Método de Rayleigh-Ritz

Universidad Simón Bolı́var
3.
Introducción al MEF
Método de Rayleigh-Ritz
La solución del problema de elasticidad consiste en encontrar la función desplazamiento u valida para todo el dominio Ω y que verifique las condiciones de
contorno.
El método de Rayleigh-Ritz propone una solución aproximada para resolver
el problema de elasticidad en su formulación energética. La solución aproximada
está basada en el método de separación de variables (i.e. la componente espacial
es independiente de la componente temporal) y en la idea de que una función
continua puede ser expresada como combinación lineal de un número grande de
funciones, i.e.:
m
X
u(x,t) ≈
φj (x) qj (t) = Φ(x) q(t)
(3.1)
j=1
Las funciones φj (x) son llamadas funciones de Ritz y deben cumplir con las siguientes condiciones:
Deben verificar las condiciones de borde esenciales o de desplazamiento para
toda la frontera Γ del sólido.
Deben ser continuas y diferenciables para todo el dominio Ω y de un orden
igual o superior al de los operadores diferenciales presentes en las ecuaciones.
Si el número m de funciones de Ritz tiende a infinito la solución aproximada tiende
a la solución exacta.
La matriz Φ en el caso mas general tiene dimensión 3 × m y el vector q tiene
dimensión m.
3.1.
Energı́a interna de deformación (matriz de rigidez)
Introduciendo la aproximación de Rayleigh-Ritz en la energı́a interna de deformación U , tenemos:
Z
Z
1
1
U=
uT LT D Lu dV =
qT(t) ΦT(x) LT D LΦ(x) q(t) dV
(3.2)
2 Ω
2 Ω
Definiendo la matriz B como el resultado de la aplicación del operador diferencial
a la matriz de funciones de Rits, i.e.:
B(x) = LΦ(x)
Euro Casanova, 2005
(3.3)
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El vector de deformaciones toma la forma:
² = B(x) q(t)
(3.4)
El vector de esfuerzos toma la forma:
σ = DB(x) q(t)
La energı́a interna de deformación U toma la forma:
Z
1
U=
qT(t) BT(x) D B(x) q(t) dV
2 Ω
(3.5)
(3.6)
De esta ultima expresión es evidente que el vector de coeficientes q(t) puede salir
del integral, puesto que no depende de las coordenadas espaciales, entonces:
1 T
q K q(t)
2 (t)
Donde K se denomina la matriz de rigidez global y se calcula como:
Z
BT(x) D B(x) dV
K=
U=
(3.7)
(3.8)
Ω
Esta matriz es de dimensión m × m y resulta ser simétrica, i.e. K = KT .
3.2.
Energı́a cinética (matriz de masa)
A partir de la aproximación de Rayleigh-Ritz es posible calcular la función
velocidad u̇ como:
¢
d ¡
u̇ ≈
Φ(x) q(t) = Φ(x) q̇(t)
(3.9)
dt
Introduciendo esta aproximación en la energı́a cinética T , tenemos:
Z
Z
1
1
T
ρ u̇ u̇ dV =
ρ q̇T(t) ΦT(x) Φ(x) q̇(t) dV
(3.10)
T =
2 Ω
2 Ω
En esta expresión es evidente que el vector de coeficientes q̇(t) puede salir del
integral, entonces:
1
(3.11)
T = q̇T(t) M q̇(t)
2
Donde M se denomina la matriz de masa global y se calcula como:
Z
M=
ρ ΦT(x) Φ(x) dV
(3.12)
Ω
Esta matriz es de dimensión m × m y resulta ser simétrica, i.e. M = MT .
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3.3.
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Trabajo de la fuerzas conservativas (vector de fuerza)
Introduciendo la aproximación de Rayleigh-Ritz en la expresión para el trabajo
de las fuerzas conservativas externas W E(C) y notando que ui = Φ(xi ) q(t) , tenemos:
Z
Z
X
W C(E) =
uT g dV + uT t dS +
uTi pi
Z
Ω
=
Ω
=
Γ
i
Z
qT(t) ΦT(x) g(x,t) dV +
Γ
qT(t) ΦT(x) t(x,t) dS +
X
qT(t) ΦT(xi ) pi(t)
i
qT(t) f(t)
Donde f(t) se denomina el vector de fuerzas global y se calcula como:
Z
Z
X
T
T
f(t) =
Φ(x) g(x,t) dV + Φ(x) t(x,t) dS +
ΦT(xi ) pi(t)
Ω
Γ
(3.13)
i
Este vector es de dimensión m.
3.4.
Ecuaciones de movimiento
Tomando en cuenta los resultados expuestos mas arriba, la energı́a potencial
total y la energı́a cinética toman las siguientes formas discretas.
Π=
1 T
q(t) K q(t) − qT(t) f(t)
2
(3.14)
1 T
q̇ M q̇(t)
(3.15)
2 (t)
Notese que la dimensión de las matrices y vectores que conforman estas expresiones resulta ser igual al numero de funciones de Ritz utilizadas en la aproximación,
i.e. m. En consecuencia, estas expresiones pueden ser introducidas en problema
dinámico formulado en la sección 2.1.2, habiendo entonces m ecuaciones de Lagrange de la forma:
¶
µ
d ∂T
∂T
∂Π
−
+
=0
j = 1, . . . , m
(3.16)
dt ∂ q̇j
∂qj ∂qj
T =
Al introducir la energı́a potencial total Π, en la j-ésima ecuación de Lagrange
y tomando en cuenta que la matriz de rigidez es simétrica (i.e. K = KT
⇒
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Kij = Kji ), tenemos:
·
¸
1 T
q(t) K q(t) − qT(t) f(t)
2
·
¸
i
1 T
∂ h T
q K q(t) −
q f(t)
2 (t)
∂qj (t)
" m m
#
" m
#
∂ 1 XX
∂ X
=
Kik qi qk −
fi qi
∂qj 2 i=1
∂qj i=1
k=1
" m
#
m
X
1 X
=
Kjk qk +
Kij qi − fj
2
i=1
∂Π
∂
=
∂qj
∂qj
∂
=
∂qj
=
=
1
2
k
m
X
(Kji qi + Kij qi ) − fj
i=1
m
X
Kji qi − fj
i=1
Ası́, escribiendo para los m grados de libertad, tenemos:
m
∂Π X
=
K1i qi − f1
∂q1
i=1
∂Π
=
∂q2
m
X
K2i qi − f2
i=1
..
.
⇒
¯
∂Π ¯¯
¯
∂qj ¯
= Kq(t) − f(t)
j=1...m
m
X
∂Π
=
Kmi qi − fm
∂qm
i=1
En el caso de la energı́a cinética, de forma análoga y tomando en cuenta que la
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matriz de masa M sólo depende de las coordenadas espaciales, tenemos:
¯
∂T ¯¯
=0
¯
∂qj ¯
¯j=1...m
∂T ¯¯
= Mq̇(t)
¯
∂ q̇j ¯
j=1...m
µ
¶ ¯¯
d ∂T ¯
= Mq̈(t)
¯
dt ∂ q̇j ¯
j=1...m
Finalmente, el problema discreto se escribe como:
Mq̈(t) + Kq(t) = f(t)
(3.17)
Es importante resaltar que las condiciones de borde esenciales ya están incluidas
dentro de esta formulación puesto que las funciones de Ritz utilizadas las verifican.
En consecuencia, sólo es necesario incluir las condiciones iniciales, i.e.:
u = u0
u̇ = u̇0
en
en
Ω , t = t0
Ω , t = t0
En general, lo que se busca al resolver este problema es el valor de q(t) , ya que
con este vector es posible calcular la función desplazamiento u(x,t) mediante:
u(x,t) = Φ(x) q(t)
(3.18)
Una vez obtenida la función u(x,t) se puede proceder a estimar otras funciones
de interés como lo son las deformaciones y los esfuerzos:
²(x,t) = B(x) q(t)
3.5.
σ (x,t) = DB(x) q(t) = D²(x,t)
(3.19)
Limitaciones del método de Rayleigh-Ritz
La ventaja principal del método de Rayleigh-Ritz es su sencillez conceptual y su
excelente precisión cuando se eligen funciones de Ritz, aun en un número reducido,
que se asemejan bastante a la función u que se desea aproximar. Sin embargo, este
método presenta varias desventajas que hacen difı́cil su aplicación sistemática
(programable) para la resolución de problemas generales de elasticidad. Entre
estas desventajas tenemos:
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Las funciones de Ritz deben ser escogidas por el usuario y en general, son
diferentes para cada problema. De hecho, la precisión del método depende
fuertemente de las funciones escogidas.
Las funciones de Ritz escogidas deben ser validas para todo el dominio del
problema, lo que representa una dificultad para problemas reales donde los
dominios tienen geometrı́as tridimensionales complejas.
Las funciones de Ritz deben verificar las condiciones esenciales en la frontera
del dominio, lo que puede representar un dificultad enorme para un problema
real.
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