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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
GEOMETRIA DEL ESPACIO
PRELIMINARES:
Los conceptos de espacio y de superficie son “conceptos primitivos”, es decir, no se definen pero
podemos dar ideas para comprenderlos. Por ejemplo, el espacio es el lugar donde existimos y
podemos visualizarlo con ayuda de un esquema de la forma:
Figura 1. Esquema gráfico de espacio.
Indicando que podría tratarse de la “esquina de una habitación o sala de clases”. Aquí podemos
visualizar las tres dimensiones que configuran el espacio físico. El espacio geométrico es una
idealización de este espacio físico y cuando hacemos geometría en el espacio, la referencia
tridimensional no se dibuja sino que se supone presente, con la ayuda de la perspectiva.
El concepto de superficie corre la misma suerte, y lo mismo ocurre con el concepto de plano o
superficie plana. Por superficie de un sólido del espacio podemos entenderla como el límite entre
ese objeto y el espacio que le rodea. Para visualizar una superficie plana en el espacio, podemos
trazar la siguiente figura:
π
Figura 2. Un plano en el espacio.
Un plano es la idealización de una superficie como la cubierta de una mesa, o la pizarra o la hoja del
cuaderno. Ahora, el hecho de dibujarla en forma horizontal es sólo por razones estéticas. Denotamos
este plano con la letra π, y si debemos dibujar otros planos, usamos las letras π1, π2, .., π*, π’ , etc.
No olvidemos que un plano es una superficie indefinida que puede ser caracterizada de la siguiente
manera:
Una superficie es plana si dos puntos de una recta están en la superficie, entonces todos los
puntos de la recta están en la superficie.
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Podemos agregar que un plano divide el espacio en dos regiones de modo que para “pasar” de una
región a otra, debemos cruzar el plano.
1. RECTAS Y PLANOS.
1. 1
Posiciones relativas de rectas y planos:
Existen tres posibilidades:
l
i) La recta tiene dos puntos situados en el
plano, es decir, la recta está completamente
contenida en el plano, o simplemente la recta
está en el plano.
l
A
ii) La recta tiene un punto en común con el
plano, es decir, la recta atraviesa el plano o la
recta corta el plano.
π
l
P
B
iii) La recta no tiene puntos en común con el
plano, es decir, la recta es paralela al plano.
Figura 3. Posiciones relativas de rectas y planos
En la Fig. 3 aparecen una recta l y un plano π: en un caso la recta (en rojo) atraviesa el plano en el
punto P llamado pie, en otro caso, la recta (en azul) tiene dos puntos en común con el plano, A y B.
Finalmente, la recta (en verde) no tiene puntos en común con el plano.
El siguiente primer resultado que explica porque una mesa de tres patas no cojea:
Teorema 1.”Por tres puntos no alineados pasa un único plano”.
En efecto, por dos de esos puntos, digamos
A y B pasa una recta y por ella pasan
infinitos planos. Luego, fijado un tercer
punto, digamos C, habrá un único plano de
esos infinitos que contenga al punto C.
B
Idea gráfica:
C
Por los puntos A y B hemos trazado un
plano (casi vertical) de los infinitos que
existen. Por el punto C hemos trazado otro
plano (horizontal), que contiene a la recta
que pasa por A y B, y que es uno de esos
infinitos planos. Ahora, los tres puntos A, B y
C determinan el plano donde se encuentra
el triángulo ABC, y este plano es único.
A
Figura 4. Tres puntos del espacio determinan un único plano.
Las consecuencias de este teorema son las siguientes:
Un plano está determinado por:
i) tres puntos no alineados
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ii) por una recta y un punto que no pertenezca a esa recta
iii) por dos rectas que se cortan
iv) por dos recta paralelas.
En efecto, Sea P el punto de intersección de dos rectas l 1 y l 2 . Claramente, el punto P y una
recta, digamos l 1 determinan un plano π que también contiene a la otra recta. Recíprocamente, todo
plano π1 que contiene a las rectas l 1 y l 2, contiene a l 1 y a un punto cualquiera de l 2. Luego este
plano coincide con π. Es decir, los planos π y π1 se confunden y de ahí la unicidad.
1. 2 Posiciones relativas de dos rectas.
Consideremos dos rectas l 1 y l 2. Por la recta l 1 y un punto cualquiera P de l 2 hacemos pasar un
plano π. Se pueden presentar dos situaciones:
1. la recta l 2 está en el plano π, y en tal caso las rectas son secantes o son paralelas, es decir,
tienen un punto en común o no tienen ningún punto en común.
2. la recta l 2 no está en el plano π. Es decir, no existe ningún plano que contenga a las dos rectas
l 1 y l 2. Note que si suponemos que sí existe ese plano, llegamos a una contradicción. En efecto,
si existe un plano π que contenga a una de las rectas, digamos l 1, debe contener a un punto de la
otra recta, digamos P, confundiéndose este plano con el plano π: contradiciendo la hipótesis.
Concluimos que dos rectas en el espacio pueden tener tres posiciones relativas:
i)
ii)
iii)
las rectas son paralelas
las rectas son secantes
las rectas no están situadas en un mismo plano, o se cruzan.
Observe la figura 3: Las rectas en rojo y en azul, se cruzan.
1.
3. Intersección de dos planos.
Teorema 2. “Si dos planos tienen un punto en común, entonces tienen una recta en común
que pasa por ese punto”.
En efecto, consideremos dos planos π1 y π2 que
tienen el punto A en común.
En π1 tracemos dos rectas l 1 y l 2 (en rojo),
notando que se tienen dos casos posibles;
1. Una de las rectas está en el plano π2. Luego los
dos planos tiene un recta en común y el teorema
está demostrado.
2. Ninguna de las dos rectas está en el plano π1.
En este caso, sobre las rectas l 1 y l 2
consideremos dos puntos M y N situados a cada
lado del plano π1, y tracemos una recta (de color
verde) que pase por M y por N. Evidentemente,
esta recta debe cortar el plano π2 en un punto B.
π1
M
l1
π2
π
B
A
2
l2
N
Luego, este punto B pertenece a los dos planos, y como por hipótesis el punto A también pertenece a
los dos planos, la recta que pasa por A y por B es una recta común a los dos planos.
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Esta recta común se llama recta intersección de los dos planos.
1. 4 Rectas paralelas
Definición: Dos rectas del espacio son paralelas si verifican las dos condiciones siguientes:
i)
Están en un mismo plano
ii)
No tienen puntos en común.
Teorema 3. “Por un punto se puede trazar una y una única recta paralela a una recta dada”.
En efecto, la recta y el punto determinan un único plano. Sobre ese plano, de acuerdo a los
postulados de Euclídes, se puede trazar una única recta paralela a la recta dada.
Teorema 4. “Si dos rectas son paralelas, entonces todo plano que corte a una de ellas, cortará
a la otra”.
Demostración: Sean l 1 // l 2 y π un plano arbitrario talque l 1∩π=A. Debemos probar que l 2∩π=B.
Sea π* el plano determinado por las rectas paralelas l 1 y l 2. Este plano es diferente del plano π ya
que π* contiene a l 1 y π no la contiene.
Luego los planos π y π* tiene un punto en
común: A. Por lo tanto, existe una recta en
l1
común que pasa por A. En π*, esta recta que
l2
pasa por A, debe cortar a l 2, en un punto,
π*
digamos B.
Este punto B es común al plano π y a la recta l 2.
Claramente, este punto B es único, ya que si π
contiene a un segundo punto de l 2, contendrá a
B
la recta completa. Luego los planos π y π*
A
contendrán a la recta l 2 y al punto A, de modo
π
que las rectas se confunden, lo que no debe
suceder.
Figura 5. Rectas paralelas en el espacio
Teorema 5. “Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí”
Hipótesis: l 1 // l
l 2// l
l 1 // l 2
Tesis:
Demostración: l 1 y l 2 están en un mismo plano
determinado por l 1 y un punto P ∈ l 2. Complete Ud.
La demostración para concluir que estas rectas l 1 y
l 2 no tienen puntos en común.
l2
l
l
1
P
Figura 6 . Tres rectas paralelas entre si
Teorema 6. “Dos ángulos en el espacio no situados en un mismo plano que tienen sus lados
respectivamente paralelos, son iguales o suplementarios”
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B
H AC//DF
AB//DE
T α=β
α
A
D Sobre los lados de los ángulos α, β copiamos
trazos de igual longitud: AB = DE , AC = DF.
Luego, ABED es un paralelogramo. Por lo tanto
AD = BE y AD // BE
Análogamente, ACFD es un paralelogramo y así
AD = CF y AD // CF
Luego, BE = CF, y además dos rectas paralelas a
AD son paralelas entre ellas.
Luego, CBEF es un paralelogramo y así BC = EF.
Por lo tanto los triángulos ABC y DEF son
congruentes y así α = β.
C
E
β
D
F
AS: Haga el dibujo del caso en que los ángulos
son suplementario y demuéstrelo.
Figura 7. Dos ángulos en el espacio
Definición: Se llama ángulo entre dos rectas no situadas en el mismo plano, al ángulo formado por
dos rectas secantes respectivamente paralelas a las dos rectas dadas.
En la figura 8, las rectas l 1 y l 2 (en azul) no
están situadas en un mismo plano, es decir, se
cruzan. Sin embargo, de acuerdo con la
definición anterior, podemos hablar del ángulo
entre ellas. Por un punto cualquiera del espacio
V trazamos una recta paralela a l 1 que
denotamos l *1 (en rojo). Por ese mismo punto V
trazamos otra recta paralela a l 2, que
denotamos l *2 (en rojo). Claramente, las rectas
l *1 y l *2 están en un mismo plano y forman un
ángulo cuyo vértice es el punto arbitrario V. Ese
ángulo es el ángulo que forman las rectas
azules.
l 1*
l1
l 2*
l
2
V
Figura 8. Angulo entre dos rectas que se cruzan
Dos rectas se dicen perpendiculares si estando en un mismo plano, forman un ángulo recto. Se
llaman rectas ortogonales a dos rectas del espacio que no estando en un mismo plano, forman un
ángulo recto. En cualquiera de los dos casos, las rectas se dicen rectangulares.
2. RECTAS Y PLANOS PARALELOS.
Definición: Una recta es paralela a un plano si ella no tiene puntos en común con el plano.
Note que el plano mismo es paralelo a la recta.
El siguiente resultado asegura a existencia de rectas paralelas a un plano.
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Teorema 7. “Toda recta l no situada en un plano π y paralela a una recta
paralela al plano.”
l * de ese plano, es
l
En efecto, las rectas l y l * al ser paralelas,
están un mismo plano π* que corta al plano π
según la recta l *. Si la recta l y el plano π
tuvieran un punto en común, digamos X, ese
punto pertenece a la intersección de ambos
planos, y de esta manera las rectas siendo
paralelas, tendrían un punto en común, lo que
es imposible. Luego la hipótesis de la
existencia de ese punto X en común es
absurda, lo que prueba el teorema 7.
π*
l *
π
Figura 9. Recta paralela a un plano
Teorema 8. (Primer recíproco al teorema 7) “ Si una recta l es paralela a un plano π, todo
plano π* trazado por l corta al plano π según una recta l * paralela a l ”.
En efecto, i) l y l * están en un mismo plano π*.
ii) Si las rectas l y l * tienen un punto en común, digamos X, este punto será común a la recta l
y al plano π, lo que es imposible.
Teorema 9. (Segundo recíproco al teorema 7) “Si una recta l es paralela a un plano π y si por
un punto C del plano se traza la recta l * paralela a l , esta recta está completamente contenida
en el plano”
En efecto, la recta l y el punto C determinan un
plano π* que corta al plano π según una recta l 1
(no dibujada en la figura de la derecha) paralela a
l.
l
π∗
Ahora, o bien la recta l * es la única paralela a
l que pasa por C o bien se confunde con l 1, y
ella está totalmente contenida en el plano π.
π
C
l*
NOTA: El teorema directo y su primer recíproco se pueden enunciar de la siguiente manera:
Para que una recta l sea paralela a un plano π, es necesario y suficiente que ella sea paralela a una
recta l * del plano”.
AS: Indique claramente la condición suficiente y la condición necesaria.
Teorema 10. “Si dos planos secantes π1 y π2 son paralelos a una misma recta l , entonces la
intersección de los plano es paralela a recta l ”
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Tracemos una recta l * , secante con l 1 y paralela a
l . Como l es paralela al plano π1, l * es paralela al
plano π1.
l
1
π π2
2
Dado que l es paralela al plano π2, entonces l * está
en el plano π2.
π1
Luego, l * es la intersección de los dos planos y por lo
tanto se confunde con l 1.
l
l*
Figura 10. Planos secantes paralelos a una recta
Teorema 11. “Si dos planos secantes π1 y π2 pasan por dos rectas paralelas l 1 y l 2,
respectivamente, la intersección de los planos l es paralela a ambas rectas”
H: l 1 // l 2
l 1 ∈ π1
l 2 ∈ π2
π1 ∩ π2 = l
π22
π1
l
T: l // l 1 , l // l 2
2
D: La recta l 2 // l 1, l 1 ∈ π1 ⇒ l 2 // π1.
El plano π2 que pasa por
l 2, corta π1 según la
intersección l que es paralela a l 2 (teorema 8).
Análogamente se demuestra que l es paralela a l 1.
l
l
1
Figura 11. Planos que pasan por rectas
paralelas
3.
PLANOS PARALELOS
Definición: Dos planos son paralelos si no tienen puntos en común.
El siguiente teorema prueba la existencia de planos paralelos
Teorema 12. “Dos rectas secantes y paralelas a un plano, determinan un segundo plano
paralelo a primero”.
Sean l 1 y l 2 las rectas secantes, ambas paralelas a un plano π. Sea π* el plano determinado por las
rectas l 1 y l 2.
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H: l 1 // π
l 2 // π
T: π* // π
π
D: Si los planos π y π* tuviesen un punto en
común, digamos E, tendrían en común una recta,
digamos l * (teorema 2) que contiene a ese punto
E. Esta recta encuentra al menos una de las dos
rectas l 1 o l 2, digamos l 1 y en el punto X. Este
punto X será común a la recta y al plano π*, que
son dados paralelos, lo que es imposible.
l1
π∗
l2
Figura 12. Existencia de planos paralelos
Corolario 1. “Los planos π y π’ de dos ángulos α y α’ cuyos lados son respectivamente
paralelos, son paralelos”
En efecto, sea α y α’ dos ángulos situados
en dos planos π y π’ respectivamente, cuyos
lados son paralelos.
B
P
A
π
La recta PA // P’A’ es paralela al plano π’
(teorema7). La recta PB // P’B’ es paralela al
plano π’ (teorema 7).
Luego, los planos π y π’ son paralelos
(teorema 12).
α
B'
P'
π'
α'
A'
Figura 13. ángulos de lados paralelos sobre planos paralelos
Corolario 2. “Si dos planos son paralelos, toda recta de uno de ellos es paralela al otro plano”.
AS: Intente una demostración por el absurdo.
NOTA: Para que dos planos sean paralelos es necesario y suficiente que uno de ellos contenga dos
rectas paralelas al otro:
i) La condición es necesaria: Si dos planos π y π* son paralelos, dos rectas trazadas en el plano π son
paralelas al plano π*.
ii) La condición es suficiente: Si un plano π contiene dos rectas paralelas a un plano π*, este será
paralelo al plano π *.
Teorema 13. “Si un plano interfecta a dos planos paralelos, entonces las intersecciones son
rectas paralelas”.
Sean π1 y π2 dos planos paralelos cuyas intersecciones con un tercer plano π* son las rectas l 1 y l 2.
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l1
H: π1 // π2
π* ∩ π1 = l 1
π* ∩ π2 = l 2
π
T: l 1 // l 2
π∗
1
l2
D: l 1 y l 2 están en un mismo plano π*.
Además, l 1 y l 2 no son secantes pues están
en planos que no tienen puntos en común.
Luego, l 1 // l 2.
π
2
Figura 14. Un plano intersecta planos paralelos
Teorema 14. “Por un punto exterior a un plano se puede trazar un único plano paralelo a él”.
Sea P* ∉ π. Por P* trazamos un plano π* // π.
l*
En efecto, primero veamos que podemos
2
trazar ese plano: en π trazamos dos rectas
P*
l *
secantes cualesquiera l 1 y l 2 que se cortan
π∗
1
en P.
Por P* trazamos l 1* // l 1 y l 2* // l 2.
El plano determinado por l 1* y l 2* es
paralelo a π.
l2
Ahora veamos que es único: supongamos que
por P* pasamos un segundo plano π^. Las
P
rectas l 1 y l 2 serán paralelas a los planos π*
l
π
1
y π^ (corolario 2). Las rectas l 1* y l 2* están
en los planos π* y π^ a la vez (teorema 9).
Luego estos planos se confunden pues Figura 15. Trazado de un plano paralelo a otro por un punto
contienen a dos rectas secantes l 1* y l 2*.
Corolario 3. “Dos planos paralelos a un tercero son paralelos entre sí”.
Corolario 4. “Si dos planos son paralelos, entonces todo otro plano que corte a uno de ellos,
cortará al otro”.
En ambos casos basta razonar por el absurdo y se llega fácilmente a la conclusión.
Teorema 15. “El LG de las rectas paralelas a un plano trazadas por un punto es un plano
paralelo al plano dado y que pasa por el punto dado”.
AS: Intente una demostración del teorema 15.
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Corolario 5. “Si dos planos son paralelos, entonces toda recta paralela a uno de ellos, será
paralela al otro”
H: π1 // π2
l 1 // π1
T: l 2 // π2
D: l 1 // π1 ⇒ l 1 // l 2, l 2∈π1
l 2 // l 3, l 3 ∈π2 ⇒ l 2 // π2.
AS: Intente redactar la demostración anterior en lenguaje usual.
Corolario 6. “Si dos planos son paralelos, toda recta que corte a uno de ellos, cortará al otro”.
AS: Piense en una demostración por el absurdo.
Teorema 16. “Dos trazos paralelos comprendidos entre dos planos paralelos, son iguales”.
H: π1 // π2
C
AB // CD
T:
π1
AB = CD
A
π∗
D: AB // CD ⇒ ∃ plano π* tal que π* ∩ π1 = AC,
π* ∩ π2 = BD
D
AC // BD
π2
B
∴ ABDC # ⇒ AB = CD
Figura 16. Trazos paralelos entre planos paralelos
Teorema 17. “Tres
proporcionales “
H: π1 // π2 // π3
planos
paralelos
determinan
rectas
l3
l 1, l 2 rectas arbitrarias tales que: π1∩ l 1=
A*, π1∩ l 2= A; π2∩ l 1=B* , π2∩ l 2= B; π3∩ l 1= C*,
π3∩ l 2=C.
T:
sobre
cualesquiera
trazos
l1
l2
A
A*
π1
AB A * B *
=
BC B * C *
π∗
D: Por A l 3 // l 1
∴ AD = A*B* (teorema 16),
π2 B
B*
D
DE = B*C* y BD//CE.
En plano π* determinado por l 2 y l 3:
AB AD
=
BC DE
E
C*
π 3C
AB A * B *
=
Luego,
BC B * C *
Figura 17. Trazos proporcionales en planos paralelos
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Teorema 18. (Recíproco del teorema 17) “Si dos rectas arbitrarias son divididas en trazos
proporcionales, las rectas que unen los puntos de división son paralelos a un mismo plano”.
AS: Haga un gráfico, especifique hipótesis y tesis. Haga una demostración de este teorema.
4. RECTAS Y PLANOS PERPENDICULARES
4. 1. Recta perpendicular a un plano
Definición: Una recta es perpendicular a un plano si ella es perpendicular a todas las rectas del
plano.
Consideremos una recta l y un punto P sobre ella.
Por l hacemos pasar dos planos y en cada uno de
ellos trazamos la perpendicular a la recta l . Sean PA
y PB estas dos perpendiculares. Es claro que ellas
determinan un plano, digamos π.
Luego, una recta l del espacio puede ser
perpendicular a dos rectas situadas en un mismo
plano y que pasan por su pie.
Esto permite justificar la hipótesis del siguiente
teorema, que asegura la existencia de rectas
perpendiculares a un plano
l
A
P
π
B
Figura 18. Recta perpendicular a un plano
Teorema 19. “Si una recta que corta a un plano es perpendicular a dos rectas no paralelas del
plano que pasan por su pie, ella es perpendicular a toda otra recta del plano que pase por su
pie”.
H: l 1, l 2 ∈π
PH ⊥ l 1, H pie de la perpendicular
PH ⊥ l 2
l 3 ∈π arbitraria que pasa por H.
T: PH ⊥ l 3
P
D: Sea l ∈π arbitraria que corta las rectas en A, B y C.
PH (→)H : PH = HP*
∴CP = CP* (C∈SPP*)
AP = AP* ( idem )
∴∆ACP ≅ ∆ACP*
∴ PAB = P*AB ⇒ BP = BP* ⇒ B ∈SPP*
∴HB = SPP*
∴ l 3 ⊥ PH.
π
l
l
l
3
l
1
C
H
B
A
2
P*
Figura 19. Recta perpendicular a un plano
Teorema 20. “Para que una recta sea perpendicular a un plano, es suficiente que ella sea
perpendicular a dos rectas secantes de ese plano”.
Dicho de otra manera:
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1. Toda recta l ortogonal a dos rectas secantes l 1 y l 2
es perpendicular al plano π que ellas determinan.
En efecto, l ortogonal a dos rectas secantes, será
perpendicular a toda otra recta del plano π (teorema 19),
luego, de acuerdo a la definición anterior, será
perpendicular a ese plano.
2. Dos rectas secantes l 1 y l 2 ortogonales a una misma
recta l , determinan un plano perpendicular a esta
recta l .
En efecto, la recta l perpendicular a l 1 y l 2, es
perpendicular al plano que determinan. Luego ese plano
será perpendicular a la recta l
l
l
π
l1
P
2
4. 2. Trazar por un punto un plano perpendicular a una recta.
4. 2. 1. El punto está sobre la recta.
Sea P un punto dado en una recta dada l arbitraria.
Dos puntos arbitrarios del espacio y la recta l determinan
dos planos (no dibujados en la figura de la derecha).
Sobre estos planos levantamos las perpendiculares a l
en P, l 1 y l 2 respectivamente. Estas rectas l 1 y l 2
determinan un plano π, perpendicular a l .
Razonando por el absurdo, se puede probar que este
plano es único.
l
l1
l2
P
π
Consecuencia: Si dos rectas son paralelas, todo plano perpendicular a una de ellas, será
perpendicular a la otra.
4. 2. 2. El punto no está sobre la recta.
Sea P un punto del espacio que no está en una recta l .
Por este punto trazaremos un plano que sea perpendicular
a l . Para ello, por P trazamos una paralela a l , en el
plano determinado por P y la recta l (no dibujado en la
figura de la derecha), que denotamos por l *. Ahora se
procede como en el caso anterior, para trazar un plano
perpendicular a l *, que también será perpendicular a l .
Razonando por el absurdo, se puede demostrar que este
plano es único.
l*
P
l
Q
Teorema 21. “El LG de las perpendiculares trazadas desde un punto P a una recta l es un
plano π perpendicular a la recta en el punto P”
Distinguimos dos casos:
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1. El punto P está en la recta: La recta l es perpendicular a todas las rectas del plano π y en
particular a todas aquellas que pasan por su pie. Por otro lado, toda perpendicular a l levantada en
el punto P, está en el plano π.
2. El punto P no está en la recta: Se traza una paralela a la recta l por el punto y se razona
análogamente.
4 .3. Trazar por un punto una recta perpendicular a un plano.
4 .3. 1. El punto está en el plano:
Sea P ∈ π arbitrario.
l
Por P trazamos dos rectas que estén en el
plano π, l 1 y l 2 y en distintas direcciones.
π
π
Por P trazamos un plano π1 ⊥ l 1 (4. 2. 1) y
por P trazamos otro plano π2 ⊥ l 2.
π
Resulta que π1 ∩ π2 = l y l ⊥ π.
Razonando por el absurdo, se prueba que
esta recta es única.
l2
P
l1
4. 3. 2. El punto no está en el plano.
En este caso, por P se traza un plano paralelo al plano π y si procede como en el caso anterior.
Consecuencia: Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelas entre si.
4. 4. Teorema de las tres perpendiculares.
Teorema 22. “Si una recta es perpendicular a un plano y desde su pie se traza una recta
perpendicular a una recta arbitraria del plano, entonces la recta que une un punto cualquiera
de la perpendicular con el punto de intersección de las dos rectas del plano, es perpendicular
a la recta arbitraria del plano”.
H: l 1 ⊥ π tal que l 1 ∩ π = H y P∈ l 1
l ∈ π arbitraria
P
l 2 ⊥ l , es decir, HQ ⊥ l
l
T: PQ ⊥ l
1
l2
D: Sea QA = QB
H ∈ SAB ⇒ HA = HB
∴∆ PHA ≅ ∆ PHB
∴ PA = PB ⇒ P ∈ SAB
∴ PQ ⊥ AB
∴ PQ ⊥ l
B
H
π
l
Q
A
Figura 20. Teorema de las tres perpendiculares
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Teorema 23 (Recíproco del teorema 22) “Sea l 1 una recta perpendicular a un plano π con pie H
y l una recta cualquiera del plano. Si por un punto cualquiera P de l 1 se traza la
perpendicular PQ a l . La recta que pasa por H y Q es perpendicular a l ”.
AS: Redacte una demostración al teorema 23.
4 .4 Rectas perpendiculares y oblicuas.
Definición: Una recta es oblicua a un plano si ni es perpendicular al plano.
Sean π un plano y P un punto fuera de el. Desde P bajamos la perpendicular hasta su pie H: tenemos
entonces un trazo PH; pero también tenemos una recta que pasa por PH o que contiene a PH.
Análogamente, desde P se pueden trazar oblicuas, que serán trazos o rectas que contienen esos
trazos. Evidentemente que cuando hablamos de longitudes, nos referimos a los trazos, como sucede
con el siguiente
Teorema 24. “Desde un punto fuera de un plano se pueden trazar una única perpendicular e
infinitas oblicuas al plano.
i) La perpendicular es la menor de todas las oblicuas.
ii) Dos oblicuas cuyos pies se encuentran a la misma distancia del pie de la perpendicular, son
iguales
iii) La más corta de dos oblicuas será aquella cuya distancia al pie de la perpendicular sea
menor”
Sea PH ⊥ plano π y l la recta que
contiene al trazo PH.
Sea PQ un trazo oblicuo y l * la recta
oblicua que contiene al trazo PQ. PC
y PD son oblicuas también, tal que
HC = UQ.
i) En ∆ rectángulo PHQ, PH < PQ
P
l*
ii) HC = HQ ⇒∆PHQ ≅ ∆PHC
∴ PQ = PC.
l
iii) PQ y PD oblicuas tales que HQ <
HD.
Sea C ∈ HD tal que HC = HQ.
Luego PQ = PC.
En ∆PHD PC < PD
∴ PQ < PD
H
C
D
Q
π
Figura 21. Rectas oblicuas y perpendiculares a un plano
Teorema 25 (Recíproco del teorema 24)
“i) El trazo más corto de un punto a un plano es el trazo perpendicular. Este trazo representa la
distancia del punto al plano.
ii) Si dos trazos oblicuos que nacen en un mismo punto fuera de un plano son iguales, sus
pies son equidistantes del pie de la perpendicular
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iii) Si dos oblicuas que nacen desde un mismo punto fuera de un plano no son iguales, el pie
de la menor está más cerca del pie de la perpendicular.”
AS: Demuestre este teorema
Ejercicios:
1. Trazar una recta que pase por un punto dado y que se apoye en dos rectas dadas
2. Trazar una recta que se apoye en tres rectas dadas. ¿Cuántas rectas puede construir?
3. Hallar un punto en el espacio que equidiste de 4 puntos dados.
4. Dados un plano y dos rectas que se cruzan, trazar un segmento de longitud dada que se apoye en
ambas rectas y que sea paralelo al plano.
5. Dadas tres rectas que se cruzan trazar una cuarta paralela a una de ellas y que se apoye en las
otras dos.
6. Por tres puntos del espacio trazar planos paralelos y equidistantes.
r
7. Dados un plano, dos rectas que se cruzan u una dirección d , trazar una recta paralela al plano,
que se apoye en las rectas dadas y que sea perpendicular a la dirección dada.
r
8. Trazar una recta que se apoye en dos rectas dadas y que tenga una dirección dada d .
9. Trazar una recta que se apoye en cuatro rectas dadas, dos de ellas paralelas.
10. Dado un plano y un punto fuera de él, trazar un segmento desde el punto al plano que tenga una
longitud dada y que sea paralelo a un segundo plano.
r
11. Dadas dos rectas y una dirección dada d , trazar una recta que se apoye en ambas y que sea
r
perpendicular a la dirección d .
12. Dados dos planos y un punto arbitrario del espacio, trazar un segmento que corte a uno de los
planos, sea paralelo al otro y que tenga una longitud dada.
13. Por un punto dado del espacio trazar un plano que corte a tres rectas dadas bajo ángulos iguales.
14. Dados dos trazos AB y A*B* perpendiculares a un plano talque AB = 2 A*B* y cuyos pies son A y
A*. Por A se traza una recta en el plano. Se pide hallar sobre esta recta un punto P tal que APB =
A*PB*.
15. Dados los puntos A y B en el espacio, hallar otro punto P sobre una recta dada de modo que PA +
PB sea de longitud mínima.
16. Dados dos puntos al mismo lado de un plano, hallar otro punto sobre el plano de modo que la
suma de las distancias a los dos puntos sea mínima.
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17. Dados tres puntos y una recta en el espacio, hallar un punto que equidiste de los tres y que esté a
una distancia dada de la recta dada.
18. Por tres rectas trazar tres planos que se corten en una misma recta.
19. Por cuatro puntos dados trazar cuatro planos paralelos y equidistantes.
20. Por una recta dada trazar un plano que forme un ángulo dado con otro plano dado.
21. Dadas una recta y dos puntos, hallar sobre la recta un punto desde el cual se vea la distancia
entre los dos puntos dados bajo un ángulo de 900.
22. Dados un punto a cada lado de un plano, hallar en el plano un punto tal que la diferencia de las
distancias a los puntos sea máxima.
23. Por un punto dado de un plano, trazar en el una recta que esté a una distancia dada de otro punto
dados en el espacio.
24. Dados dos planos que se cortan según una recta l y se da otra recta l * que penetra en ambos
planos en los puntos A y B. Hallar sobre l un punto C talque ACB = 900.
25. Por un punto dado pasar una recta que se apoye en otra recta dada y que forme ángulos iguales
con dos rectas dadas.
26. Dados un plano, un punto sobre él y una recta en el espacio.
27. Sobre un plano π considere una circunferencia de diámetro AB. Sea M un punto cualquiera de la
circunferencia. Se traza AS ⊥π y luego, los trazos SB y SM. Se traza AC ⊥ AB y AN ⊥ SM.
Probar:
i)
S
SMB= 900
C
ii) SA2 =SN⋅ SM = SC⋅ SB
iiI) ∆SCN ≈ ∆ SMB
iv)
SCN = 90
N
0
A
v) SC ⊥ ∆ANC
vi)
CNA = 900
B
x
O
M
π
vii) ¿Cuál es el LG de N cuando M
recorre la circunferencia?
28. Un plano rota alrededor de una recta. Desde un punto del espacio de abaten perpendiculares
sobre el plano móvil en diversas posiciones. Hallar el LG de las perpendiculares.
29. Hallar el LG de los puntos equidistantes de dos planos y de dos rectas paralelas.
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