soluciones a los problemas

1
Un ciclista marcha escapado en una carrera, pasando por un punto situado a 30 Km. de la meta a 48 Km./h.
El pelotón pasa por dicho punto 7 minutos después, a una velocidad de 60 Km./h. ¿Cuánto tarda el pelotón
en alcanzar al escapado, si mantienen constantes sus velocidades? ¿Ganará el escapado la carrera?
Solución:
Representamos por x el tiempo desde que pasa el pelotón por el punto del enunciado, hasta que lo alcanza,
expresado en horas. Los espacios (velocidad por el tiempo) recorridos por el ciclista escapado y el pelotón, desde
7
48( x +
) = 60 x
60
el punto del enunciado hasta que el pelotón lo alcanza, son iguales:
7
7·48
28
48
= (60 − 48 )x ⇒ x =
=
horas = 28 min utos
60
12·60 60
Operando:
La distancia recorrida será:
28
60km. / h· h = 28 km
60
.
El escapado no ganará la carrera, le alcanzan a 2 Km de la meta.
2
Para que las soluciones de
b?
ax 2 + bx = 0
, a ≠ 0 , sean números enteros, ¿qué condición deben cumplir a y
Solución:
Se trata de una ecuación incompleta de segundo grado, cuyas soluciones se obtienen sacando factor común:
−b
x=
a
→
x(ax + b) = 0
x = 0,
. Para que la última sea un número entero, b debe ser un múltiplo de a.
3
Un triángulo rectángulo tiene las medidas de sus lados iguales a tres números pares consecutivos.
¿Cuáles son?
Solución:
Sean los tres números pares consecutivos: 2x, 2x - 2 y 2x + 2.
(2 x )2 + (2x − 2)2 = (2x + 2)2
El teorema de Pitágoras dice:
x 2 − 4 x = 0.
Operando llegamos a la ecuación incompleta:
Las soluciones son: x = 0; x = 4. La primera no tiene sentido en este problema. La segunda nos da para los lados
los valores: 6, 8 y 10.
4
La suma de un número más su inverso es 13/6. Calcúlalo.
Solución:
Lamamos x al número pedido.
1 13
x+ =
x
6
El enunciado dice:
Quitamos denominadores y ordenamos los términos:
Resolvemos:
6 x 2 − 13 x + 6 = 0
3

13 ± 169 − 144 13 ± 5  2
x=
=
=
12
12
2
 3
.
5
Un cesto tiene 72 unidades entre manzanas, peras y naranjas. Sabiendo que el número de manzanas es
cinco veces el de peras y que el de naranjas es la semisuma de los otros dos, halla las unidades de cada
tipo de fruta que contiene el cesto.
Solución:
Número de peras, x
Número de manzanas, 5x
x + 5x
2
Número de naranjas,
x + 5x
x + 5x
= 72
2
En el cesto hay 72 unidades:
2x + 10 x + x + 5 x = 144
Multiplicando por 2 y quitando denominadores:
Despejando: x = 8
Por tanto, el cesto tiene 8 peras, 40 manzanas y 24 naranjas.
6
2
El perímetro de un campo rectangular mide 340 m., y su superficie es de 7000 m . Halla sus dimensiones.
Solución:
Sea x uno de los lados del rectángulo.
Dos lados contiguos del rectángulo (semiperímetro) suman 170 m., luego, el segundo lado del rectángulo es 170 x.
La superficie nos proporciona la siguiente ecuación: x(170 - x) = 7000.
x 2 − 170 x + 7000 = 0.
Operando obtenemos:
Resolvemos:
170 ± 28900 − 28000 170 ± 30 100
x=
=
=
2
2
70
.
Los lados del rectángulo miden 100 m y 70 m.