Tema 9 – Teoría de la formación de carteras

Parte III – Decisiones financieras y mercado de capitales
Tema 9 – Teoría de la formación de carteras
9.1 El problema de la selección de carteras.
9.2 Rendimiento y riesgo de una cartera.
9.3 El modelo de la media-varianza.
9.3.1 Determinación del conjunto de carteras eficientes.
9.3.2 Selección de la cartera optima.
9.4 Aplicación del modelo de la media-varianza a carteras de dos activos.
9.4.1 Combinaciones de dos activos con riesgo.
9.4.2 Consideración de activos libres de riesgo.
9.4.3 Carteras con préstamo y endeudamiento.
9.5 Utilidad practica del modelo de la media-varianza.
9.6 La Simplificación de Sharpe al modelo de Markowitz
9.1. El problema de la selección de carteras
El inversor que actúa en los mercados financieros se enfrenta ante el problema de la elección de la
combinación de títulos o cartera que mejor se adapte a sus objetivos particulares.
Para ello hay que identificar tanto los activos en los que se quiere invertir como las proporciones en
las que se quiere invertir. Ello implica que es necesario valorar adecuadamente los títulos y desarrollar
un método de selección.
La teoría de la formación de carteras analiza el comportamiento del inversor que desea optimizar sus
decisiones de inversión en los mercados de capitales.
Los orígenes de esta teoría se remontan a Markowitz quien en 1952 plantea un modelo que recoge de
forma explícita el comportamiento racional del inversor, que se traduce en la maximización de las
expectativas de ganancia y la minimización del riesgo.
La originalidad de las investigaciones realizadas por Markowitz reside en la consideración de que sólo
son relevantes dos características para la estructuración de carteras: el rendimiento esperado y el
riesgo. Markowitz desarrolla un modelo matemático para la selección de la cartera óptima.
9.2. Rendimiento y riesgo de una cartera
El rendimiento de un activo financiero durante un período de tiempo es el siguiente:
Rit = (VT +Div – VT-1)/VT-1
Donde
Rit es el rendimiento de un activo i en el momento t
VT es el precio del activo en el momento t
VT-1 es el precio del activo en el momento t-1
Div es la cuantía del dividendo concedida entre t-1 y t
En realidad Rit se comporta como una variable aleatoria que tomará distintos valores con unas
probabilidades determinadas.
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La esperanza matemática de esta variable es un indicativo de la rentabilidad media del activo
financiero mientras que la varianza proporciona una medida de su riesgo.
Si se pretende analizar una cartera de activos financieros es posible calcular su rendimiento esperado
como la media ponderada de los rendimientos esperados de los títulos que la componen , los pesos
asignados a cada uno de ellos son iguales a la proporción del presupuesto invertido en los mismos.
n
Rpj =
x R
i
i 1
ij
Donde
Rpj es el rendimiento de la cartera en cada uno de los j estados de la naturaleza
xi es la proporción invertida en el activo i
Rij es el rendimiento del activo i en el estado j de la naturaleza
Una vez determinado todos los valores que puede tomar la cartera, calculamos el rendimiento
esperado o medio:
n
m
 xi Ri j =
E(Rp)=
i 1 j 1
n
 x E(R )
i 1
i
i
Donde
E(Rp) es el rendimiento esperado de la cartera
E(Ri) es el rendimiento esperado del título i
Por su parte, el riesgo, o variación del rendimiento de la cartera respecto a su valor esperado, se estima
a partir de la desviación típica o varianza, la cual viene determinada por la expresión:
p2 =
n
n
 x x 
j 1 k 1
j
k
n
n
jk
=
x 
j 1
2
j
2
j
+
n
 x x 
j
k
jk
j 1 k 1
j k
Donde
p2 es la varianza de la cartera
jk es la covarianza entre los activo i y j
j2 es la varianza del activo i (jj = j2)
El cálculo de la covarianza se realiza a partir del coeficiente de correlación entre los rendimientos de
un par de títulos.
Cov(Rj , Rk) = jkjk
Donde
jk es el coeficiente de correlación entre los rendimientos de los títulos i y j
El coeficiente de una cartera se puede expresar en función del coeficiente de correlación:
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Grupo C
p2 =
n
n
 x j xk  j k  jk =
j 1 k 1
n
 x 2j  2j +
j 1
n
n
 x
j
x k  j  k  jk
j 1 k 1
jk
La expresión anterior nos indica que el riesgo de una cartera de activos financieros no depende
exclusivamente del riesgo de cada uno de los valores que la componen, sino que está determinado por
el riesgo de cada título, por la proporción del presupuesto invertido en cada título y por la correlación
existente entre los rendimientos de los distintos títulos que componen la cartera.
9.3. El modelo de la media-varianza
El método de la media-varianza fue desarrollado por Markowitz en 1952 como modelo teórico para la
determinación de la cartera óptima a partir de la premisa de que los rendimientos de los títulos y en
consecuencia los de las carteras se comportan como variables aleatorias.
El modelo establece que el inversor adoptará su decisión en función de dos parámetro, es decir, en
función del valor esperado y la desviación de la cartera. Aunque, la decisión dependerá, en último
término, de la actitud del inversor frente al riesgo representada por su función de utilidad. Hay dos
hipótesis que sustentan su teoría:
a) El inversor tiene un comportamiento racional, por lo que prefiere más riqueza a menos. Ello le
conduce a elegir aquella cartera que le proporciona el rendimiento esperado más alto.
b) El inversor presenta aversión al riesgo, por lo que dada una rentabilidad, prefiere la cartera que
ofrezca el mínimo riesgo.
Esta aproximación plantea un modo de compaginar los dos objetivos en conflicto, es decir, la
maximización del rendimiento y la minimización del riesgo. Además ofrece una consecuencia
interesante para el inversor que se deriva del concepto de diversificación. Así, una combinación
adecuada de los activos que forman parte de una cartera puede suponer la reducción del riesgo de la
misma sin que se reduzca necesariamente el rendimiento.
9.3.1 Determinación del conjunto de carteras eficientes
Hasta ahora se ha planteado el problema de la selección de carteras en función de la evaluación de las
distintas alternativas de rendimiento-riesgo que se le plantean al inversor. Sin embargo, la
combinación de un conjunto de n títulos da lugar a un número infinito de posibilidades de inversión.
Markowitz restringe este número de alternativas al conjunto de carteras que define como “eficientes”.
Una cartera es eficiente cuando proporciona el máximo rendimiento para un riesgo determinado o el
mínimo riesgo para un nivel de rendimiento establecido. El conjunto de carteras que cumplen esta
condición constituye la “frontera eficiente”.
La siguiente figura representa el conjunto de carteras que se forma mediante la combinación de n
activos, definidos por su rentabilidad esperada y su desviación típica.
-- Gráfico de E(Rp) y p
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Si analizamos las distintas carteras es posible observar que existe la posibilidad de formar carteras que
ofrezcan más rendimiento por el mismo riesgo, y por tanto podemos distinguir entre carteras eficientes
y no eficientes. Las carteras eficientes son aquellas que proporcionan una rentabilidad máxima para un
determinado riesgo o un riesgo mínimo para un determinado rendimiento.
9.3.2 Selección de la cartera óptima
Una vez definido el conjunto de carteras eficientes, el inversor debe elegir aquella que se corresponde
con sus preferencias en cuanto a rendimiento y riesgo. La determinación de la cartera óptima depende
del grado de aversión al riesgo del inversor medido a partir de la función de utilidad.
La siguiente figura representa mediante curvas de indiferencia los binomios de rentabilidad-riesgo que
proporcionan la misma utilidad al inversor.
-- Figura (Curvas de indiferencia y binomio rentabilidad-riesgo)
Las curvas de indiferencia presentan las siguientes propiedades:
1) Su pendiente es positiva, dada la hipótesis de aversión al riesgo del inversor. Un incremento en el
riesgo debe ser compensado con un incremento en el rendimiento esperado
2) La forma de la curva es cóncava respecto al eje de ordenadas, esto supone una tasa marginal de
sustitución entre riesgo y rendimiento decreciente.
3) Las curvas de indiferencia más altas, es decir, aquellas a las que corresponde una ordenada en el
origen mayor, tienen un índice de utilidad o satisfacción mayor.
La cartera óptima se define por el punto de tangencia entre la frontera eficiente y una curva de
indiferencia. En realidad, la frontera eficiente está determinada por el mercado y es la misma para
todos los inversores. Sin embargo, las curvas de indiferencia se establecen de forma individual por el
inversor y en consecuencia la cartera óptima será distinta en cada caso particular.
-- Figura (Selección de la cartera óptima)
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La combinación de un número n de activos financieros (incluso cuando el valor de n es pequeño)
supone un número infinito de alternativas disponibles; la frontera eficiente está formada por infinitos
puntos, lo que dificulta su identificación por parte de los inversores.
Markowitz soluciona el problema desarrollando un modelo de programación cuadrática a partir del
que se obtiene el conjunto de carteras eficientes.
El modelo trata de encontrar la proporción (xi) a invertir en cada activo de tal forma que se minimice
el riesgo medido a través de la varianza:
Min p2 =
n
n
 x j xk  j k  jk =
j 1 k 1
n
 x 2j  2j +
j 1
n
n
 x
j
x k  j  k  jk
j 1 k 1
jk
s.a
E(Rp) = Rp*
xj = 1
xj  0 j
La aplicación práctica de este modelo era muy limitada a causa del elevado número de datos que es
preciso estimar, así, se requiere conocer los rendimientos esperados de cada título, su varianza y la
covarianza entre cada pareja de activos. Sin embargo, con la potencia de cálculo de los ordenadores
actuales y con las bases de datos existentes esto ya no resulta un problema por lo que se ha
generalizado su uso.
9.4. Aplicación del modelo de la media-varianza a carteras de dos activos
En este apartado se contempla la derivación de la frontera eficiente para carteras formadas por dos
activos con distintos grados de relación entre ellos. Posteriormente se analizarán algunos casos
particulares como la introducción de activos libres de riesgo y la posibilidad de acudir al
endeudamiento. Este desarrollo nos servirá además para estudiar el efecto de la diversificación sobre
el riesgo de las inversiones.
9.4.1. Combinaciones de dos activos con riesgo
Supongamos que existe la oportunidad de adquirir dos activos de tal forma que el activo de mayor
rendimiento tiene mayor riesgo y el de menor rendimiento también menor riesgo. Supongamos que
E(Ra)> E(Rb) y a > b. Entonces
E(Rp) = Xa E(Ra) + Xb E(Rb)
Dado que el inversor desea repartir su dinero entre los dos activos
Xa + Xb = 1  Xb = 1 - Xa
Entonces
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E(Rp) = Xa E(Ra) + (1- Xa) E(Rb)
Y la varianza de la cartera
p2 = Xa2 a2 + Xb2 b2 + 2Xa Xbab = Xa2 a2 + (1-Xa)2 b2 + 2Xa(1- Xa) ab
Estudiaremos a continuación los distintos casos que se pueden presentar en cuanto al valor del
coeficiente de correlación.
a) Correlación perfecta y positiva (ab=1)
p2 = Xa2 a2 + (1-Xa)2 b2 + 2Xa(1- Xa) ab = [Xa a + (1-Xa) b]2
-- Gráfico (Correlación perfecta y positiva)
b) Correlación perfecta y negativa (ab=-1)
p2 = Xa2 a2 + (1-Xa)2 b2 - 2Xa(1- Xa) ab = [Xa a - (1-Xa) b]2
igualando a cero y despejando Xa
Xa = b / (a + b)
-- Gráfico (Correlación perfecta y negativa)
De esta forma, si los títulos están perfecta e inversamente correlacionados es posible anular el riesgo
mediante una adecuada diversificación.
c) Caso general (-1 < ab < 1)
La situación más habitual a la que se enfrentan los inversores es aquella en la que el coeficiente de
correlación entre los títulos toma valores intermedios entre –1 y 1. Cuando esto ocurre la desviación
típica de las distintas carteras es menor que la media ponderada de las desviaciones típicas de los
activos que la componen. Cuando más bajo sea el coeficiente de correlación mayores son los
beneficios que ofrece la diversificación en términos de reducción del riesgos in disminuir el
rendimiento.
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p2 = Xa2 a2 + (1-Xa)2 b2 + 2Xa(1- Xa) abab
Para calcular la proporción que minimiza el riesgo de la cartera derivamos con respecto a la
proporción a invertir en el activo “a” e igualamos a cero.
dp2/dXa = 2Xa a2 + (2Xa - 2) b2 + 2(1-2Xa) abab = 0
Despejando Xa
Xa =
 b2   a b  ab
 a2   b2  2 a b  ab
Dentro del caso general, un caso particular de importancia es aquel en el que no existe correlación
entre los activos (ab = 0) que forman parte de la cartera. En ese caso la formula simplificada es igual
a:
Xa =
 b2
 a2   b2
-- Gráfico (Caso general con varias correlaciones entre dos activos)
9.4.2 Consideración de activos libres de riesgo
La aproximación de Markowitz a la selección de carteras parte de la consideración de que todos los
activos a disposición del inversor tienen un rendimiento incierto durante el período de inversión y, por
tanto, conllevan un cierto grado de riesgo. Ello supone que el inversor no puede acceder al
endeudamiento para incrementar el volumen de activos a adquirir por encima de su presupuesto.
Tobin (1958) amplía el modelo de Markowitz mediante la inclusión de un activo libre de riesgo y la
posibilidad de utilizar el crédito a un interés determinado. En este contexto, se define un activo libre
de riesgo como aquel cuyo rendimiento durante el período de inversión es conocido con certeza.
Ello significa que su desviación típica es igual a cero y que la covarianza entre el rendimiento del
activo sin riesgo y el de un título con riesgo es también nula. Se asume que el activo libre de riesgo es
equivalente a un título de renta fija emitido por el tesoro (se elimina el riesgo del emisor) para el que
no existe riesgo derivado de la variación de los tipos de interés.
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Con la introducción de un activo libre de riesgo el inversor se plantea la selección de una cartera
formada por éste título, cuyo rendimiento es Rf y un activo con riesgo y rendimiento superior al del
activo libre de riesgo.
-- Gráfico (Frontera eficiente con un activo libre de riesgo)
Si denominamos Xf a la proporción invertida en el activo sin riesgo, entonces la cartera presenta las
siguientes características en cuanto a rendimiento y riesgo:
E(Rp) = Xf Rf + (1-Xf)E(RT)
p2 = (1- XT)T2
-- Gráfico (Cartera con posibilidad de inversión en el activo libre de riesgo)
Una segunda posibilidad consiste en analizar la combinación entre una cartera de títulos con riesgo y
un activo libre de riesgo.
-- Gráfico (Cartera con posibilidad de inversión y endeudamiento en el activo libre de riesgo)
Dentro del conjunto de carteras posibles hay un punto de tangencia entre la recta que parte de Rf y la
frontera eficiente de Markowitz. Este punto constituye el límite de la nueva frontera eficiente que esta
compuesta por un segmento lineal y un segmento curvo.
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9.4.3 Carteras con préstamo y endeudamiento
El análisis presentado anteriormente puede ser complementado mediante la posibilidad de utilizar el
endeudamiento para aumentar el presupuesto del inversor en activos con riesgo. En este caso la
frontera eficiente se forma con una recta que pasa por Rf y por la cartera óptima en la que la recta es
tangente al conjunto de carteras eficientes.
-- Gráfico (Frontera eficiente de carteras con tipo de préstamo y tipo de endeudamiento)
Las alternativas de préstamo o endeudamiento pueden ser incluidas en el modelo general presentado
anteriormente para carteras de n activos. Dentro de las carteras con más riesgo el inversor se endeuda
para adquirir activos con riesgo en una cuantía superior al presupuesto inicial.
9.5. Utilidad práctica del modelo de media-varianza
El modelo de la media-varianza ofrece una base teórica para desarrollos posteriores. Su aplicación
práctica exige la estimación de los rendimientos esperados y varianzas de todos los títulos a considerar
para calcular el rendimiento esperado y el riesgo de las posibles carteras. De esta forma, es necesario
estimar n varianzas y n(n-1)/2 covarianzas.
Por ejemplo para una cartera de 20 activos serían necesarias 20 varianzas y 20(19)/2=190 covarianzas.
La dificultad que tal número de estimaciones conllevaba (ahora la potencia de los ordenadores hace
los cálculos de Markowitz más asequibles) ha motivado el desarrollo de modelos descriptivos que
intentan predecir la estructura de correlaciones entre títulos. Las nuevas aproximaciones se basan en
modelos factoriales que suponen que la relación entre los rendimientos de los títulos se debe a la
influencia de uno o varios factores o índices.
9.6. La simplificación de Sharpe al Modelo de Markowitz
Rj = j + j Rm + j
(Rj – Rf) = j + j (Rm-Rf) + j
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Gráfico (línea característica Rj – Rf y Rm-Rf )
Cada punto del gráfico representa el exceso de rendimiento de un activo sobre el interés libre de
riesgo en un período de tiempo, en relación al rendimiento del mercado durante el mismo período. El
coeficiente beta mide la sensibilidad del rendimiento de un título ante el rendimiento del mercado,
siendo la beta de la cartera de mercado igual a 1.
Gráfico sobre la diversificación en función del número de títulos (Riesgo, N títulos)
Gráfico con rendimiento y beta como medida de riesgo
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