Máximo común divisor

Máximo común divisor
Cálculo del máximo común divisor
El máximo común divisor de dos enteros m y n es el mayor entero que divide a ambos simultáneamente, y
se suele denotar como mcd(m,n) o simplemente, cuando no hay duda por el contexto, como (m,n). Por
ejemplo, el máximo común divisor de 8 y 12 es mcd(8,12)=4. El máximo común divisor es siempre
positivo. Cuando los enteros cuyo máximo común divisor se factorizan de forma sencilla, la manera
habitual de calcular el máximo común divisor consiste en tomar los factores primos comunes a m y n, con
el menor de los exponentes con el que aparecen. Así, como 8=23 y −12=−22×3, el único factor primo
común es 2, apareciendo en −12 con el menor exponente 2, de ahí que mcd(8, −12)=22=4. Un caso
sencillo del cálculo del máximo común divisor se da cuando uno de los enteros es múltiplo del otro; así, si
m divide a n, entonces mcd(m,n)=|m|. La definición de máximo común divisor se aplica también a más de
dos enteros, siendo en cualquier caso el mayor entero que divide a todos ellos simultáneamente, y
pudiendo nuevamente calcularse como el producto de los factores primos comunes a todos los enteros,
con el mínimo exponente con el que aparecen. Así, el máximo común divisor de 2010=2×3×5×67,
−15=−3×5 y 27=33 sería mcd(2010, −15,27)=3, pues no hay otro factor común a los tres, y aparece con
exponente 1 tanto en 2010 como en −15. El máximo común divisor de más de dos números es el máximo
común divisor de uno de ellos y el máximo común divisor de los demás.
Por ejemplo,
mcd(2010,−15,27)=mcd(mcd(2010,−15),27)=mcd(15,27)=3.
El mínimo común múltiplo de dos números m y n es el menor entero positivo que es múltiplo de ambos
simultáneamente, y se suele denotar mcm(m,n), o cuando el contexto no deja lugar a otras
interpretaciones, como [m,n]. Cuando m y n se factorizan de forma sencilla, el procedimiento para hallar
su mcm es multiplicar todos los primos que aparecen en sus factorizaciones, con el máximo exponente
con el que aparecen. Así, mcd(8,−12)=mcd(23,−22×3)=23×3=24. Un caso sencillo para hallar el mínimo
común múltiplo se da cuando uno de los números es múltiplo del otro; así, si m divide a n, entonces
mcm(m,n)=|n|. El mínimo común múltiplo se generaliza también para más de dos enteros, siendo el
procedimiento para calcularlo igual que en el caso de dos enteros, y manteniéndose también la propiedad
de que el mínimo común múltiplo de todos ellos es igual al mínimo común múltiplo de uno de ellos y del
mínimo común múltiplo de los demás. Así, mcd(2010,−15,27)=2×33×5×67=18090, y al mismo tiempo,
mcm(2010,−15,27)=mcm(mcm(2010,−15),27)=mcd(2010,27)=18090.
Se puede demostrar (¡inténtalo!), que para cualesquiera enteros m y n, se tiene que
mcd(m,n)×mcm(m,n)=|mn|. Para más de dos enteros, no hay un resultado sencillo equivalente.
El algoritmo de Euclides
Si tenemos dos números m y n que no podemos factorizar fácilmente, es muchas veces más sencillo el
siguiente procedimiento ideado por Euclides para calcular el máximo común divisor: dividimos el mayor
de ellos (supongamos que es m) entre el menor, y calculamos el cociente de la división, que llamamos m'.
Entonces, mcd(m,n)=mcd(m',n). Tenemos ahora que calcular el máximo común divisor de dos números,
uno de los cuales es más pequeño que los anteriores. Podemos continuar este proceso, hasta que los dos
números que obtenemos sean uno múltiplo del otro, y entonces hemos acabado. Por ejemplo, para hallar
por este procedimiento mcd(2010,1960), haríamos lo siguiente: dividimos 2010 entre 1960, obtenemos
cociente 1 y resto 50: 2010=1×1960+50, luego. Proseguimos de la misma forma, obteniendo que
1960=39×50+10,
y
que
50=5×10,
con
lo
que
llegamos
finalmente
a
que
mcd(2010,1960)=mcd(50,1960)=mcd(50,10)=10.
Combinaciones lineales de enteros
El proceso anterior nos permite, yendo hacia atrás, escribir el máximo común divisor mcd(m,n) como
combinación lineal de m y n, es decir, mediante una expresión de la forma am+bn, donde a y b son
enteros. Así, en el ejemplo anterior tendríamos
10 = 1960 − 39 × 50 = 1960 − 39 × (2010 − 1 × 1960 ) = 40 × 1960 − 39 × 2010 .
Es destacable entonces que cualquier múltiplo del máximo común divisor d=mcd(m,n) de dos enteros m y
n, se puede escribir como combinación lineal de dichos enteros. Así, cualquier múltiplo de d se escribe
como rd, donde r es un entero cualquiera. Ya hemos visto que, recorriendo hacia atrás el algoritmo de
Euclides para hallar el mcd, podemos escribir d=am+bn para enteros a y b, luego rd=arm+brn, donde ar y
br son claramente enteros. Además, como d divide a am y a bn para cualesquiera enteros a y b, pues d
divide a m y a n, entonces d divide a cualquier combinación lineal de m y n. Deducimos de aquí las
siguientes conclusiones: para cualesquiera enteros a y b, el máximo común divisor de m y n divide a
am+bn, y además el máximo común divisor de m y n es igual al máximo común divisor de todas las
combinaciones lineales de m y n. Esto es también aplicable para el caso de expresiones algebraicas, por
ejemplo: demostrar que la fracción
21n + 4
14n + 3
es irreducible (es decir, está escrita con numerador y denominador mínimos, sin factores comunes entre
ellos), para cualquier entero n.
Hallamos el máximo común divisor de 21n+4 y de 14n+3 de acuerdo al algoritmo de Euclides:
21n + 4 = 1 × (14n + 3) + 7 n + 1 ;
14n + 3 = 2 × (7 n + 1) + 1 .
Tenemos entonces que el máximo común divisor de 21n+4 y de 14n+3 es 1, independientemente del valor
de n, con lo que la fracción propuesta es irreducible.
Otro ejemplo de aplicación es el siguiente: sea an=1+n3 la sucesión {2,9,28,65,…} y δn=mcd(an+1,an).
Hallar el máximo valor que puede tomar δn.
Claramente, mcd(an+1,an) divide a
3
an +1 − an = (n + 1) + 1 − n3 + 1 = 3n 2 + 3n + 1 .
Por lo tanto, también debe dividir a
n 3n 2 + 3n + 1 − 3 n3 + 1 = 3n 2 + n − 3 ,
ya
3n 2 + 3n + 1 − 3n 2 + n − 3 = 2n + 4 .
Como an y an+1 no pueden ser ambos pares (el primero lo es si n es impar, y entonces no lo es el segundo,
y viceversa), mcd(an+1,an) debe ser impar, luego como mcd(an+1,an) divide a 2n+4=2(n+2) pero es impar,
entonces divide a n+2. Entonces, también divide a
3n 2 + 3n + 1 − (3n − 3)(n + 2 ) = 7 .
Por lo tanto, mcd(an+1,an) divide siempre a 7, con lo que o es 1, o es 7, por ser 7 primo. Ahora bien,
a5=126 y a6=217, siendo ambos múltiplos de 7, luego el valor máximo es 7, que se alcanza por ejemplo
para n=5.
(
(
) (
(
)
)
)
Ejercicios propuestos
Los números naturales a y b son tales que
a +1 b +1
+
b
a
es entero. Demostrar que el máximo común divisor de a y b no es mayor que
da la igualdad.
a + b y hallar cuándo se
Se dispone de pequeñas piezas de madera de tamaño 4×5×10. Decide si es posible o no apilarlas, sin
dejar huecos y apoyándolas siempre sobre cualquiera de sus caras, para formar un ortoedro de
dimensiones 22003×32003×52003.
Halla todas las sucesiones de n números naturales consecutivos (n≥3), a1,a2,...,an tales que su suma es
a1+a2+...+an=2009.
La igualdad 2008=1111+444+222+99+77+55 es un ejemplo de descomposición del número 2008 como
suma de números distintos de más de una cifra, cuya representación (en el sistema decimal) utiliza un
sólo dígito.
i) Encontrar una descomposición de este tipo para el número 2009.
ii) Determinar para el número 2009 todas las posibles descomposiciones de este tipo que utilizan el
menor número posible de sumandos (el orden de los sumandos no se tiene en cuenta).
Halla dos enteros a y b conociendo su suma y su mínimo común múltiplo. Aplícalo al caso de que la
suma sea 3972 y el mínimo común múltiplo 985928.