Matemáticas Financieras Avanzadas

Matemáticas Financieras
Avanzadas
MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS
Sesión No. 4
Nombre: Interés compuesto. Calculo de Monto, Valor actual y tiempo.
Objetivo
Al término de la sesión el estudiante aplicará el cálculo del valor actual de una
cantidad que recibirá o pagará en un tiempo futuro, a través de una serie de
ejercicios aplicativos.
Contextualización
En esta sesión aprenderemos a calcular el valor actual o presente en un
momento determinado, de una cantidad que se recibirá o pagará en un tiempo
posterior.
Asimismo, comprenderás a calcular el valor actual de deudas que devengan
interés.
Además, se calculará el tiempo en aquellas situaciones financieras donde esta
variable se desconoce.
Fuente: http://lanuevaeconomia.com/wp-content/uploads/2011/05/Tasa-de-cambio-tasa-de-inflaci%C3%B3n-y-Valor-Actual-Constante-en-proyectos-deinversi%C3%B3n.gif
1
MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS
Introducción al Tema
A veces se sabe el monto que debe pagarse y se requiere determinar el capital a
invertir a una tasa de interés determinada, para llegar a tener dicho monto; se
está entonces en presencia de un problema denominado de valor actual o valor
presente.
Fuente http://ciberconta.unizar.es/ifinanzas/dibujos/valoractualyfinal.JPG
2
MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS
Explicación
Valor actual o presente
Para calcularlo se retorna a la fórmula: M = C (1+i)n
𝑀
En la cual se despeja el capital: 𝐶 = (1+𝑖)𝑛 = 𝑀(1 + 𝑖)−𝑛
Generalizando, puede decirse que si se conocen tres de las cuatro variables
involucradas: monto (M), capital(C), tiempo(n) y tasa de interés (i), puede
calcularse la cuarta.
Ejemplo 1: Juan Pérez desea adquirir una casa con valor de $850,000. Le
pidieron que entregue 50% de anticipo y 50% en un plazo de año y medio, al
término de la construcción y entrega del inmueble. ¿Cuánto dinero debe
depositar en el banco en este momento para poder garantizar la liquidación
de su adeudo, si la tasa de interés vigente es de 6% anual capitalizable
mensualmente?
Solución: Sr. Pérez paga en este momento $425,000 (50% de la operación) y
debe pagar el otro 50% en un plazo de año y medio, como se aprecia en la
siguiente gráfica:
3
MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS
Para calcular la cantidad a depositar se utiliza la fórmula de capital:
𝑀
𝐶 = (1+𝑖)𝑛 = 𝑀(1 + 𝑖)−𝑛
𝐶 = 425,000 �1 +
0.06 −18
12
�
n = año y medio = 18 meses
= 388,507.87
un año = 12 meses
A fin de garantizar el pago de su adeudo, Sr. Pérez debe depositar $388,507.87,
los cuales, con la reinversión de los intereses se incrementarán hasta formar el
monto de $425,000 en un plazo de año y medio.
Como se ve en este ejemplo C es el valor actual de M. esto es, puede
considerarse que el capital C y el monto son dos valores equivalentes dada una
determinada tasa de interés y un período también determinado.
En el campo de los negocios es indispensable considerar que el valor del dinero
cambia a través del tiempo, pues muchas veces se realizan inversiones en el
momento presente que generan flujos de efectivo que se recibirán dentro de uno
o más años. El valor presente de dichos flujos deberá compararse con la
inversión que se está realizando (también a valor presente) y, para lograrlo, se
deben descontar ambos, inversión e ingresos, a fin de poderlos comparar en
forma equivalente en el momento presente.
Ejemplo 2: La compañía de Novedades Actuales planea realizar una inversión
de $50,000 para producir un artículo de moda que espera le genere ingresos de
$80,000 dentro de 2 años. Si se considera una inflación promedio de 25% anual,
¿conviene la inversión?
Solución: se comparan los $50,000 que se deben invertir en el momento
presente con los $80,000 que se espera recibir en 2 años. Para hacerlo es
necesario que ambas cantidades sean equivalentes. Se traen a valor presente
los $80,000 y así se tiene una misma base de comparación. La tasa de inflación
se acumula de la misma forma que el interés.
M = 80,000
n = 2 años,
i = 0.25
4
MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS
𝐶 = 80000(1 + 0.25)−2 = 51, 200
Los $80,000 que la empresa recibirá en dos años equivalen a $51,200
descontados de la inflación. Este valor presente de los ingresos se compara con
el valor presente de la inversión y muestra que efectivamente se logrará una
utilidad $1,200 y que, por lo tanto, conviene invertir.
Valor actual de deudas que devengan interés
En determinadas ocasiones se pueden encontrar deudas que devengan interés y
de las cuales se quiere conocer su valor en un momento anterior a su liquidación.
Ejemplo 3: Se descuenta en un banco un documento de $500,000 con
vencimiento a 3 meses que devenga 2% de interés mensual. El banco lo
descuenta a una tasa de 22% anual. ¿Cuál es la cantidad que se recibe?
Se calcula el Monto original:
Se calcula el valor actual:
M = 500,000(1+.02)3
C = 530,604(1+.22)-3/12
M = 530,604
C = 504,871.16
Como la tasa de interés cobrada por el banco es menor que la que se cargó en
el valor del documento, el acreedor tuvo un beneficio adicional.
Cálculo del Tiempo
Ejemplo 4: ¿En cuánto tiempo se duplicará una inversión de $1000 si se
considera una tasa de interés a) de 36% anual convertible mensualmente, y
b) de 24% anual también convertible mensualmente?
Solución: La fórmula que se utilizará para el cálculo del tiempo es:
𝑀
log � �
𝐶
𝑛=
log(1 + 𝑖)
5
MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS
a) Ahora, dado que 𝑗12 = 0.36, el interés mensual 𝑖 =
0.36
año
=
0.36
12 meses
También C = 1000 y M = 2(1000) = 2000 porque se duplicará
𝑛=
Entonces
b) 𝑖 =
24%
año
=
24%
12 meses
2000
𝑙𝑜𝑔�1000�
log(1+.03)
= 23.45 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
= 2% = .02 entonces
𝑛=
2000
𝑙𝑜𝑔�1000�
log(1+.02)
= 0.03
= 35 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠
6
MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS
Conclusión
En esta sesión aprendimos a traer a valor presente un monto con vencimiento
futuro, además aplicamos el cálculo del tiempo que es una de las variables del
interés compuesto.
En la siguiente sesión se explicará el concepto de Anualidades.
Fuente: http://www.milenio.com/media/2010/09/06/mex-negocios-02.jpg
7
MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS
Para aprender más
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer
tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.
•
Valor Presente/Valor actual. (2010). Consultado el 4 de junio de
2013: http://www.youtube.com/watch?v=EdrtzvJNSsg
•
Valor presente y futuro. (2010). Consultado el 4 de junio de
2013: http://www.youtube.com/watch?v=pKD8cmh7nvo
•
Ramirez, M. (20 de octubre del 2012). Despeje del tiempo en problemas
de interés compuesto. Consultado el 4 de junio de
2013: http://www.youtube.com/watch?v=Qwad8K8gPKU
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá
desarrollar los ejercicios con más éxito.
8
MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS
Actividad de Aprendizaje
Con lo aprendido en esta sesión acerca del cálculo de valor presente y tiempo,
aplica los conceptos para solucionar los siguientes ejercicios:
1) ¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de préstamo si
ha firmado un documento por $650,000 que incluye capital e intereses a
18% convertible trimestralmente, y tiene vencimiento en 18 meses?
2) ¿Cuál era la población de un país hace diez años si en la actualidad tiene
81’765,000 habitantes y su tasa de crecimiento se estima en 3.2% anual?
3) Una distribuidora de automóviles ofrece a sus clientes 10% de descuento
en la compra al contado de un automóvil nuevo, o bien, 50% del precio al
contado y 50% a 6 meses sin descuento y sin intereses. ¿Que alternativa
debe escogerse si el dinero puede ser invertido a una tasa de interés?:
a) 2%
b) 3%
c) 4%
4) ¿Cuánto tiempo debe estar invertido un capital de $160,000.00 para que
junto con sus intereses sea de $500,000.00 si acumula intereses al 9%
semestral?
Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la
plataforma.
9
MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS
Bibliografía
1. Cantú, Jesús. (2005). Matemáticas financieras. México: Banca y
Comercio.
2. Díaz, A. y Aguilera, V. (2007). Matemáticas financieras. México: McGraw
Hill.
3. Villalobos, José L. (2007). Matemáticas financieras. México: Pearson
Educación.
10