ecuación ordinaria de una elipse vertical con centro fuera del origen

ECUACIÓN ORDINARIA DE UNA ELIPSE VERTICAL CON CENTRO
FUERA DEL ORIGEN
Si colocamos la elipse en un sistema de coordenadas, de manera que el eje
focal sea paralelo al eje Y, tendremos lo que llamaremos una elipse vertical, con
estas características:
 El eje focal es vertical, paralelo al
eje Y.
V´
 El centro de la elipse tiene coordenadas C(h, k).
F
 Las coordenadas de los focos son
F(h, k+c) y F´ (h, k - c)
 La distancia focal es FF´ =2c
A
A’
C
F´
 La constante a nuevamente es la
distancia del centro a uno de los vértices.
 Las coordenadas de los vértices
son V(h, k+a) y V´(h, k - a)
 El eje mayor mide 2a
V´
 La excentricidad es
 Las coordenadas de A y A’ son: A(h - b, k) y A´(h+b, k).
 Por tanto la longitud del eje menor de la elipse es AA’ = 2b
 La relación entre las constantes de la elipse es a2 = b2 + c2; b es la longitud
del semieje menor.
 Para las constantes que la caracterizan: a  b y a  c.
2b 2
 Cada lado recto de la elipse mide
.
a
Esta elipse conserva todas las características propias de la curva que ya conocemos, como: longitud de sus ejes, lado recto, distancia focal y excentricidad.
Sólo ha cambiado la posición de los ejes, focos y vértices.
Para obtener la ecuación ordinaria de la elipse vertical con centro fuera del
origen, partimos nuevamente de la condición geométrica que define a la elipse:
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Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas
PF  PF´ 2a
Suponemos que existe al menos un punto P(x, y) que cumple tal condición y
efectuando un desarrollo similar al que realizamos para llegar a la ecuación ordinaria de la elipse horizontal, arribaríamos a la ecuación ordinaria de la elipse vertical, que es:
 x  h
b2
2
y k

a2
2
 1 ………………………………………….. (3)
Escrita también en la forma
a 2  x  h   b2  y  k   1 …………………….. (4)
2
2
Ejemplo 1
Se tiene la ecuación
Determinar qué tipo de elipse es, las
coordenadas del centro, sus focos, sus
vértices, longitud del lado recto, excentricidad y bosquejar su gráfica.
Solución:
La ecuación corresponde a una elipse vertical (3) pues 64 > 25
El centro está en C(0, 3), los focos son
y
Los vértices son
La longitud del lado recto es
2b2 50 25
c
39
y la excentricidad e  


 0.78
a
8
4
a
8
La gráfica puede bosquejarse localizando en el sistema de coordenadas cartesianas los vértices, focos, los extremos del eje menor. Sobre cada foco enconUnidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas
4 - 18
trar los extremos del lado recto. De esta manera tendremos ocho puntos que pueden darnos una idea aproximada de la curva, cuidando de redondear suavemente
el trazo, de manera que la curva no tenga puntas ni quiebres bruscos.
Y se vería así:
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1
-1 0 1 2 3 4 5 6
-2
-3
-4
-5
-6
Ejemplo 2
Considerar la ecuación
 x  2
4
2
 y  2

9
2
1
Determinar qué tipo de elipse es, las coordenadas del centro, sus focos, sus
vértices, longitud del lado recto, excentricidad y bosquejar su gráfica.
Solución:
Nuevamente la ecuación corresponde a una elipse vertical con centro en
C  2, 2  .
a2  9, a  3; b2  4, b  2 con lo que c  9  4  5  2.23
Los focos son
F  2,  2  2.23  F  2,  0.23 ,
F´ 2, 2  2.23  F´ 2, 4.23
Los vértices son V(-2, -2+4)=V(-2, 2) y V´(-2, -2-4)=V´(-2,-6)
2b2 2(4) 8
c
5


La longitud del lado recto es
y la excentricidad e  
a
3
3
a
3
La gráfica puede bosquejarse localizando en el sistema de coordenadas cartesianas los vértices, focos, los extremos del eje menor. Sobre cada foco encontrar los extremos del lado recto. De esta manera tendremos ocho puntos que pueden darnos una idea aproximada de la curva, cuidando de redondear suavemente
el trazo, de manera que la curva no tenga puntas ni quiebres bruscos.
4 - 19
Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas
Y se vería así
1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Ejercicio 1
1.
Obtener elementos faltantes, lado recto y la ecuación
de la elipse si es horizontal, tiene su centro C(2, -4), un foco en F(1
2,-4) y su excentricidad es e  .
2
Para cada una de las siguientes ecuaciones, encontrar las coordenadas del
centro de la elipse, de los vértices y focos, así como las longitudes de los ejes y
del lado recto, el valor de la excentricidad y bosquejar su gráfica.
2.
( x  5) 2 ( y  2) 2

1
36
49
3.
( x  1) 2 ( y  4) 2

1
16
7
Obtener la ecuación ordinaria de la elipse que cumple las condiciones dadas
en cada inciso:
3. Sus focos están en los puntos (5,4) y (-5,4) y la longitud de su eje menor
es 6 unidades.
2
4. Sus vértices son los puntos (2,1) y (8,1) y cada lado recto mide .
3
1
5. Sus focos son (-3,2) y (-3,-6) y su excentricidad es
.
2
6.
Su centro es el punto (2,-1), uno de sus vértices es (2,3) y uno de los
focos es (2,0).
7.
Tiene sus vértices en (2,3) y (-4,3) y un foco en (0,3).
Unidad 4 Elipse, Circunferencia y sus ecuaciones cartesianas
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