Dinámica Impulsiva

Departamento: Física Aplicada III
Mecánica Racional (Ingeniería Industrial)
Curso 2007-8.
Dinámica Impulsiva
1. Introducción
a. Ejemplos de Fenómenos con cambios bruscos en las velocidades
i.
Colisiones: futbol, tenis ... etc.
ii. Cambios bruscos en las ligaduras
Hilo que se rompe
Caida libre hasta que aparece la ligadura hilo
b. Fenómenos de velocidades discontinuas implican fuerzas infinitas
c. Consideraciones dinámicas
i.
Teorema del impulso mecánico y de la cantidad de movimiento
G
G d ( mvG )
G
τ +ε G
Δmv
G
→ Δmv = lim ∫ Fdt → F = lim
F=
ε → 0 τ −ε
ε → 0 2ε
dt
ii.
Caso de velocidades continuas
G
G
Δmv = 0 , F finita
iii. Caso de velocidades discontinuas
G
G
Δmv ≠ 0 , F infinita
2. Herramientas
a. Teorema del valor medio:
∫
b
a
f ( x) dx = (b − a ) f (τ ),
a ≤τ ≤ b
τ +ε G
G
b. Teorema del impulso mecánico y de la cantidad de movimiento: Δmv = lim ∫ Fdt
ε → 0 τ −ε
c. Delta de Dirac
i.
ii.
⎧
0, t ≠ τ
⎪
⎪
∞, t = τ
Definición: δ (t − τ ) = ⎨
⎪ +∞
⎪⎩ ∫−∞ δ (t − τ )dt = 1
Propiedades:
1.
2.
∫
∫
+∞
−∞
+∞
−∞
τ +ε
∫τ ε δ (t − τ )dt =1
τ ε
f (t )δ (t − τ )dt = f (τ ) lim ∫ δ (t − τ )dt = f (τ )
τ ε
ε
δ (t − τ )dt =lim
ε →0
−
+
→0
−
3. Definiciones
a. Fuerzas percusivas:
⎧
0, t ≠ τ
⎪
G G
⎪
∞, t = τ
F = P δ (t − τ ) = ⎨
G
⎪ +∞ G
⎪⎩ ∫−∞ Pδ (t − τ )dt = P
b. Percusión: Impulso mecánico de una fuerza percusiva
G
τ +ε G
G
P = Δmv = lim ∫ Fdt
ε → 0 τ −ε
Mecánica Racional (Industriales)
Dinámica impulsiva
4. Leyes del movimiento impulsivo
a. En el instante de la percusión solo se tiene en cuenta los efectos de las fuerzas
percusivas y no los debidos a las ordinarias.
τ +ε G
τ +ε G
G
Δmv = lim ∫ F ( ord .) dt + lim ∫ Pδ (t − τ )dt
ε → 0 τ −ε
ε → 0 τ −ε
G ( ord .)
G
G
G G
Δmv = lim ⎡⎣ F
(τ )2ε ⎤⎦ + P → Δmv = P
ε →0
b. En el instante de la percusión el punto no cambia de posición
τ +ε G
G
G
Δ s = lim ∫ v dt = lim v (τ ) 2 ε = 0
ε → 0 τ −ε
ε →0
G
Cuando Δt → 0, las velocidades se mantienen finitas, en consecuencia Δs → 0
c. Gráficas
5. Dinámica impulsiva del punto material
G
G
a. Expresión del segundo principio de la dinámica: P = Δmv
G
G G
G
(Sustitución F → P, a → Δv )
b. Expresión del teorema de la energía: W=ΔT
G G
τ +ε G G
τ +ε G
G
W = lim ∫ F v dt = lim v (τ ) ∫ F dt = P ⋅ v (τ )
τ −ε
ε → 0 τ −ε
ε →0
G G
1 G2 G2
G G v+ + v−
ΔT = m(v+ − v− ); ΔT = m(v+ − v− )
2
2
G vG+ + vG−
ΔT = P
;
2
G G
v +v
G
v (τ ) = + − ; ( Valor de Cauchy de la discontinuidad)
2
6. Dinámica impulsiva de los sistemas de partículas
a. Expresión del segundo principio
G
G G
Para cada partícula: Δmi vi = Pi + ∑ Pi , j
j
Para el sistema:
G
G
G
∑ Δmi vi = ∑ Pi + ∑ Pi, j
i
G
∑ Δm v
i i
i
i, j
G
G
G
G
G
1
1
1
P
=
P
+
P
=
P
+
P
(
∑
∑ i, j 2 ∑
∑ i, j j ,i ) = 0
i, j
j ,i
2 i, j
2 i, j
i, j
j ,i
G
= ΔMvG ,
i
G
G
∑ Pi = ΔMvG
i
G
G
b. Teorema del Momento cinético: ΔLO = M O*
G G
G
G
τ +ε
ΔLO = lim ∫
M O + C × vxO,1 dt
ε → 0 τ −ε
G
Donde M O es el momento de las fuerzas externas, tanto ordinarias como percusivas
(
)
JJJG G
JJJG G
G
G
M O = ∑ OAi × ( Fi ( ord ) +Fi ( perc.) ) = ∑ OAi ×Fi ( perc.) Se ignoran las fuerzas ordinarias.
i
i
JJJG
JJJG G
G
τ +ε G
lim ∫ M O dt = ∑ OAi × lim ∫ Fi ( perc.) dt = ∑ OAi ×Pi
ε → 0 τ −ε
ε → 0 τ −ε
i
i
JJJG G
G*
∑ OAi × Pi = M O ; Momento percusivo externo
τ +ε
i
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Mecánica Racional (Industriales)
lim ∫
τ +ε
ε → 0 τ −ε
Dinámica impulsiva
G G
G G
C × vxO,1dt = lim C × vxO,1 2ε = 0
ε →0
G
G
ΔLO = M O*
(
)
Caso del sólido rígido
JJJG
JJJG
G
G
G
G
GO I
GO I
LO = OG × Mv2,1
+ I (O)ω2,1 , ΔLO = OG × M Δv2,1
+ I (O)Δω2,1
G
I
G
Si O es un punto fijo ó O=G, ΔLO = I (O)Δω2,1
c. Teorema de la energía cinética
G
G
1
G2 G2
G
G v+.i + v−.i
ΔT = ∑ mi (v+ , i − v+ , i ) = ∑ mi (v+ , i −v+ , i )
2 i
2
i
G
G
G ⎞ v+.i + v−.i
⎛G
ΔT = ∑ ⎜ Pi + ∑ Pi , j ⎟
2
i ⎝
j
⎠
G
G
G
G
G
G
G v+.i + v−.i 1
G v+.i + v−.i 1
G v+. j + v−. j
Pi , j
= ∑ Pi , j
+ ∑ Pj ,i
= ( I *)
∑
2
2 i, j
2
2 j ,i
2
i, j
G
G
Pi , j = − Pj ,i →
G
G
G
G
G v+.i − v+. j 1
G v−.i − v−. j
1
+ ∑ Pi , j
( I *) = ∑ Pi , j
2 i, j
2
2 i, j
2
G G
G JJJJG
En el caso del sólido rígido vi − v j = ω × Aj Ai :
JJJJG
G G JJJJG G JJJJG
G G
G
(*) = ∑ Pi ,j (ω + × Aj Ai + ω − × Aj Ai ) = ∑ Pi ,j [(ω + + ω − ) × Aj Ai ] = 0
i, j
i, j
Donde suponemos que las percusiones externas obedecen al tercer principio de la
G JJJJG
G
G
dinámica y están situadas en la línea que une las partículas Pi , j & Aj Ai y Pi , j = − Pj ,i
En conclusión:
G
G
G v+. i + v−. i
ΔT = ∑ Pi
2
i
7. Dinámica impulsiva analítica
d ∂T ∂T
Ecuaciones de Lagrange
−
= Qk
dt ∂qk ∂qk
Multiplicando por dt e integrando se obtiene
τ +ε ⎛ d ∂T ⎞
τ +ε ∂T
τ +ε
dt − lim ∫
dt = lim ∫ Qk dt
lim ∫ ⎜
⎟
ε → 0 τ −ε
ε →0 τ −ε ∂q
ε → 0 τ −ε
k
⎝ dt ∂qk ⎠
lim ∫
τ +ε
ε → 0 τ −ε
⎛ d ∂T ⎞
⎛ ∂T ⎞ ⎛ ∂T ⎞ ⎛ ∂T ⎞
⎜
⎟dt = Δ ⎜
⎟=⎜
⎟ −⎜
⎟
⎝ dt ∂qk ⎠
⎝ ∂qk ⎠ ⎝ ∂qk ⎠ + ⎝ ∂qk ⎠ −
⎞
2ε ⎟ = 0
⎟
ε → 0 τ −ε
t =τ
⎠
G ∂rGi
τ +ε
*
*
lim ∫ Qk dt = Qk donde Qk = ∑ Pi
son las percusiones generalizadas.
ε → 0 τ −ε
∂qk
i
En resumen:
⎛ ∂T ⎞
*
Δ⎜
⎟ = Qk
∂
q
⎝ k⎠
lim ∫
τ +ε
⎛ ∂T
∂T
dt = lim ⎜
ε → 0 ⎜ ∂q
∂qk
⎝ k
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Mecánica Racional (Industriales)
Dinámica impulsiva
8. Aplicaciones
a. Un disco cilíndrico de radio R y masa M,
situado en un plano horizontal, rota con
G
G
ω 2,1 = θ− k = cte. alrededor de su eje de
Y
t=(t0)-
revolución. En t=t0 se le sujeta por un punto A
de su periferia, como consecuencia comienza a
G
G
rotar con ω 2,1 = θ+ k , alrededor del eje que pasa
por A y es generatriz. Determinar la nueva
velocidad angular de rotación
θ−
X
A
G
G
G
Solución vectorial: ΔLA = M A*
Desvinculación:
En t=t0- el punto G es fijo y la fuerza de reacción que lo vincula no se tendrá en
cuenta porG ser de tipo ordinario. En el instante t=t0, se produce en A una percusión
G
vincular Φ* que cambia instantáneamente su velocidad v A (t0+ ) = 0 . A partir del
instante t=t0+ de nuevo actuará en A una fuerza de tipo ordinario que lo mantendrá
fijo.
G
G
Tomando momentos en A en el instante de la percusión: ΔLA = M A*
G
G
Como la única percusión Φ* está aplicada en A, M A* = 0
G
G
G
ΔLA = 0 → LA = LA
( ) ( )
+
−
Llamando ω − = θ− ; ω + = θ+ , aplicando el teorema de König se obtiene
JJJG
G
I
G
I
GG
LA = AG × M ( v2,1
) + I (G ) (ωG2,1 )− , ( vG2,1G ) = 0 → LA = I (G ) (ωG2,1 )− ;
( )
G
LA
( )
−
−
G
(L )
A
+
−
−
( )
−
⎛1 0 0⎞⎛ 0 ⎞
G
1
1
2⎜
= MR ⎜ 0 1 0 ⎟⎟ ⎜⎜ 0 ⎟⎟ = MR 2ω − k
4
⎜ 0 0 2 ⎟ ⎜ω ⎟ 2
⎝
⎠⎝ − ⎠
I
G
= I ( A)ω + ;
⎛ 0 0 0⎞
⎛1 0 0⎞
⎛ 0 0 0⎞
⎛ 1 0 0⎞
I
I
1
⎟
⎟
⎟ 1
⎟
2⎜
2⎜
2⎜
2⎜
I ( A) = I (G ) + MR ⎜ 0 1 0 ⎟ = MR ⎜ 0 1 0 ⎟ + MR ⎜ 0 1 0 ⎟ = MR ⎜ 0 5 0 ⎟
4
⎜0 0 1⎟
⎜ 0 0 2⎟
⎜0 0 1⎟ 4
⎜ 0 0 6⎟
⎝
⎠"2"
⎝
⎠"2"
⎝
⎠
⎝
⎠"2"
G
LA
( )
+
⎛1 0 0⎞ ⎛ 0 ⎞
G
1
3
⎜
⎟ ⎜ ⎟
= MR 2 ⎜ 0 5 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟
= MR 2ω + k ;
4
2
⎜ 0 0 6 ⎟ ⎜ω ⎟
⎝
⎠"2" ⎝ + ⎠"1","2"
Igualando y despejando se obtiene: ω + =
Y
t=t0
ω−
θ+
3
G
⎛ ∂T
Solución analítica: Δ ⎜
⎝ ∂qk
Φ∗
X
A
⎞
*
⎟ = Qk
⎠
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Mecánica Racional (Industriales)
Dinámica impulsiva
1 G I
1 G G
G
Para un punto O fijo se cumple: T = ω 2,1 I (O) ω 2,1 ; T = ω 2,1 LO
2
2
2
2
1
3
En nuestro caso: T− = MR 2 θ− ;
T+ = MR 2 θ+
4
4
Las percusiones que se han de tener en cuenta son las activas, y no las vinculares
luego Qk* = 0 .
( )
1
3
⎛ ∂T ⎞ ⎛ ∂T ⎞
2 2 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ → MR θ − = MR θ +
4
4
⎝ ∂θ ⎠ − ⎝ ∂θ ⎠ +
( )
θ
→ θ+ = −
3
b. Una varilla de longitud a está suspendida verticalmente
mediante una articulación
en el extremo O. Se le aplica una
G
percusión horizontal P en un punto A que dista b de O.
Determinar: a) La reacción vincular en O. b) Valor de b para
que se anule la reacción vincular en O.
Solución vectorial:
G
Desvinculación en el instante de la percusión: Φ*, percusión
vincular aplicada
G * G en O
GG
T.C.M.: Φ + P = MΔv2,1
JJJG G O
G
GG GO G
GG
= v2,1 + ω 2,1 × OG; v2,1
= 0; ( v2,1
v2,1
)− = 0; ( vG2,1G )+ = a2 θ+ i1
G
G G
GG
⎞G
Φ* = M ( v2,1
θ+ −P⎟ i1
)+ −P; Φ* = ⎛⎜⎝ Ma
2
⎠
G
G*
G * JJJG G
M O = OA × P
T.M.C: ΔLO = M O ;
JJJG
G
I
G
I
G
G
GO
LO = OG × Mv2,1
+ I (O) ω 2,1 , Al ser O un punto fijo LO = I (O) ω 2,1
G
I
G
G
ΔLO = I (O) (ω 2,1 )+ − LO ;
( )
O
Φ∗
X
G
P
θ
A
Y
−
⎛ 1 0 0 ⎞⎛ 0 ⎞
G
G
1
1
⎜
⎟⎜
⎟
= 0;
ΔLO = Ma 2 ⎜ 0 0 0 ⎟⎜ 0 ⎟ = − Ma 2θ+ k1
−
3
3
⎜ 0 0 1 ⎟⎜ −θ ⎟
⎝
⎠⎝ + ⎠
JJJG G G
G
G
G
M O* = OA × P = bj1 × Pi1 = − bPk1
G
LO
( )
3Pb
Igualando y despejando se obtiene θ+ =
Ma 2
G
⎛ Ma ⎞G
Sustituyendo este valor en la ecuación del vínculo Φ * = ⎜
θ + − P ⎟ i1 , se obtiene
⎝ 2
⎠
G * ⎛ 3Pb
G
⎞
Φ =⎜
− P ⎟ i1 ;
⎝ 2a
⎠
2
Para que se anule la percusión vincular es preciso que b = a
3
⎛ ∂T ⎞
*
Solución analítica: Δ ⎜
⎟ = Qθ
θ
∂
⎝
⎠
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Mecánica Racional (Industriales)
Dinámica impulsiva
1
M a 2θ 2 ;
6
G ∂rG G
G
G
G
G
G
*
Qθ = P
; r = b ( sen θ i + cos θ j ); Qθ* = Pi ⋅ b(cos θ i − sen θ j )θ =0
∂θ
*
Qθ = Pb ;
T=
1
⎛ ∂T ⎞ 1
2 2 Δ⎜
⎟ = Ma (θ + − θ − ) = Ma θ +
3
⎝ ∂θ ⎠ 3
igualando y despejando se obtiene
θ+ =
3Pb
Ma 2
G
Para calcular la percusión vincular Φ* debemos liberar las coordenadas y sustituir el
vínculo por su reacción vincular. Esta reacción tendrá solo proyección sobre OX,
porque no existen percusiones activas en dirección OY. en consecuencia solo
liberaremos la coordenada x afectada por la reacción vincular. Resulta un sistema
con dos coordenadas x,θ y una ecuación vincular
Ψ≡ x=0;
Las ecuaciones de Lagrange deben expresarse con las percusiones vinculares
liberadas
⎛ ∂T ⎞
*
*
Δ⎜
⎟ = Qk + Φ k
∂
q
⎝ k⎠
G
G
G*
Donde Φ = λ∇Ψ , y ∇ es el operador gradiente cuyas componentes covariantes son
∂Ψ
. En nuestro caso
Φ*q = λ
∂q
Φ*x = λ , Φθ* = 0
G
Las componentes covariantes de la percusión activa P se obtienen mediante la
JJJJG
G ∂vG A
G ∂ O1 A
expresión Qk = P ⋅
, ó bien Qk = P ⋅
donde
∂qk
∂qk
JJJJG
G
G
G
G
G
G
G
O A = x i + b ( sen θ i + cos θ j ) y v A = x i + bθ (cos θ i − senθ j ) es decir
1
Qx = P , Qy = 0 , Qθ = Pb cos θ , para θ=0 Qθ = Pb
La energía cinética puede calcularse mediante el teorema de König ó bien a partir de
la expresión
1
1 GI
G
G G G JJJG
T = M (v O ) 2 + ω I (O) ω + v O (ω × OG )
2
2
donde
⎛1
⎞
JJJG a
G
I
G
G
G
G
GO
1
⎜
⎟
2
v = x i , ω = −θ k , I (O) = Ma ⎜
0 ⎟ , OG = ( sen θ i + cosθ j )
2
3
⎜
1 ⎟⎠"2"
⎝
Operando se obtiene
1
1
a
T = Mx 2 + Ma 2θ 2 + M x θ cosθ
2
6
2
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Mecánica Racional (Industriales)
Dinámica impulsiva
⎛ ∂T ⎞
*
*
La ecuación de Lagrange para la coordenada x es Δ ⎜
⎟ = Qx + Φ x
⎝ ∂x ⎠
∂T
a
∂T
a
= Mx + M θ
= Mx + M θ cos θ , particularizando para θ=0,
2
2
∂x
∂x
⎛ ∂T ⎞
=0,
⎜ ⎟
⎝ ∂x ⎠t =0−
a
⎛ ∂T ⎞
= M θ+
⎜ ⎟
2
⎝ ∂x ⎠t =0+
Qx* + Φ*x = Pb + λ
a
3Pb
y despejando se obtiene
M θ+ = Pb + λ Sustituyendo θ+ =
Ma 2
2
⎛ 3Pb
⎞
λ=⎜
− P ⎟ que es el valor de la percusión vincular
⎝ 2a
⎠
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