TEMA 8: ECUACIONES PROBLEMAS Ejercicio 1.

TEMA 8: ECUACIONES
PROBLEMAS
Ejercicio 1.Un ganadero quiere mezclar cierta cantidad de maíz de 0,17 euros el kilo, con 300 kilos
de cebada de 0,13 euros el kilo, para obtener un pienso para gallinas que resulte a 0,15
euros el kilo. ¿Qué cantidad de maíz necesitamos?
Ejercicio 2.Al aumentar 3 cm el lado de un octógono regular, su perímetro resulta ser de 104 cm.
¿Cuál era el lado del octógono primitivo?
Ejercicio 3.La suma de un número más la mitad de su cuadrado es 84. Calcúlalo.
Ejercicio 4.El perímetro de un rectángulo mide 90 m. Si el lado mayor mide 5 m más que el menor,
¿cuánto miden sus lados?
Ejercicio 5.Marta tiene 7 años. Cuando alcance la edad de su madre, la suma de ambas edades será
de 104 años. ¿Cuál es la edad actual de su madre?
Ejercicio 6.Un cesto tiene 72 unidades entre manzanas, peras y naranjas. Sabiendo que el número
de manzanas es cinco veces el de peras y que el de naranjas es la semisuma de los
otros dos, halla las unidades de cada tipo de fruta que contiene el cesto.
Ejercicio 7.Un cuadrado tiene 144 m2 más de superficie que otro, y éste 4 m menos de lado que el
primero. Halla los lados de dichos cuadrados.
Ejercicio 8.El perímetro de un campo rectangular mide 340 m, y su superficie es de 7000 m 2. Halla
sus dimensiones.
Ejercicio 9.Una casa rectangular cuyos lados miden 14 m y 18 m, se encuentra rodeada por un
jardín de anchura constante, cuya superficie es de 228 m 2. ¿Qué anchura tiene el jardín?
Ejercicio 10.Para que las soluciones de ax 2  bx  0, a  0, sean números enteros, ¿qué condición
deben cumplir a y b?
Ejercicio 11.Un triángulo rectángulo tiene las medidas de sus lados iguales a tres números pares
consecutivos. ¿Cuáles son?
SOLUCIONES
Ejercicio 1.Representamos la cantidad de maíz con x.
El coste del pienso debe ser igual al valor del mismo después de la mezcla: 300 · 0,13 + 0,17 ·
x = 0,15(300 + x).
Agrupando términos y resolviendo:
0,02x = 6  x  300 kilos.
Ejercicio 2.Llamando x al lado del octógono inicial, x + 3 es el lado del nuevo octógono.
La ecuación es: 8(x + 3) = 104
Su solución: x = 10
Por tanto, el lado del octógono inicial era de 10 cm.
Ejercicio 3.Llamamos x al número pedido.
El enunciado dice:
x
x2
 84
2
Quitamos denominadores:
x 2  2x  168  0
Resolvemos:
x
 2  4  672  2  26 
12


2
2

 14
Hay dos números que lo cumplen: 12 y 14.
Ejercicio 4.Representamos el lado menor del rectángulo con x. El mayor será x + 5.
El perímetro es: 2x + 2(x + 5) = 90.
Agrupando los términos:
4x  80  x  20 m.
Ejercicio 5.Si x es la edad actual de la madre, el tiempo que ha de transcurrir para que Marta tenga la
edad de su madre es x 7.
Edad actual
Edad dentro de x 7 años
Marta
7
7 + x 7 = x
Madre
x
x + x 7 = 2x 7
Dentro de x 7 años la suma de sus edades será 104: x + 2x 7 = 104  x = 37
La madre tiene ahora 37 años.
Ejercicio 6.Número de peras: x
Número de manzanas: 5x
x  5x
Número de naranjas:
2
En el cesto hay 72 unidades:
x  5x
x  5x
 72
2
Multiplicando por 2 y quitando denominadores:
2x  10 x  x  5 x  144
Despejando: x = 8
Por tanto, el cesto tiene 8 peras, 40 manzanas y 24 naranjas.
Ejercicio 7.Sea x el lado del cuadrado mayor. El lado del segundo cuadrado es: x  4.
La relación que hay entre las superficies es:
x2  ( x  4)2  144.
Operando y simplificando queda: 8x = 160, es decir, x = 20.
El lado del primer cuadrado mide 20 m y el del segundo 16 m.
Ejercicio 8.Sea x uno de los lados del rectángulo.
Dos lados contiguos del rectángulo (semiperímetro) suman 170 m, luego, el segundo lado del
rectángulo es 170  x.
La superficie nos proporciona la siguiente ecuación: x(170  x) = 7000.
Operando obtenemos:
x 2  170x  7000  0.
Resolvemos:
x
170  28900  28000 170  30 
100


2
2

70
Los lados del rectángulo miden 100 m y 70 m.
Ejercicio 9.Anchura del jardín: x
Área del jardín: el perímetro de la casa por el ancho, más los cuatro cuadrados de las
esquinas.
(2  14  2  18)x  4x2  228
Operando y simplificando obtenemos:
x 2  16x  57  0.
Resolvemos:
x
 16  256  228  16  22 
 19


2
2

3
La solución x = 19 no tiene sentido en este problema. Así x = 3 m.
Ejercicio 10.Se trata de una ecuación incompleta de segundo grado, cuyas soluciones se obtienen sacando
factor común:
b
x(ax + b) = 0  x = 0, x 
.
a
Para que la última sea un número entero, b debe ser un múltiplo de a.
Ejercicio 11.Sean los tres números pares consecutivos: 2x, 2x  2 y 2x + 2.
El teorema de Pitágoras dice:
(2x)2  (2x  2)2  (2x  2)2
Operando llegamos a la ecuación incompleta:
x 2  4 x  0.
Las soluciones son: x = 0; x = 4.
La primera no tiene sentido en este problema. La segunda nos da para los lados los valores: 6,
8 y 10.