitudes fundamentales.
FINES
Que es la fórmula dimensional de la velocidad.
• Relacionar una magnitud física cualquiera con otras
elegidas como fundamentales.
• Establecer el grado de verdad de una fórmula física.
• Elaborar fórmulas empíricas para fenómenos de
simple desarrollo.
Esta tabla es sólo un extracto.
MAGNITUDES
DERIVADAS
FÓRMULA DIMENSIONAL
Es una igualdad que nos indica la dependencia fija de
una magnitud cualquiera respecto de las que son
fundamentales. En el Sistema Internacional las
unidades elegidas como fundamentales son las
siguientes:
MAGNITUD FUNDAMENTAL
Nombre
Símbolo
UNIDAD BÁSICA
Nombre
Símbolo
1. Longitud
L
metro
m
2. Masa
M
Kilogramo
kg
3. Tiempo
T
Segundo
s
I
ampere
A
Ɵ
Kelvin
K
6. Intensidad Luminosa
J
candela
cd
7. Cantidad de Sustancia
N
mol
mol
4. Intensidad de Corriente
Eléctrica
5. Temperatura
Termodinámica
TABLA DE FÓRMULAS DIMENSIONALES EN EL
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES DE MEDIDA
El operador empleado para trabajar una ecuación o
fórmula dimensional serán los corchetes [ ], los
mismos que encierran a una magnitud, así [trabajo]
se lee “fórmula dimensional del trabajo”.
En general en el sistema internacional la fórmula
dimensional de una magnitud derivada “x” se
expresará por la matriz siguiente:
[x] = La Mb Tc Id θe Jf Ng
Area, Superficie
Volumen
Velocidad
Aceleración
Fuerza
Momento, Torque
Trabajo, Energía y Calor
Potencia
Presión
Velocidad angular
Aceleración angular
Período
Frecuencia
Impulso
Voltaje, Potencial
Resistencia
Carga eléctrica
Campo eléctrico
Capacidad eléctrica
Densidad
Peso Específico
Cantidad de movimiento
Coeficiente de dilatación
Calor específico
Carga magnética
Inducción magnética
Flujo Magnético
Iluminación
Fórmula
Dimensional
L2
L3
LT-1
LT-2
LMT-2
L2MT-2
L2MT-2
L2MT-3
L-1MT-2
T-1
T-2
T
T-1
LMT-1
2
L MT3I-1
L2MT3I-2
IT
LMT3I-1
L-2M-1T4I2
L-3M
-2
L MT-2
LMT-1
Θ-1
L2T-2 Θ-1
LI
MT-2I-1
L2MT-2I-1
L-2J
a, b, c, d, e, f, g = Son números racionales
1
PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL o de
FOURIER
ECUACIONES DIMENSIONALES
Son aquellas relaciones de igualdad en donde algunas
magnitudes son conocidas y las otras o no lo son o
tienen exponentes (dimensiones) desconocidas.
En toda ecuación dimensionalmente correcta, los
términos que se están sumando o restando deben
tener igual ecuación dimensional.
Ejemplos:
a) [A] LT-1 + [B] LMT = LMT-2
Donde las incognitas son magnitudes A y B
b) Lx T-y = L3 T-2
Donde las incógnitas son los exponentes x y
también llamadas dimensiones.
La ecuación dimensional del primer miembro de la
ecuación debe ser igual a la del segundo miembro.
Si:
es dimensionalmente correcto
entonces se debe cumplir que:
PROBLEMAS PROPUESTOS
REGLAS
1. Al operar con ecuaciones dimensionales, se
pueden emplear todas las reglas algebraicas
excepto las de suma y resta, en su lugar diremos
que la suma y diferencia de magnitudes de la
misma especie da como resultado otra magnitud
de la misma especie.
a) [AB] = [A] [B]
C 
C 
b)   =  
D D
2. Hallar la fórmula dimensional de P en la siguiente
ecuación:
P = (Densidad)(Velocidad)²
a) LMT-1
b) LM-1T-2
c) LMT2
-1
-2
-2
d) L MT
e) MT
c) [An] = [A]n
d) L + L + L = L
e) T – T – T = T
2. La fórmula dimensional de todo ángulo, función
trigonométrica, logaritmo y en general toda
cantidad adimensional o número es la unidad.
[30 rad] = 1
[Sen 30°] = 1
[45] = 1
[Log 2] = 1
3. Las expresiones que son exponentes no tienen
unidades.
4. Toda ecuación dimensional se escribe en forma de
monomio entero; si es fraccionario, se hace entero
con exponente negativo.
LT
= LM-1T
M
2
1. Aplicando las reglas del análisis dimensional,
responde lo siguiente:
•L+L+…=L
• T – T = ….
• [π] = …
• [Sen (ab)] = …
• [log x] = …..
• (…) – (LT-1) = LT-1
• (LMT2) + (…) = (…) (LMT2)
• L1T-2 = LxTy entonces x = …; y = …
• T-1 = LxTy entonces x = …; y = …
• LT-2 = L2xMx+yTz entonces x = …; y = …
L
= LT-3
3
T
3. En la siguiente ecuación dimensionalmente
homogénea se tiene que:
x = d Sen (abx)
donde [x] = L, [a] = T
¿cuál es la fórmula dimensional de “b”?
a) T-1
b) L-1
c) LT
-1 -1
d) L T
e) L2
4. Encontrar la fórmula dimensional de A para que la
ecuación sea dimensionalmente homogénea.
G=
4π 2 L2 (L − b )Cosθ
T 2 .A
G = Aceleración de la gravedad
b = distancia
T = Periodo
a) L
b) L2
-3
d) L M
e) L4
c) L3
5. Hallar la fórmula dimensional de “P” si la ecuación
es homogénea.
P = A12 B1 + A22 B2 + A32 B3 + ...
Donde:
A1, A2, A3 … = Velocidad
B1, B2, B3 … = Tiempo
a) L2T-1
b) LT-1
c) L2
2
3
d) LT
e) L
11. La fórmula física del periodo del péndulo está dada
por: T = 2πLxgy. Hallar las dimensiones “x” e “y”
T = Tiempo
L = Longitud del péndulo
g = Aceleración de gravedad
π = 3,1416
a) 1/4, -1/4
b) 1/2, -1/2
c) 1/5, -1/5
d) -1/6, 1/6
e) 1, 2
6. La ecuación es dimensionalmente homogénea
12. La siguiente ecuación es dimensionalmente
homogénea, hallar los valores de “x” e “y”
F = Pωx + mVy/r
Donde:
r = Radio;
F = Fuerza
m = masa;
P = Cantidad de movimiento
V = Velocidad;
ω = Velocidad angular
a) 1; -2
b) 1; 2
c) 2; -1
d) 4; 3
e) 0; 1
a=
b
d
. p (Tgθ +
Ctgθ )
2
Qr
S
a = Aceleración
S = Área
r y t = Distancia
Q = Calor
Hallar la fórmula dimensional de “b”
a) L5M3T-1
b) L6MT-4
c) L7MT-4
e) ML3T-2
d) L4MT-2
7. Determinar la fórmula dimensional de α para que
la ecuación sea dimensionalmente homogénea
(αP)2 + (βF)3 = π
P = Presión F = Fuerza
π = 3,14159
a) LM-1T2
b) L-1M-1T2
c) LMT2
d) L-1MT-2
e) L0
8. Hallar las fórmulas dimensionales de α y β si la
expresión
es
dimensionalmente
correcta
(homogénea)
αa + βb = ab - δ
a = Distancia;
b = Masa
-1
a) [α] = M; [β] = LT
b) [α] = L; [β] = M
c) [α] = L-1; [β] = M
d) [α] = M; [β] = L
e) [α] = M-1; [β] = L
9. Hallar la fórmula dimensional de “x” si la expresión
es homogénea
x=
M 5R2
A
+
−1
V
Sen30º
donde: A = masa
a) L
b) M
d) L2M
e) M2
c) MT-1
10. Hallar la fórmula dimensional de C en la siguiente
expresión:
2
 mv

2 CTE

P = Po e
− 1




v=velocidad
m=masa
E=energía
T=temperatura P=potencia.
a) L
b) Tθ
c) θ2
d) θ-1
e) Mθ
13. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente
correcta: P = dxVytz
Donde:
P : Potencia (unidad = m²kgs-3)
d : Densidad (masa/volumen)
V : Velocidad
T: Tiempo
Hallar el valor de 3(y-3x)/(y-z)
a) -2
b) -1
c) 1
d) 2
e) 3
14. La
ecuación
siguiente:
dimensionalmente
X
Y
a=b c d
a = potencia útil
b = densidad absoluta
c = radio de curva
d = velocidad lineal
Hallar x + y + z
a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
homogénea
Z
c) 4
15. La velocidad de una onda transversal en una
cuerda elástica se establece con:
v = FX uY donde:
F = tensión en la cuerda
u = densidad lineal de cuerda (Kg/m)
Hallar su fórmula física
a) v = F u
b) v = F / u
c) v = √ (F/u)
d) v = F / u2
e) v = F / u3
3
TAREA DOMICILIARIA
1. Determinar la fórmula dimensional de “G”
cia)2
G = ( Fuerza)( Dis tan
2
( Masa)
b) LMT-3
c) L3M-1T-2
a) L-1MT-3
-2
-1
d) L MT
e) L
2. La siguiente ecuación nos define la velocidad V en
función del tiempo (T) de un cuerpo que se
desplaza sobre una superficie horizontal
V = AW Cos(WT)
Hallar: [W]
-1
-1
a) LMT
b) LT
c) T-1
e) T-3
d) T-2
7. El volumen del fluido que pasa en unidad de
tiempo por un tubo capilar, está colocado por:
4
V = 1 πR
n
.
8I
P
R = Radio I = Longitud P = Presión
Hallar la fórmula dimensional de la viscosidad n:
b) L2MT-2
c) LMT-2
a) L-1MT-1
d) L-1MT-2
e) LT-3
8. Cuál será la fórmula dimensional de x para que la
expresión sea dimensionalmente correcta:
x=
W
m(b + n 2 )
2
W : Trabajo m : Masa
a) L2 b) ML2 c) MT2
h : Altura
d) T-2 e) T-3
3. La fórmula de la energía está dada por:
E = Sen(w )
9. La velocidad de una partícula en el interior de un
fluido está dada por la fórmula:
z
Si w = Ángulo de incidencia Hallar [z]
b) ML2
c) M-1L2T
a) M-1L-2T2
-1
-1
d) MLT
e) LT
4. La ecuación de estado de un gas ideal es
pV= nRT
p = presión, V=volumen n=cantidad de sustancia
T= temperatura termodinámica
Determinar la fórmula dimensional de la constante
Universal de los gases R
a) 1
b) L2M2T-2
c) L2M2T-2θ-1
d) L2MT-2θ-1N-1
e) L2M3T-2θ-1N-2
5. Indique la fórmula que no satisface el principio de
homogeneidad dimensional, si se sabe que:
d = Desplazamiento; V0 = Velocidad inicial
V = velocidad final, a = Aceleración,
g = Aceleración de gravedad, t = tiempo, h = altura.
2
b) d = (V0 ) Sen 2θ
a) (V)2 = (V )2 + 2ad
0
g
1
c) d = (V0).t+ at2
2
d) h = (V0 ) Sen2θ
2g
e) t = 2V0 Senθ
g
6. Dadas las siguientes expresiones encontrar [A]:
A+ B
( A + B) 2
=V
=F
C
C
V: Velocidad F: Fuerza
b) MT
c) MT-3
a) MLT-1
-1
2
d) MT
e) L
4
b b c
+ +
t t V0
V=
( I + m − 2 n) R
a+
V0; V = Velocidad t = Tiempo R = Radio
I, m, n = Números
Hallar las dimensiones de: E = (bc)/a²
a) LT-2 b) L1/2T-1 c) L2T3
d) T-3
e) L
10. Hallar la fórmula dimensional de “x” e “y”
xV
V = Velocidad
D = Densidad
a) ML, L2T
d) ML-4T, ML-7
3 + D.Sen37 º = yAL2
A = Área
L = Longitud
b) ML3T, LT
c) ML2, LT-1
2
-1
e) L , T
11. En la siguiente ecuación homogénea:
HF = pωx + m0
Vy
r
Hallar x . y
F: Fuerza m0 = Masa V=Velocidad r = Radio de giro
p: Cantidad de movimiento (masa.velocidad)
ω : Velocidad angular (ángulo/tiempo)
a) 1
b) -1
c) 0 d) 2
e) -2
12. La ecuación que se muestra nos da la distancia
recorrida por un cuerpo en caída libre:
h=
h = Altura
p = Peso
1
p gy tz
2
t = Tiempo
g = 9,8 m/s²
Determinar el valor de:
a) 0
b) 1
d)
2
e) 2 2
E=
z
x+ y
c) 2