Automática Tema 3. Modelado de Sistemas físicos

Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Tema 3.
Modelado de Sistemas físicos
Automática
2º Curso del Grado en
Ingeniería en Tecnología Industrial
Contenido
Tema 3.- Modelado de sistemas físicos
3.1. Introducción.
3.2. Modelado de sistemas físicos.
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
3.2.1. Sistemas eléctricos y electrónicos.
3.2.2. Sistemas mecánicos.
3.2.3. Sistemas electromecánicos.
3.3. Linealización de modelos matemáticos de sistemas no
lineales.
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Introducción
Concepto de modelo:
Sistema físico:
Introducción
Concepto de modelo:
Sistema físico:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Perturbaciones
La relación R que liga las acciones Ui (entradas) con los efectos Yj (salidas),
según Y = R(U), constituye el modelo del sistema.
Ver vídeo
Introducción
Tipos de modelos:
1. Modelos mentales: son los propios de las personas. Son
imprecisos, difíciles de comunicar y borrosos.
2. Modelos físicos: son costosos en tiempo y en dinero.
• Modelos estáticos:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
– Modelos a escala; modelos de imitación.
• Modelos dinámicos:
– Analogías o modelos análogos; prototipos.
3. Modelos simbólicos:
• No matemáticos:
– Lingüísticos, ya sean verbales o escritos.
– Gráficos o esquemáticos: mapas diagramas de flujos…
• Matemáticos:
– Relaciones entre las distintas variables del sistema a modelar en la
correspondiente estructura matemática (ecuaciones).
Introducción
Modelos matemáticos:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Construcción de un modelo matemático. Etapas.
Introducción
Modelo computerizado:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Etapas a seguir para su elaboración:
1.
Descomposición del sistema en subsistemas.
2.
Aplicación de leyes de conservación (masa, momento,
energía,…) en cada subsistema y ecuaciones constitutivas
de cada elemento.
3.
Obtención de ecuaciones diferenciales.
4.
Programación de ecuaciones a través de software
apropiado (Simulink, Modelica,…).
Contenido
Tema 3.- Modelado de sistemas físicos
3.1. Introducción.
3.2. Modelado de sistemas físicos:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
3.2.1. Sistemas eléctricos y electrónicos.
3.2.2. Sistemas mecánicos.
3.2.3. Sistemas electromecánicos.
3.3. Linealización de modelos matemáticos de sistemas no
lineales.
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Conceptos básicos:
– Ley de Ohm:
La corriente eléctrica (I) en un conductor (o circuito), es igual a la
diferencia de potencial (V) sobre el conductor (o circuito), dividido por
la resistencia (R) que opone a su paso.
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
I
V
R
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Conceptos básicos (cont.):
– Leyes de Kirchoff:
Leyes de
conservación
1. La suma de las tensiones en un lazo cerrado es igual a cero.
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
V  0
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Conceptos básicos (cont.):
Leyes de
conservación
– Leyes de Kirchoff:
2. La suma de las corrientes que entran en un nodo es igual a la
suma de las corrientes que salen del mismo.
I  I
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
e
s
I I
e
s
0
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Elementos constitutivos:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Generador de
corriente
Generador de
tensión
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Elementos constitutivos (cont.):
e12  R iR
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Resistencia
e12 
1
 iC  dt
C 
Condensador
Transformador
Bobina
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Circuito LRC
L
R
ei
C
eo
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
i
Aplicamos la ecuación de conservación:
L
di
1
 R  i (t )    i dt  ei (t )
dt
C
1
eo (t )    i  dt
C
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Circuito LRC
Aplicamos la transformada de Laplace a las ecuaciones
diferenciales:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
1 I ( s)
L  s  I ( s)  R  I ( s)  
 Ei ( s )
C s
EO ( s ) 
I ( s)
Cs
I ( s) 
Ei ( s)
1
Ls  R 
Cs
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Circuito LRC
Construimos el diagrama de bloques
Ei(s)
1
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Ls  R 
I(s)
1
Cs
1
Cs
Eo(s)
y obtenemos la función de transferencia del circuito, reduciendo
dicho diagrama.
E0 ( s)
1
G( s) 

Ei ( s) L  C  s 2  R  C  s  1
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Impedancias complejas:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
La impedancia compleja Z(s) de un circuito de dos terminales es
el cociente entre la transformada de Laplace del voltaje entre
terminales E(s), y la transformada de Laplace de la corriente a
través del elemento I(s), bajo la suposición de que las
condiciones iniciales son cero.
I(s)
E(s)
Z(s)
Z (s) 
E (s)
I (s)
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
ESQUEMA
R
E (s)  R  I (s) 
e(t )  R  i(t )
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA
E(s)
1/R
E ( s)  L  s  I (s) 
L
di
e(t )  L 
dt
E(s)
E ( s) 
C

1
e(t )   i  dt
C
1/Ls
I ( s) 1

E ( s) R
I(s)
I (s)
1

E ( s) L  s
I(s)
1
I ( s)
 I (s) 
 Cs
Cs
E ( s)
E(s)
Cs
I(s)
IMPEDANCIA
COMPLEJA
Z (s) 
I(s)
Z ( s) 
I(s)
Z ( s) 
I(s)
E ( s)
R
I (s)
R
E(s)
E ( s)
 Ls
I ( s)
Ls
E(s)
E ( s)
1

I ( s) C  s
1/Cs
E(s)
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Impedancias complejas:
L
R
ei
Z
C
eo
1
ei
Z
2
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
i
Z1  L  s  R
Z2 
Función de transferencia de circuito sería:
Eo ( s)
Z 2 (s)

Ei ( s) Z1 ( s)  Z 2 ( s)
1
Cs
eo
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Funciones de transferencia de elementos en cascada:
Muchos sistemas realimentados tienen componentes que se
cargan unos a otros:
1
(i1  i2 )dt  R1i1  ei

C1
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
1
1
(
i

i
)
dt

R
i

i2 dt  0
2
1
2 2


C1
C2
1
i2 dt  eo

C2
Aplicando la Transformada de Laplace (suponiendo condiciones
iniciales nulas), la función de transferencia sería:
Eo ( s )
1

Ei ( s) R1C1 R2C2 s 2  ( R1C1  R2C2  R1C2 ) s  1
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Funciones de transferencia de elementos en cascada:
No obstante, considerando las dos mallas independientes.
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Eo (s)
1
1


E i ( s ) ( R1C1 s  1) ( R2 C 2 s  1)
La función de transferencia así difiere de la obtenida
anteriormente bajo suposición de carga entre componentes.
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Amplificadores operacionales (AO)
Son dispositivos electrónicos base analógica lineal y no lineal.
i-
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
e-
e+
eo
i+
Propiedades del AO ideal:
1. Tierra virtual o corto virtual: e+ = e–  La tensión entre los
terminales de entrada es nula.
2. Ganancia infinita: eo = A(e+ - e–) donde A  infinita.
3. Impedancia de entrada infinita: i+ = i– = 0  Corriente de entrada
nula.
4. Impedancia de salida nula: Salida como fuente de tensión ideal.
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Amplificador inversor:
z2
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
z1
i-
e-
i+
e+
e   e   0; i   i   0
I 1  Vi / Z 1 ; I 2  V0 / Z 2
I1  I 2
G ( s) 
Vo ( s )
Z ( s)
 2
Vi ( s )
Z1 (s)
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Amplificador sumador inversor:
V1
V2
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Vn
z1
z2
zn
zr
i1
i2
ir
i-
e-
in
I 1  V1 / Z 1 ; I 2  V2 / Z 2 ;; I n  Vn / Z n ;
I r  Vo / Z r ;
n
i+
e+
Ir   I j ;
j 1
n
Vo    V j
j 1
Zr
Zj
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Amplificador NO inversor:
z1
z2
i   0; e   Vi
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
I1  Vi / Z1 ; I 2  (V0  Vi ) / Z 2
Vi
i-
e-
i+
e+
I1  I 2
Vo ( s )
Z 2 (s)
G (s) 
 1
Vi ( s)
Z1 ( s)
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Amplificador sumador NO inversor:
zzbr
za
ib
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
ii-V1
z1
z2
i1
zn
i2
V2
Vn
ee--
in
ii++ ee++






I1  V1  e  / Z1 ; I 2  V2  e  / Z 2 ;; I n  Vn  e  / Z n ;
e  e ;
(e   Vo ) / Z b  e  / Z a ;
n
I
j 1
n
j


 0;  V j  e  / Z j  0;
j 1
n
Z
Vo  (1  b )
Za
Vj
Z
j 1
n
1
Z
j 1
j
j
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Seguidor de tensión (cont.):
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Vo  Vi
G (s)  1
Contenido
Tema 3.- Modelado de sistemas físicos
3.1. Introducción.
3.2. Modelado de sistemas físicos:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
3.2.1. Sistemas eléctricos y electrónicos.
3.2.2. Sistemas mecánicos.
3.2.3. Sistemas electromecánicos.
3.3. Linealización de modelos matemáticos de sistemas no
lineales.
Modelado de sistemas mecánicos
Conceptos básicos:
– La masa de un cuerpo es la cantidad de materia que
contiene.
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
– La fuerza se define como la causa que tiende a producir un
cambio en el movimiento del cuerpo al cual se aplica.
Modelado de sistemas mecánicos
Conceptos básicos (cont.):
Leyes de
conservación
– Segunda ley de Newton para los sistemas de traslación:
• La fuerza aplicada a un cuerpo es igual a masa dicho cuerpo por
su aceleración.
ma 
F
i
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
i
– Segunda ley de Newton para los sistemas de rotación:
• En estos sistemas el equivalente del concepto masa y fuerza
corresponde al de inercia y par, respectivamente.
J 
T
i
i
donde
J

T
el momento de inercia de la carga
la aceleración angular y
el par aplicado.
Modelado de sistemas mecánicos
Elementos constitutivos (sist. de traslación):
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Muelle
Amortiguador
Modelado de sistemas mecánicos
Elementos constitutivos (sist. de traslación) (cont.):
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Palanca
Modelado de sistemas mecánicos
Obtención de ecuaciones dinámicas (sist. traslación):
1. Sentidos de desplazamiento en cada masa.
2. Calculo de diagrama de cuerpo libre.
3. Aplicación de Leyes de la mecánica de Newton en cada
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
masa.
Ecuación de conservación
Modelado de sistemas mecánicos
Cuerpo sobre carro:
y
u
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Cuerpo
u(t)
y(t)
m
b
k
¿ecuaciones
dinámicas ?
desplazamiento del carro (la entrada del sistema),
desplazamiento del cuerpo sobre el carro (la salida del sistema),
masa del cuerpo,
coeficiente de fricción viscosa de la superficie del carro,
es la constante del muelle.
Modelado de sistemas mecánicos
Cuerpo sobre carro (cont.):
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
1. Planteamos la ecuación:
Amortiguador
2. Reordenamos los términos:
Muelle
Modelado de sistemas mecánicos
Cuerpo sobre carro (cont.):
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
3. Aplicamos la transformada de Laplace a la ecuación anterior,
para condiciones iniciales nulas:
4. Y obtenemos la función de transferencia del sistema:
Modelado de sistemas mecánicos
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Dos cuerpos conectados:
¿ecuaciones dinámicas ?
Modelado de sistemas mecánicos
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Dos cuerpos conectados (cont.):
Modelado de sistemas mecánicos
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Elementos constitutivos (sist. de rotación):
T
T
T
Modelado de sistemas mecánicos
Elementos constitutivos (sist. de rotación) (cont.):
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
T
Reductora
T
Modelado de sistemas mecánicos
Obtención de ecuaciones dinámicas (sist. rotación):
1. Sentidos de rotación en cada inercia.
2. Calculo de diagrama de cuerpo libre.
3. Aplicación de Leyes de la mecánica de Newton en cada
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
inercia.
Ecuaciones de conservación
Modelado de sistemas mecánicos
Dos inercias conectadas con muelle:
Inercia 2
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Inercia muelle
nula
Inercia 1
¿ecuaciones dinámicas ?
Modelado de sistemas mecánicos
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Dos inercias conectadas con muelle (cont.):
Modelado de sistemas mecánicos
ESQUEMA
f(t)
ECUACIONES
f (t )
M
sin rozamiento
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
x(t)
f(t)
M
sin rozamiento
v(t)
v(t)
M
sin rozamiento
x(t)
f (t )
BLOQUE
FUNCIONAL
Modelado de sistemas mecánicos
ESQUEMA
BLOQUE
FUNCIONAL
ECUACIONES
R.T .  f (t )  k  x(t )
k
D.C.  F ( s )  k  X ( s )
F .T . 
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
1
k
X(s)
F(s)
1
bs
X(s)
F(s)
1
Ms2  bs  k
X(s)
X (s) 1

F ( s) k
dx(t )
dt
D.C.  F ( s )  b  s  X ( s )
R.T .  f (t )  b 
b
F .T . 
k
b
F(s)
M
sin rozamiento
f(t)
x(t)
X ( s)
1

F (s) b  s
d 2 x(t )
dx(t )
f (t ) 

M

 b  x(t )  k
dt 2
dt
F ( s)  ( M  s 2  b  s  k )  X ( s)
X ( s)
1

2
F ( s) M  s  b  s  k
Modelado de sistemas mecánicos
ESQUEMA
ECUACIONES
 (t )
p(t )
 (t )
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
 (t )
p(t )
B
k
P(s)
p(t )  k  (t )
P(s)
1
k
P(s)
1
Bs
P( s)  k  ( s)
p(t )
B
d 2 (t )
p(t ) 
J
2
dt
P(s)  J  s 2  (s)
J
k
BLOQUE
FUNCIONAL
 (t )
p(t )
d (t )
B
dt
P ( s )  B  s  ( s )
p(t ) 
d 2 (t )
d (t )
p(t ) 

J

 B   (t )  k P(s)
2
dt
dt
P(s)  Js 2(s)  Bs(s)  k(s)
1
Js 2
1
Js 2  Bs  k
(s)
(s)
(s)
(s)
Contenido
Tema 3.- Modelado de sistemas físicos
3.1. Introducción.
3.2. Modelado de sistemas físicos:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
3.2.1. Sistemas eléctricos y electrónicos.
3.2.2. Sistemas mecánicos.
3.2.3. Sistemas electromecánicos.
3.3. Linealización de modelos matemáticos de sistemas no
lineales.
Modelado de sistemas electromecánicos
Conceptos básicos:
– Uso de dispositivos de acoplamiento (t) para la conversión
de magnitudes eléctricas a mecánicas o viceversa.
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Vel. ang.
Cte. del par motor
Sistema de traslación
Sistema de rotación
Modelado de sistemas electromecánicos
Motor de corriente continua:
ia
Ra
La
Cte. del par motor
Km
ea
B
em
Kb
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Coef. fricción viscosa carga
La
 ,T
dia
 Ra ia (t )  em (t )  ea (t )
dt
d
em (t )  K b
dt
?
Cte. de fuerza contra-electromotriz
del motor
T (t )  K m ia (t )
J
d 2
dt 2
B
?
d
 T (t )
dt
Modelado de sistemas electromecánicos
Motor de corriente continua (cont.):
Aplicando las transformadas de Laplace a las ecuaciones:
( La s  Ra ) I a ( s )  E m ( s )  E a ( s )
( La s  Ra ) I a ( s )  E a ( s )  E m ( s )
Em (s)  K b s  (s)
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
T (s)  K m I a (s)
( Js 2  Bs )  ( s )  T ( s )
 (s) 
T (s)
( Js 2  Bs )
Construimos el diagrama de bloques del sistema:
Modelado de sistemas electromecánicos
Motor de corriente continua (cont.):
Función de transferencia del motor CC:
 (s)
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Ea (s)

Km
s[ La Js 2  ( La B  Ra J ) s  Ra B  K m K b ]
La inductancia La en el circuito de inducido generalmente es
pequeña y se puede despreciar, por tanto:
Ganancia del motor
 (s)
Ea (s)

K gm
s (Tm s  1)
K gm 
Km
Ra B  K m K b
Ra J
Tm 
Ra B  K m K b
Cte. de tiempo del motor
Modelado de sistemas electromecánicos
Generador de corriente continua:
if
Ra
Rf
La
ia
Kg
ef
Lf
eg
eo
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática

Lf
di f
dt
 R f i f (t )  e f (t )
e g (t )  K g
d
dt
dia
La
 Ra ia (t )  eo (t )  e g (t )
dt
Cte. de fuerza contra-electromotriz del motor
Modelado de sistemas electromecánicos
Potenciómetro:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
… de rotación
eo 
E
 max
 (t )
… de traslación
eo 
E
xmax
x(t )
Modelado de sistemas electromecánicos
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Tacómetro:
eo  K
Modelado de sistemas electromecánicos
Servomecanismo de posición:
Obtener la función de transferencia de lazo cerrado para el
mecanismo de posición de la figura, suponiendo que la entrada y
la salida del sistema son la posición del eje de entrada y la
posición del eje de salida, respectivamente.
Motor CC
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Ganancia
potenciométrica
Ra
e

Kl
eb
ea
r
Kp
Ganancia
amplificador
La
N1
Reductora
T
ia
c
i f  const N
2
.
r = desplazamiento angular del eje de entrada de referencia, en radianes.
c = desplazamiento angular del eje de salida, en radianes.
θ = desplazamiento angular del eje del motor, en radianes.
f
Modelado de sistemas electromecánicos
Servomecanismo de posición (cont.):
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
Supónganse los siguientes valores numéricos para las
constantes del sistema:
Kl
Kp
ea
eb
Ra
La
ia
Kb
K
J
f
n
= ganancia del detector de error potenciométrico = 24/π voltios/rad
= ganancia del amplificador = 10 voltios/voltio
= tensión aplicada al inducido, en voltios
= fuerza contra-electromotriz, en voltios
= resistencia del devanado de inducido = 0.2 ohmios
= inductancia del devanado de inducido = despreciable
= corriente del devanado de inducido en amperios
= constante de fuerza contra-electromotriz = 5,5 x 10-2 voltios-seg/rad
= constante de par motor = 6 x 10-5 libras-pie/amperio
= momento de inercia del motor + carga = 5,4 x 10-5 libras-pie-seg2
= coeficiente de fricción viscosa motor + carga = 4 x 10-4 libras-pie/rad/seg
= relación de engranajes N1/N2 = 1/10
Modelado de sistemas electromecánicos
Servomecanismo de posición (cont.):
El detector de error potenciométrico:
E(s)  Kl [ R(s)  C(s)]  7,64[ R(s)  C(s)]
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
y para el amplificador:
E a ( s )  K p E ( s )  10 E ( s )
Puesto que la función de transferencia del motor de CC es:
Km
( s )

E a ( s ) s (Tm s  1)
Modelado de sistemas electromecánicos
Servomecanismo de posición (cont.):
Y sabiendo que:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
K
6  10 5
Km 

 0,72
4
5
2
Ra f  KK b (0,2)(4  10 )  (6  10 )(5,5  10 )
Ra J
(0,2)(5,4 105 )
Tm 

 0,13
4
5
2
Ra f  KK b (0,2)(4 10 )  (6 10 )(5,5 10 )
Tenemos:
( s ) 10C ( s )
0,72


E a ( s ) E a ( s ) s (0,13s  1)
Modelado de sistemas electromecánicos
Servomecanismo de posición (cont.):
Construimos el diagrama de bloques del sistema:
R(s )
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática

E (s )
7,64

10
E a (s )
0,72
s (0,13s  1)
(s )
1
10
C (s )
La función de transferencia de lazo cerrado de este sistema es:
C (s)
42,3
 2
R( s ) s  7,7 s  42,3
Contenido
Tema 3.- Modelado de sistemas físicos
3.1. Introducción.
3.2. Modelado de sistemas físicos:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
3.2.1. Sistemas eléctricos y electrónicos.
3.2.2. Sistemas mecánicos.
3.2.3. Sistemas electromecánicos.
3.3. Linealización de modelos matemáticos de sistemas no
lineales.
Linealización de sistemas
Sistemas lineales:
– Relación lineal entre todas sus variables:
F ( x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ))  0
x2 (t )
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
F ( x1 (t ), x2 (t ))  0
x1 (t )
– Tienen la propiedad de la linealidad:
x(t )
v(t )
Sistema
Lineal
Sistema
Lineal
y (t )
Ax(t )  Bv(t )
w(t )
Sistema
Lineal
Ay (t )  Bw(t )
Linealización de sistemas
Sistemas NO lineales:
– Relación lineal entre todas sus variables:
F ( x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ))  0
x2 (t )
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
F ( x1 (t ), x2 (t ))  0
x1 (t )
– Tienen la propiedad de la linealidad:
x(t )
v(t )
Sistema
No Lineal
Sistema
No Lineal
y (t )
Ax(t )  Bv(t )
w(t )
Sistema
No Lineal
Ay (t )  Bw(t )
Linealización de sistemas
Punto de operación
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
En Ingeniería se trabaja usualmente en torno a lo que se denomina punto
de operación. En esas condiciones, los modelos de los sistemas, que
suelen ser por naturaleza no lineales, pueden aproximarse razonablemente
por sistemas lineales, siempre y cuando las variables que definen el
comportamiento del sistema no se alejen demasiado del punto de
operación.
El procedimiento de linealización que se desarrollará aquí se basa en la expansión de
funciones no lineales mediante series de Taylor alrededor del punto de operación.
Linealización de sistemas
Basada en la expansión de series de Taylor:
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
En el caso de un sistema estático y = f(u), se aplicará el método de
las perturbaciones considerando pequeñas variaciones alrededor del
punto de operacion, tal que:
1. La variable independiente u se reemplaza por
2. La variable dependiente o curva y = f(u) que representa la
nolinealidad se reemplaza por
3. Empleando la expansion en serie de Taylor para y = f(u) y
tomando la primera derivada (aprox. a la tangente):
Linealización de sistemas
Basada en la expansión de series de Taylor (cont.):
En el caso de un sistema multivariable
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
empleando la expansion en serie de Taylor en el punto de operación
nominal dado por:
Linealización de sistemas
Basada en la expansión de series de Taylor (cont.):
En el caso de un sistema dinámico
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
empleando el mismo procedimiento de aproximación a las derivadas
primeras:
Linealización de sistemas
Basada en la expansión de series de Taylor (cont.):
•
El punto de operación nominal
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
debe ser necesariamente solución de la ecuación diferencial que
define al sistema, y se obtiene haciendo nulas las derivadas de la
misma.
•
El sistema dinámico linealizado se obtiene a partir de
donde las derivadas parciales se calculan en el punto de
operación nomina
Linealización de sistemas
Ventajas e inconvenientes:
– Ventajas:
• Elimina las no linealidades de las ecuaciones y las constantes
independientes.
Departamento de Ingeniería
de Sistemas y Automática
• Las variables quedan referidas a un sistema de ejes centrados
en el punto de operación elegido.
– Inconvenientes:
• Hay tantas posibles aproximaciones lineales como puntos de
operación.
• Cada modelo sólo es válido para pequeñas variaciones
alrededor de dicho punto.
• Habrá errores de cálculo fuera del punto de operación, que
serán mayores cuanto más se aleja el estado del sistema de
dicho punto elegido.