Aplicación de fórmulas de incentivos basadas en resultados y

CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
CAP. 6: APLICACIÓN DE FÓRMULAS DE INCENTIVOS
Capítulo 6
APLICACIÓN DE FÓRMULAS DE INCENTIVOS
BASADAS EN RESULTADOS Y PREVISIONES
Contenido:
6.1 El paradigma de la función incentivo de “dos fases/doble vía" (D/D)
• Convergencia de soluciones para un mismo problema
• Determinación de los parámetros
• Simetría/asimetría de los parámetros
6.2 Previsiones de los agentes según su actitud frente al riesgo
• Agentes ‘aversos’ al riesgo
• Agentes ‘propensos’ al riesgo
• Parámetros asimétricos como forma de neutralizar el sesgo en las propuestas de previsiones
6.3 Las fórmulas de incentivos en la segunda fase: estímulo a superar la previsión
• El inconveniente relativo de la penalización en las funciones-incentivo D/D
• Premiar más que proporcionalmente una superación de la previsión: función D/D modificada.
6.4 Adaptación de las fórmulas de incentivos a otros casos
• Caso en que existe más de una variable de control
• Caso en que la variable de control es una variable a minimizar
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6.1.
Joaquim Vergés
EL PARADIGMA DE LA FUNCIÓN-INCENTIVO DE “DOS
FASES/DOBLE VÍA” (D/D).
(6.1.1)
Convergencia de soluciones para un mismo
problema
Las últimas cuatro fórmulas de incentivos examinadas en el capítulo precedente tienen
en común que actúan temporalmente en dos fases -fase de hacer previsiones y fase de
comparación del valor real con el valor previsto- y que para esta segunda fase prevén una
doble vía de aplicación: una cuando el producto realmente conseguido por el A es superior al
previsto y otra para el caso contrario. Gracias a esta estructura se puede incentivar al A a
conseguir un alto nivel de producto sin la consecuencia perversa que general el “efecto
ocultación”. Por otro lado, también tienen en común que en la primera fase inducirán el mismo
tipo de comportamiento en el A si éste se encuentra en situación de certeza en lo que respecta
al valor futuro de producto a alcanzar, y también en el caso de incertidumbre si los parámetros
respectivos cumplen determinadas condiciones.
No obstante, es evidente que se trata de cuatro funciones-incentivo que responden a
planteamientos distintos elaborados desde perspectivas diferentes. Por un lado, hemos visto las
de Ellman, Fan y Weitzman, inspiradas por las experiencias y propuestas relativas al sistema de
incentivos para gerentes de empresas estatales, aunque sean fórmulas de incentivos pensadas
para situaciones de agencia en general en las que se pretende que los A no sólo consigan
resultados elevados, sino también que hagan previamente previsiones fiables, que revelen
información veraz sobre las posibilidades de rendimiento de la US cuya gestión se les confía.
Por otro lado, existe la de Gonik-IBM, elaborada desde la lógica de una multinacional privada
que pretende conseguir exactamente lo mismo de sus A responsables comerciales de distintas
áreas geográficas. El caso es que, a pesar de responder a planteamientos distintos, las cuatro
fórmulas de incentivos examinadas pueden ser consideradas -como se demuestra a
continuación- como casos concretos de una misma forma funcional implícita -que
denominaremos función-incentivo de dos fases/doble vía (D/D)- que puede enunciarse así:
IE = β .X' + {a,c}.(X - X')
FUNCIÓN D/D, EXPRESIÓN GENERAL
[26]
0 < a < β < c , parámetros predeterminados por el P.
a, parámetro activo cuando X>X'
c, parámetro activo cuando X<X'
En efecto, la fórmula de FAN, IE= α.X - α.ε|X - X'|, permite -como hemos visto antesser reescrita como: IE =α.X' + α(1±ε).(X-X'), [20a]. En lo que respecta a la de GONIKIBM, admite también ser reformulada en los términos siguientes:
254
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Joaquim Vergés
si X=X' --> IE= (IE^/X^ ). X' ; y, si hacemos, para simplificar, (IE^/X^) = b;
entonces
IE = b. X'
si X>X' --> IE= (IE^/X^).(X+X')
≡ b.X' +(b/2).(X-X')
si X<X' --> IE= (IE^/2X^).(3X-X')
≡ b.X' + (3/2).b.(X-X')
es decir, que la expresión común implícita es:
IE = b.X' + b.(1±
±0,5).(X-X')
y, en lo que respecta a la función de Weitzman, si tenemos en cuenta que los valores
anticipados por el P, X^ y IE^, pasan a ser unos parámetros para el A, podemos reescribirla
como:
+α.(X - X') , si X > X'
IE = (IE^-β.X^) + β.X' 
- λ.(X' - X) , si X < X'
[23.a]
Donde (IE^-β.X^) es un valor constante que, como ya se ha mencionado anteriormente, en la
lógica del planteamiento de Weitzman sería igual o cercano a cero.1
En consecuencia, podemos establecer las correspondencias siguientes entre las cuatro
fórmulas examinadas (la notación, en lo que respecta los respectivos parámetros, es la
correspondiente a cada autor, excepto en el caso de Gonik):
β
Parámetros de la forma funcional común:
función de ELLMAN
Función de FAN
función de WEITZMAN
función de GONIK
a
α
β
b
a
a.k(baja)
α.(1-ε)
α
b(1-0,5)
c
-
a.k(alta)
α.(1+ε)
γ
, (IE^-β.X^)
b(1+0,5)
Así, puede decirse que las cuatro fórmulas de incentivos responden, de hecho, a una
misma forma funcional de tres parámetros, la [25], con los matices siguientes: la función de
Fan es un caso concreto en que los dos parámetros extremos son simétricos respecto el
parámetro central β; y, a la vez, la fórmula de Gonik-IBM es un caso específico de parámetros
simétricos, en el que la separación relativa de los mismos con relación al parámetro principal β
es concretamente igual al 50% (ε = 0,5) . En lo que respecta a la función de Weitzman, tiene
un cuarto parámetro, cuyo valor será normalmente igual o cercano a cero, por lo indicado
anteriormente.
El siguiente ejemplo ilustra el paralelismo anterior y puede considerarse como una
aplicación de la siguiente función D/D [25] :
IE = 8.X' + {6,10}.(X - X')
o, también, como una aplicación de la función de Ellman (con a=8, kbaja=0,75 y kalta= 1,25),
o bien una aplicación de la de Fan (con α=8 i ε=0,25), o una aplicación de la de Weitzman
1
Ya que IE^ es la prima-base si el A acepta sin modificar la previsión sugerida por el P, y por eso parece lógico
suponer que IE^ la habrá determinado el P como IE^=β.X^
255
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simplificada (con IE^=β.X^):
Tabla I :
IMPORTE DE LA PRIMA, SEGÚN DIFERENTES HIPÓTESIS DE VALOR PREVISTO Y DE VALOR REAL
Función-incentivo D/D, parámetros simétricos 8, 6, 10 (separación relativa: 25 %)
Probabilidades estimadas para el A para cada posible valor de X:
0,05
0,10
0,20
0,30
0,20
0,10
0,05
Si X=
280000
320000
360000
400000
440000
480000
520000
⇐
2.24
2.16
2.08
2,00
1,92
1,84
1,76
2.48
2.56
2.48
2,4
2,32
2,24
2,16
2.72
2.8
2.88
2,80
2,72
2,64
2,56
2.96
3.04
3.12
3,20
3,12
3,04
2,96
3.2
3.28
3.36
3,44
3,52
3,44
3,36
3.44
3.52
3.6
3,68
3,76
3,84
3,76
3.68
3.76
3.84
3,92
4,00
4,06
4,16
Si X' = ↓
280000
320000
360000
400000
440000
480000
520000
Esperanza
matemática
⇓
2,960
3,032
3,088
3,112
3,088
3,031
2,960
En la tabla se incluye también un supuesto sobre las probabilidades que el A estima para cada
posible valor futuro de producto (más exactamente, para el intervalo cuyo valor central es el
que figura en la columna correspondiente). Una información que nos indica que el A estima
que el intervalo de máxima probabilidad es 380.000 < X ≤ 420.000, es decir, calcula que existe
un 30% de probabilidades que esté alrededor de 400.000 unidades (= X+p), o que, por
ejemplo, desde su perspectiva, la probabilidad de conseguir un valor alrededor de 480.000
unidades es únicamente del 10 % .
0,30
f(X)
0,20
P(..<X <..)
0,30
0,10
0,20
0,20
0,10
0,10
0,05
0,05
280.000
360.000
320.000
440.000
400.000
X
520.000
480.000
En la columna final de la tabla también se ha representado el cálculo de la esperanza
256
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matemática de prima para el A, según sea la decisión que tome en la primera fase al hacer su
previsión2. Como puede verse, esta esperanza matemática tiene un máximo (3.112.000 pts.)
cuando el A elija como previsión precisamente X'=400.000 unidades, la cifra de producto para
la que estima la máxima probabilidad.
♠♠
Lo que sigue del presente apartado y los dos siguientes (6.2 y 6.3) está dedicado a
exponer el funcionamiento y las propiedades de la que hemos denominado función-incentivo
general tipo “dos fases/doble vía”, D/D, lo que permitirá ampliar y generalizar las
conclusiones para casos específicos expuestas en el capítulo anterior, así como extender las
posibilidades de aplicaciones prácticas de estas fórmulas de estímulo económico.
(6.1.2)
Determinación de los parámetros
El parámetro central: intensidad del incentivo
En una fórmula de incentivos de tipo D/D el parámetro principal es, sin duda, el β, ya
que de él depende el orden de magnitud o intensidad del incentivo. Si se establece un incentivo
según esta fórmula, el A, como hemos visto, no estará interesado en proponer previsiones ni
bajas ni poco probables; a la vez que sí estará interesado, una vez fijada la previsión, en
conseguir el máximo resultado posible. Por tanto, no sólo tenemos que considerar que en tales
condiciones el hecho de cumplir la previsión es una muestra de gestión eficiente, sino que es de
esperar que la desviación entre el valor real y el previsto sea proporcionalmente pequeña. En
consecuencia, la parte cuantitativamente dominante de la prima definitiva que cobrará el A
vendrá dada por la primera parte de la fórmula: β·X’, que llamaremos prima prevista o prima
base, y que es lo que cobrará el A en el caso de que efectivamente cumpla la previsión que él
mismo ha propuesto:
IE = β·X’ + {a, c}·(X-X’)
PRIMA PRIMA
BASE
COMPLEMENTARIA
La decisión que debe tomar el P sobre el valor a fijar para este parámetro principal, β, para
una US o un A determinado, es, por tanto, una decisión sobre la intensidad óptima del
incentivo. Tema que hemos visto antes en le apartado 5.2. Recordemos al respecto unas
conclusiones importantes:
• El A decide su esfuerzo (e) en el momento en que tiene que presentar su previsión al P; y
esta decisión dependerá -a la vista de la fórmula que determinará su retribución variable- de
cual sea la intensidad del incentivo esperable, o sea, dependerá -si nos referimos a una
fórmula de incentivos D/D- del valor que se asigne al parámetro β.
2
Así, por ejemplo: E[IE]X'=480.000 = 1,84 x 0,05 + 2,24x0,1 + 2,64x0,2 + .......+ 4,06x0,05 = 3,031 millones.
257
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Joaquim Vergés
• Decidido un determinado nivel de esfuerzo, el A tendrá una determinada estimación del
intervalo entre el que puede estar el volumen máximo de producto que podrá realmente
conseguir, X; y cada posible valor dentro del intervalo tendrá, para el A, una determinada
probabilidad de darse (es lo que llamamos “distribución de probabilidades subjetivas”), en
función de las diferentes posibilidades futuras respecto a las variables del entorno.
• En consecuencia, esta distribución de probabilidades subjetivas será diferente, según sea el
nivel de esfuerzo que haya decidido emplear el A en su gestión al frente de la Unidad. Dicho
de otro modo: la probabilidad que estimará con la finalidad de conseguir o superar un
determinado nivel de producto, X0, será más elevada cuanto más elevado sea el nivel de
esfuerzo que piensa aplicar en su gestión.
f(X)
(amb e=e(1) )
f(X)
(amb e=e(2) )
0
X
X
0
e (1)
<
e (2)
β(1)
<
β(2)
Podemos concluir, por tanto, que, 1) si se establece un incentivo económico tipo función
D/D, la previsión que presentará el A tenderá a ser igualmente probable (desde su perspectiva)
pero cuantitativamente más alta cuanto más alto sea el parámetro principal β; y, 2) que todo lo
que hemos visto antes al hablar de la situación de incertidumbre y de la intensidad óptima del
incentivo para el caso de la función sencilla [1] es aplicable al parámetro principal β de las
funciones D/D.
Separación relativa de los parámetros: Penalización, y Grado de fiabilidad de las
previsiones
La separación entre los parámetros extremos y el central constituye el elemento de la
fórmula de incentivos D/D que, en la primera fase, cuando se solicita al A una previsión, señala
a éste la penalización que experimentará su retribución variable, tanto si el valor real de
producto conseguido es inferior como superior, característica que hace que este tipo de
funciones-incentivo eliminen el efecto ocultación y hagan innecesaria la respuesta del efecto
“ratchet” por parte del P.
Puede resultar, en principio, paradójico hablar de “penalización” en caso de que el A
obtenga un valor de producto real superior al previsto, pero recuérdese que nos referimos
siempre a una penalización relativa: si supera la previsión, tendrá derecho a la prima base,
calculada sobre la previsión, más una prima adicional sobre la diferencia; pero la prima que le
asignaría la fórmula sería aún mayor si en la fase de hacer previsiones hubiese acertado el valor
del producto realmente conseguido. Esta diferencia de prima es lo que constituye la
258
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penalización relativa.
Del mismo modo, la penalización relativa por haber obtenido un valor real de producto inferior
al previsto no viene dado por la deducción -c·(X’-X) de la fórmula, sino solamente por -(c-β)·(X’X), ya que restar de la prima base (β·X’) un importe igual a β(X’-X) no representa ninguna
penalización, sino una simple corrección sobre la prima base que es preciso realizar debido a
que la realidad ha quedado por debajo de la previsión.
Resumiendo, si una vez transcurrido el periodo, el A hubiese conseguido superar su propia
previsión: X > X’, entonces tendremos:
* Prima que cobrará: β·X’ + a ·(X-X’)
* Prima máxima que podría haber cobrado (si hubiese dado como previsión el valor más
elevado X): β·X.
* Penalización: β.X - [β.X' + a.(X - X')] ≡ β.X - [β.X - β(X - X') + a(X - X') ≡ (β
β -a).(X -X')
Y, paralelamente, si suponemos que quedase por debajo de la cifra fijada como previsión: X <
X', --->
* Penalización: (c - β ).(X' - X)
Esta cuestión queda aún más en evidencia si reescribimos la fórmula de incentivos D/D
en los siguientes términos:
IE = β.X' + {a,c}.(X - X') ≡
{si X>X'}
≡ β.X' + a.(X - X') +β.X - β.X ≡ β .X -(β
β -a).(X - X')
{si X<X'}
≡ β.X' + c.(X - X') +β.X - β.X ≡ β .X -(c-β
β ).(X' - X)
Por tanto, la penalización implícita en la fórmula será mayor cuanto más alta sea la
separación entre los parámetros. El que dicha separación se considere muy alta, media o baja
dependerá, lógicamente, del valor del parámetro β, es decir, de la separación relativa: (c-β)/β
y (β-a)/β, respectivamente. En consecuencia, el que la penalización por “equivocarse” al dar la
previsión sea más o menos fuerte depende, en realidad, no tanto de la separación absoluta
como de la separación relativa de los parámetros de la fórmula de incentivos. En caso de que
los parámetros sean simétricos, la separación relativa es la misma en los dos sentidos, ε = (βa)/β = (c-β)/β, y puede explicitarse reescribiendo la función D/D al estilo de la de Fan:
IE = β.X' + β.(1 ± ε).(X - X')
[26a]
0 < ε < 1 ; signo "-" cuando X>X' ; signo "+" cuando X<X'
donde el parámetro ε denota la separación relativa, en tanto por uno.
Expresión que permite precisar que cuanto más grande sea la separación relativa, ε, mayor
será la penalización (que tendrá el A “a posteriori”) por haber dado una previsión que
después no se ha cumplido exactamente; (“error” de previsión que, en mayor o menor
medida, será algo virtualmente inevitable).
Esto queda ilustrado en la tabla que sigue, que corresponde al mismo ejemplo numérico
anterior, también con parámetros simétricos pero con una separación relativa más alta (75% en
lugar del 25% anterior).
259
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Joaquim Vergés
Tabla II
IMPORTE DE LA PRIMA, SEGÚN DIFERENTES HIPÓTESIS DE VALOR PREVISTO Y DE VALOR REAL
Función-incentivo D/D: IE = 8.X' + {2,14}.(X - X');
(parámetros simétricos; separación relativa: 75 %)
Probabilidades estimadas por el A, para cada posible valor de X:
0,10
0,20
0,30
0,20
0,10
0,05
Si X=
280000
320000
360000
400000
440000
480000
520000
matemática
⇓
⇐
2.24
2
1,76
1,52
1,28
1,04
0,80
2,32
2.56
2,32
2,08
1,84
1,60
1,36
2,40
2,64
2.88
2,64
2,40
2,16
1,92
2,48
2,72
2,96
3,20
2,96
2,72
2,48
2,56
2,80
3,04
3,28
3,52
3,28
3,04
2,64
2,88
3,12
3,36
3,6
3,84
3,60
2,72
2,96
3,20
3,44
3,68
3,92
4,16
2,480
2,696
2,864
2,936
2,864
2,696
2,480
Si X' = ↓
280000
320000
360000
400000
440000
480000
520000
Esperanza
0,05
Obsérvese que -comparando la misma columna de las tablas I y II- una vez conseguida
una determinada cifra real para la variable de control, la prima que deja de ganar el A por haber
dado como previsión una cifra diferente es significativamente mayor en la tabla II.
Por ejemplo, en la tabla I, si suponemos que el A dio como previsión en la primera fase
X’=400.000 unidades y que después las cosas han ido mejor de lo que estimó y ha conseguido
llegar a 480.000 unidades, la prima que le asigna la fórmula será de 3.680.000 pts. en lugar de
las 3.840.000 pts. a las que tendría derecho si hubiera previsto X’=480.000 pts. La
penalización es, por tanto, de 260.000 pts. Por el contrario, si los parámetros de la función
fuesen los de la tabla II, en la que la separación relativa es del 75% podemos ver que la
penalización para el mismo supuesto será de 3.840.000-3.360.000=480.000 pts.
Grado de fiabilidad de las previsiones
Este hecho de que cuanto mayor sea la separación relativa, ε, más alta será la
penalización futura por la realización de previsiones que posteriormente resultan
substancialmente diferentes del valor de producto realmente obtenido por el A y, tiene a su vez
otra consecuencia: las previsiones que tenderá a hacer el A serán más fiables cuanto mayor
sea la separación relativa de los parámetros. Esto es debido a que cuanto mayor sea la
separación relativa, mayor es el riesgo (de perder prima) que asume el A en el momento de dar
su previsión, i por tanto mayor será su interés en esforzarse en dar previsiones que considere
fiables. Por previsiones fiables entendemos las que se obtienen de haber evaluado lo mas
cuidadosamente posible cual es la probabilidad de conseguir como máximo tal o cual valor de
producto; evaluación que implica que el A ha estudiado adecuadamente tanto las posibilidades
técnicas y de personal de su US para la consecución de determinados resultados futuros, como
los posibles escenarios de las variables del entorno y del estado de la naturaleza, la influencia
de los cambios probables de la coyuntura económica, etc. Tengamos en cuenta que una
estimación de probabilidades puede hacerse mejor o peor; lo que usualmente quiere decir
260
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
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dedicar más o menos esfuerzo a estudiar las posibilidades futuras.
Paralelamente, una baja separación relativa implicará una penalización irrelevante y, por
tanto, una tendencia del A a desentenderse del la cuestión de dar previsiones fiables, dado que
esto no afectará substancialmente al importe de la prima que cobrará al final del periodo.
Suponiendo una situación límite, una separación relativa insignificante (ε=0,02, por ejemplo)
convertiría la función D/D en la sencilla fórmula de incentivo proporcional según resultados
[1], ya que entonces IE≈β·X. En este caso, el A continuará, obviamente, incentivado para la
obtención del producto máximo, pero no a preocuparse de dar previsiones fiables.
En consecuencia, en la medida en que el P esté interesado en que el A presente
previsiones fiables, adecuadas y bien estudiadas, la separación relativa de los parámetros
deberá ser importante. Entenderemos que fiables o precisas significa que el A habrá evaluado
de la manera mejor posible que sabe y puede la probabilidad de conseguir como máximo una
cifra determinada de producto para proponer la cifra de previsión que más le interese (de
acuerdo con la fórmula concreta de incentivo que previamente le ha comunicado el P). La
fiabilidad está, por tanto, referida no a la cifra de previsión que da, sino a la función de
densidad de probabilidades, f(X), en la cual se basa el A para decidir tal cifra.
(6.1.3)
Simetría/asimetría de parámetros
El hecho de que en la fórmula de incentivos D/D [26] los parámetros a y c sean o no
simétricos respecto el parámetro principal β influirá, en un sentido diferente al anterior, sobre
el tipo de previsiones que tenderá a presentar el A3. En este marco, decir que los parámetros
son asimétricos es equivalente a decir que las dos separaciones relativas no son idénticas. En
cuanto a la notación, reservaremos ε para referirnos al parámetro de “premio” e
introduciremos λ para denotar el de “castigo”:
β−a
=ε
β
;
c−β
=λ ;
β
ε≠λ
de este modo podemos reescribir la función D/D en términos más generales explicitando las
separaciones relativas:
IE= β.X' + { β(1-ε), β(1+λ) }.(X - X')
s.a: β(1-ε), si X>X’; β(1+λ), si X<X’
[26b]
3
Al igual que en el anterior capítulo, damos por sentado que el P acepta sistemáticamente la previsión que le
presenta o propone el A: (X’≡XA), en consecuencia, y para simplificar, nos referiremos a la previsión dada por
el A como X’.
261
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
Joaquim Vergés
Proposición general:
Cuando se aplica una función-incentivo tipo D/D con parámetros que pueden ser
simétricos o asimétricos, se puede demostrar que:
Un A que sea neutral al riesgo y que efectivamente trate de maximizar su retribución,
tenderá a dar previsiones con una probabilidad de ser superadas que dependerá del valor
que el P haya fijado para los parámetros, en el sentido siguiente :

c −β
λ 
El A escogerá X' tal que P(X ≥ X') =
;
≡
 ; [ 27]
c−a
 λ + ε
La demostración es paralela a la de la nota 39 del capítulo anterior: La esperanza matemática de
prima, con la función-incentivo [24], suponiendo una función de densidad de probabilidades continua
para la variable producto, f(X), es
∞
X<X'
X=X'
0
∫ [β . X '+ a .( X − X ')]. f ( X ). dX + ∫ [β . X ' − c .( X '− X )]. f ( X ). dX
E[ IE ] X ' =
y este valor esperado será máximo, en relación a la decisión que debe tomar el A sobre X’, cuando la
derivada de la función, con relación a X’, sea nula 4:
Parámetros simétricos
En el caso de que la separación entre β y a sea la misma que entre c y β (parámetros
simétricos), el anterior cociente será igual a 0,5 y, por tanto, la previsión de producto que
tenderá a proponer el A sabemos, por lo que hemos visto en el capítulo anterior, que será la
mediana de su función de distribución de probabilidades, es decir, aquel valor futuro de
producto que, desde su punto de vista, tiene las mismas probabilidades de ser superado como
de no ser realmente alcanzado5, lo que equivaldrá al valor central del intervalo de X para el
que estima la máxima probabilidad (X+P), en caso de que la distribución de probabilidades sea
“normal”. (Es decir, la conclusión que antes -en el capítulo 5- se ha visto para una función tipo
Fan que, por definición, es siempre de parámetros simétricos). Formulado esquemáticamente:
Si los parámetros son simétricos,
el A es neutral al riesgo (y la distribución de
4
dE [ IE ]
= ∫ [ β − a ]. f ( X ). dX +
dX '
X=X'
∞
∞
X<X'
∫ [β − c]. f ( X ). dX = 0 ;
y, por tanto:
0
∞
∞
X=X'
X=X'
[β − a]. ∫ f ( X ). dX + [β − c].(1 − ∫ f ( X ). dX ) = 0 ; ⇒ ∫ f ( X ). dX ) .( β − a − β + c) = (c − β ) ;
X=X'
⇒
c−β
=
c−a
∞
∫ f ( X ). dX ≡ P( X ≥ X ' )
X=X'
5
En términos más precisos deberíamos decir P(X≥X') = P(x<X') ; o bien P(X>X')=P(X≤X'). La diferencia está
en la probabilidad específica de que se dé precisamente el hecho singular X=X’, probabilidad que, a efectos
prácticos de nuestra argumentación, puede considerarse irrelevante. En efecto, dada, por ejemplo, una previsión
de ventas de 124.500.000 pts. para un trimestre, la probabilidad de que las ventas reales sean exactamente este
importe, ni una peseta por encima o por debajo, será lógicamente bien pequeña.
262
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
Joaquim Vergés
probabilidades es normal), el A elegirá X’ tal que P(X≥X’)=0,5 y, por tanto, X’=X+P.
Parámetros asimétricos
Al contrario, si la separación β -a es menor que la c-β
β , el A tenderá a formular planes
arriesgados, más bajos que el de máxima probabilidad, con una probabilidad mayor del 50% de
ser conseguidos/superados, y viceversa. Por ejemplo, si β=11, a=5 y c=20, la función incentivo
D/D producirá que un A neutral al riesgo tienda a prever valores que tendrán una probabilidad
del 60% de ser superados (una previsión conservadora)6. Si el valor de los parámetros fuese
β=11, a=4 y c=14, el A -al tratar de maximizar el importe del incentivo esperado- tendería a
realizar previsiones arriesgadas, en el sentido de que, desde su propia perspectiva únicamente
existe una probabilidad del 30% de ser conseguidas/superadas7.
(c-β)/(c-a) =
0,5
0,6
f(X)
0,3
f(X)
f(X)
60 %
0,5, (50 %)
X+p
X'
X
30 %
X
X'
X+p
X
X+p
X'
Una conclusión a la cual el A también puede llegar, en términos menos precisos, con un
razonamiento puramente lógico: Para el A es fácil ver que la separación β-a indica de hecho la
“penalización” (en términos de menor prima) que tendrá si la previsión que da resulta después
superada por el valor realmente conseguido, y que la separación c-β determina la penalización
en caso de que la previsión que dé no la alcance después. Por tanto, si se le fijan los
parámetros de la función-incentivo de forma que (β-a)<(c-β) y el A se comporta tratando de
maximizar el valor esperado del incentivo a cobrar, entonces tenderá a dar planes
conservadores, “a la baja”, ya que está comparativamente menos penalizado dar previsiones
que después sean superadas, que lo contrario. Es decir, el riesgo de pérdida de prima es
inferior si el A opta por dar como previsión un valor algo inferior a aquél que estima de
máxima probabilidad. Y viceversa, en caso que la separación (c-β) sea menor que la (β-a), el A
tenderá a realizar planes por encima del valor de máxima probabilidad, dado que en este caso
está relativamente menos penalizado “equivocarse” en este sentido que en sentido contrario.
Por lo tanto, si lo que desea el P es que el A tienda a realizar planes arriesgados,
superiores a la cifra que el propio A estima de máxima probabilidad, será preciso que los
parámetros sean asimétricos en el sentido de que la separación relativa entre el parámetro
central y el grande, λ, sea inferior a la existente entre el parámetro central y el pequeño, ε. Y a
la inversa, si lo que se quiere es que el A presente previsiones más conservadoras en el sentido
de por debajo del valor de máxima probabilidad..
6
7
c − β 20 − 11
λ
0,818
=
= 0,6 ; o
=
= 0,6
c − a 20 − 5
λ + ε 0,818 + 0,545
c − β 14 − 11
λ
0,273
=
= 0,3 ; o
=
= 0,3
c − a 14 − 4
λ + ε 0,273 + 0,636
263
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
Joaquim Vergés
Siguiendo el mismo ejemplo numérico de les tablas I y II, la tabla III que sigue
corresponde a una función D/D con los parámetros siguientes:
IE = 8.X' + {2, 10}.(X - X')
En este caso la asimetría es tal que penaliza relativamente poco no llegar al valor previsto
(10-8=2) y mucho la realización de planes fácilmente superables (8-2=6), porque la
separación relativa en el primer caso es menor que en el segundo [λ= (10-8)/8=0,25 frente a
ε =(8-2)/8 = 0,75]. en consecuencia, el A tenderá a presentar planes arriesgados.
Concretamente, previsiones para las que estime que sólo tienen un 25% de ser
conseguidas/superadas: (10-8)/(10-2)= 0,25 [≡ 0,25 / (0,25+0,75)].
Tabla III :
IMPORTE DE LA PRIMA, SEGÚN DIFERENTES HIPÓTESIS DE VALOR PREVISTO Y DE VALOR REAL
Función-incentivo D/D, parámetros asimétricos 8, 2, 10
(separación relativa: 75%, 25 %)
Probabilidades estimadas por el A, para cada posible valor de X:
0,05
Si X=
Si X' = ↓
280000
320000
360000
400000
440000
480000
520000
⇐
0,10
0,20
0,30
0,20
0,10
0,05
Esperanza
280000
320000
360000
400000
440000
480000
520000
matemática
⇓
2.24
2,16
2,08
2,00
1,92
1,84
1,76
2,32
2.56
2,48
2,40
2,32
2,24
2,16
2,4
2,64
2.88
2,80
2,72
2,64
2,56
2,48
2,72
2,96
3,20
3,12
3,04
2,96
2,56
2,80
3,04
3,28
3,52
3,44
3,36
2,64
2,88
3,12
3,36
3,60
3,84
3,76
2,72
2,96
3,2
3,44
3,68
3,92
4,16
2,480
2,704
2,896
3,024
3,056
3,024
2,960
Como ilustración de la conclusión teórica anterior, la última columna de la tabla nos
indica que, efectivamente, la esperanza matemática de prima para el A es máxima cuando elige
realizar una previsión X’=440.000, es decir, un valor que, de acuerdo con la aproximación
representada por la distribución de probabilidades discreta, tiene una probabilidad de ser
conseguido/superado de 0,2/2+0,1+0,05=0,25, es decir, del 25% exactamente.
Como ilustración de la conclusión teórica anterior, la última columna del cuadro nos
indica que, efectivamente, la esperanza matemática de prima para el A es máxima cuando
escoge dar como previsión X’= 440.000; un valor que, de acuerdo con la aproximación
representada por la distribución de probabilidades discreta, tiene una probabilidad de ser
alcanzado/superado de 0,20/2 + 0,10 + 0,05 = 0,25; es decir, del 25% exactamente.
Si, al contrario, el P elige para la función-incentivo D/D unos parámetros tales como
β=8, a=6 y c=20, que penalizan relativamente poco el hecho de realizar planes que después no
se lleguen a cumplir y penalizar poco lo contrario, el A tenderá a presentar planes probables-
264
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
Joaquim Vergés
bajos (concretamente, con una probabilidad del 85,7% de ser superados: (20-8)/(20-6)=0,857.
Esta conclusión “teórica” queda ilustrada en el cuadro que sigue, en el que se puede apreciar
que la esperanza matemática de prima es máxima cuando el A prevé X’=320.000, un valor que
-según la aproximación que representan las probabilidades discretas o por intervalos- tiene una
probabilidad de ser conseguido/superado igual a 0,1/2+0,2+0,3+0,2+0,1+0,05=0,9, es decir,
del 90%8.
Tabla IV :
IMPORTE DE LA PRIMA, SEGÚN DIFERENTES HIPÓTESIS DE VALOR PREVISTO Y DE VALOR REAL
Función-incentivo D/D, parámetros asimétricos 8, 6, 20
(separación relativa: 25 %, 75%)
Probabilidades estimadas por el A, para cada posible valor de X:
Si X=
Si X' = ↓
280000
320000
360000
400000
440000
480000
520000
⇐
Esperanza
0,05
0,10
0,20
0,30
0,20
0,10
0,05
280000
320000
360000
400000
440000
480000
520000
matemática
⇓
2.24
1,76
1,28
0,80
0,32
-0,16
-0,64
2.48
2.56
2,08
1,60
1,12
0,64
0,16
2.72
2.8
2.88
2,40
1,92
1,44
0,96
2.96
3.04
3.12
3,20
2,72
2,24
1,76
3.2
3.28
3.36
3,44
3,52
3,04
2,56
3.44
3.52
3.6
3,68
3,76
3,84
3,36
3.68
3.76
3.84
3,92
4,00
4,06
4,16
2,960
3,012
3,008
2,892
2,608
2,212
1,760
Podemos resumir, pues, las repercusiones de que los parámetros sean simétricos o
asimétricos, con la proposición siguiente:
Si el P establece un incentivo tipo función D/D, con parámetros simétricos, y si el A tiende a
maximizar el importe del incentivo a cobrar (y es neutral al riesgo), entonces:
(Fase I)
1) el A tenderá a presentar como previsión un valor para el cual estima que hay las mismas
probabilidades de obtenerlo o superarlo que de lo contrario:
9
X' tal que P(X≥X’) = P(X<X’)
2) y, después, en el transcurso de la su gestión [fase II], tenderá a alcanzar (o superar, si
le es posible) este valor
X --> ≥ X'
Y, en términos más generales (parámetros simétricos o no):
8
Si los intervalos fuesen menores el valor se acercaría al teórico 85,7%.
Si su distribución de probabilidades, f(X) se ajusta a la normal la anterior condición significa escoger el valor
de máxima probabilidad: X’
= X+p
9
265
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
1) X' ---> tal que P(X≥X') =
c −β
c−a
Joaquim Vergés
;

λ 
≡

 λ + ε
2) X ---> ≥ X'
Consideración conjunta: asimetría/separación relativa de los parámetros
El hecho de considerar conjuntamente las repercusiones de una determinada asimetría
de los parámetros y la cuestión adicional de un mayor o menor grado de separación relativa
entre los mismos nos permite ver que la fiabilidad sobre que las previsiones que tenderá a
presentar el A neutral al riesgo tengan, efectivamente, una probabilidad de ser
alcanzadas/superadas tal como indica el cociente [27] depende del grado de penalización de la
fórmula de incentivo aplicada y, por tanto, de que las separaciones relativas de los
parámetros sean proporcionalmente mayores o menores. Veamos en qué sentido:
Las separaciones relativas altas, sean las dos iguales o no, penalizan más los “errores”
de previsión, por lo que el A tendrá más interés en estudiar con precisión los distintos
elementos -entre ellos la variable del entorno- que pueden permitirle la elaboración de un
cuadro de valores máximos probables (en función del grado de esfuerzo que haya decidido
desarrollar) que considere fiable. Cuando decimos, por ejemplo, que los parámetros de una
función D/D concreta son tales que el A tenderá a realizar previsiones con cifras que -para el
propio A- tienen una probabilidad de ser conseguidas/superadas del 40%, deberemos añadir,
de hecho, que dicha conclusión será válida, o tanto más válida o exacta (fiable), cuanto mayor
sea la separación relativa de los parámetros. Consideremos, por ejemplo, las dos funciones
D/D siguientes:
14 − 8
0, 75
= 0, 666 ⇐ ≡
14 − 5
0, 75 + 0, 375
10 − 8
0, 25
IE = 8.X' + {7, 10}.(X-X') , --->
= 0, 666 ⇐ ≡
10 − 7
0, 25 + 0, 125
IE = 8.X' + {5, 14}.(X-X') , --->
En principio, las dos nos llevan a la conclusión de que el A tenderá a presentar
previsiones que teóricamente tendrán un 66,6% de probabilidades de que después las podrá
conseguir/superar, pero con la diferencia de que con la primera función esta conclusión será
más fiable porque las dos separaciones relativas -y, por tanto, el grado de penalización por
realizar previsiones que después no se cumplen en un sentido u otro- son más elevadas en ésta
que en la segunda (λ=0,75; ε=0,375 frente a λ= 0,25; ε = 0,125). Concretamente, las dos
separaciones relativas son tres veces más grandes en la primera función.
Ejemplo de aplicación:
determinación de los parámetros
Supongamos que el P quiere que la función-incentivo D/D sea tal que provoque que el A tienda a dar
planes conservadores con un 70% de probabilidad de ser superados, y que la fórmula dé lugar a
los valores siguientes de prima a cobrar por el A: si la previsión es, después, aproximadamente
cumplida, que la prima sea de 1.200.000 pts.; y si el A obtuviera una desviación favorable del 20
%, que la prima a que tuviera derecho fuese de 1.320.000 pts. . ¿Qué valor deberían tener los
266
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
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parámetros de la función?
En lo que respecta al parámetro principal, β, sabemos que deberá de cumplirse la condición β.X' ≈
1.200.000 ; para determinarlo, por tanto, el P deberá estimar el valor de la previsión que
presumiblemente presentará el A; o, en otras palabras, deberá conocer el orden de magnitud de la
variable de control. Éste es el sentido del signo de aproximación anterior: la prima base exacta,
β.X' , no se conocerá, evidentemente, hasta que el A no haya presentado su previsión, pero
primeramente se le ha debido de informar del tipo de incentivo que tendrá (es decir, se le deberá
comunicar qué fórmula se empleará, con sus parámetros); por otro lado, es evidente que para el
P no se trata de que la prima base haya de ser exactamente 1.200.000, sino que, sencillamente,
juzga que la prima debería tener un importe de este orden en caso que el valor real de producto
sea aproximadamente igual al previsto.
Supongamos que, en este caso, la estimación del P es ESTP[X']= 20.000, simplemente porque el
valor alcanzado en los últimos periodos fue de este orden. Entonces, el parámetro principal tendrá
que cumplir: β.20.000 = 1.200.000 ; y, por tanto: --> β ≈ 60 .
La segunda condición cuantitativa, IE = 1.320.000 si X = 1,2 X' , nos permite calcular el valor que
debería tener el parámetro a : 1.320.000 = 60x20.000 + a.(24.000-20.000) ; ---> a = 30 ;
(obsérvese que, si ya está determinado o decidido β, para determinar a no es imprescindible conocer
la estimación del valor del producto: 1.320.000= 60.X'+ a.0,2X' ---> a = 30) .
120.000 = a. 0,2 X'

Finalmente, la condición referente a que los planes tiendan a ser conservadores nos permite calcular
el tercer parámetro:
c - 60 = 0,7 , ----> c = 130.
c - 30
Por tanto, la función-incentivo que cumplirá (aproximadamente) las condiciones estipuladas es:
IE = 60.X' + {30, 130}.(X - X')
* * *
6.2. PREVISIONES DE LOS A SEGÚN SU ACTITUD FRENTE AL RIESGO
Hasta aquí hemos supuesto que el A era neutral al riesgo, es decir, que se comportaba
con una pura racionalidad económica en lo que respecta a sus intereses personales: tendiendo a
actuar maximizando sus ingresos futuros (su esperanza matemática de incentivo a cobrar). Y
con este tipo de A ya hemos visto que con una función incentivo D/D el tipo de previsiones
dependerá de si los parámetros son simétricos o asimétricos; y que el grado de fiabilidad de las
estimaciones en que se base el A dependerá en gran parte del grado de ‘penalización’, o sea, de
la separación relativa de los parámetros. Si, al contrario, el A no es neutral al riesgo aunque los
parámetros sean simétricos, la previsión que tenderá a presentar será diferente del valor de
máxima probabilidad. Así, el A puede ser una persona más bien inclinada a preferir valores de
incentivo más bajos pero más seguros (A averso al riesgo). O, todo lo contrario, el A puede
267
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
Joaquim Vergés
ser una persona más bien inclinada a “jugar”, a optar a una cifra de incentivo más elevada
aunque menos segura, asumiendo el riesgo de que la “apuesta” le salga mal y se quede, por el
contrario, con una prima sensiblemente inferior (A propenso al riesgo) 10. Y esta desviación en
el momento de autofijarse las previsiones será mayor cuanto más alta sea la separación relativa
de los parámetros, como veremos a continuación.
(6.2.1)
Agentes aversos al riesgo
Un A con un comportamiento averso al riesgo frente a una función-incentivo de
parámetros simétricos, tenderá a realizar una previsión algo más baja que el valor de
máxima probabilidad (aunque este valor está asociado al máximo importe de la esperanza
matemática del incentivo o ’prima’ a cobrar), porque de este modo se asegura
(relativamente) un cierto importe de incentivo, menor, pero con mayores posibilidades de
obtenerlo. Es decir, que en la fase de decidir la previsión que comunica al P, opta por eliminar
gran parte del riesgo que corre (riesgo en lo que respecta al importe del incentivo a cobrar al
final del periodo) por el hecho de tener que decidir la cifra de previsión que se auto-fija.
Así, en el ejemplo de la tabla II, un A con un cierto grado de aversión al riesgo podrá dar
como previsión X’=360.000 unidades (obsérvese que la probabilidad que el mismo A estima de
conseguir/superar dicha cifra es del 75%) en lugar de dar una previsión de 400.000 unidades (que
es el valor para el que estima la máxima probabilidad). Con esta decisión, el A buscaría
“asegurarse” una prima total de 2.880.000 pts. (la que corresponde a la hipótesis de que habiendo
comunicado X’=360.000 después, efectivamente, el máximo que pueda conseguir en la realidad
sea X=360.000), renunciando con su decisión a la posibilidad más probable que es una prima de
3.200.000 (si X’=400.000 y en la realidad se consiguiera, efectivamente, este nivel de producto
más probable)11. También es cierto, sin embargo, que esta decisión “conservadora” está
conjurando el riesgo de que la prima se quede, por el contrario, en 2.640.000 pts., que es el
importe a que tendía derecho si, habiendo dado una previsión de máxima probabilidad (400.000),
después la condiciones del entorno fuesen tales que el producto realmente conseguido se
quedase en 360.000 unidades. Dicho brevemente, este A prefiere “asegurarse” (relativamente)
una prima de 2.880.000 pts. renunciando a una probable prima más alta (3.200.000 pts.).
Por el mismo razonamiento, un A con un mayor grado de aversión al riesgo realizaría una
previsión aún más baja, por ejemplo, X’=320.000 unidades (que tiene aproximadamente un 90%
de probabilidades de ser conseguido/superado). En este caso (casi) se aseguraría una prima de
2.560.000 pts., eliminando prácticamente el riesgo de que, si las condiciones del entorno son
después peores de lo que eran en el momento de hacer la previsión, se quede con una prima de
sólo 2.080.000 pts. (que es la que le asignaría la fórmula si X’=400.000 pts. y después
X=320.000).
Y como es fácil deducir, para un A con un grado determinado de aversión al riesgo,
esta tendencia de dar previsiones más bajas que el valor de máxima probabilidad será más
acusada como fuerte sea la penalización por realizar previsiones que se separen después
10
Sobre el comportamiento como ‘neutral al riesgo’ y ‘averso al riesgo’, ver las notas 11 y 12 del capítulo
anterior.
11
En caso de que X llegara realmente a 400.000 unidades, el A averso al riesgo, al haber dado como previsión
360.000 unidades, tendría una prima de 2.960.000 pts. en lugar de las 3.200.000 pts.
268
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
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significativamente de la realidad, es decir, como alta sea la separación relativa de los
parámetros de la función-incentivo.
Veamos esta conclusión con una formulación más precisa:
Para un A averso al riesgo, su equivalente cierto de incentivo12 a cobrar (EC[IE]) será algo
inferior al de la correspondiente esperanza matemática, siendo la prima de riesgo, p, la citada
diferencia:
EC[IE]=E[IE] - p
y esta prima de riesgo será mayor 1) cuanto más grande sea el índice de aversión al riesgo (r), 2)
cuanto mayor sea la separación relativa de los parámetros (ε), dado que el riesgo para el A existe
solamente en la medida en que existe un cierto grado de penalización por previsiones “erróneas”, y 3)
cuanto más importantes sean las posibles desviaciones futuras respecto la previsión dada (aspecto
medido por la dispersión de la función de distribución de probabilidades del A, es decir, por la
varianza estimada para el valor futuro de X: VAR[X]. Pero, dada la distribución de probabilidades para
cada posible valor de producto, las posibles desviaciones que preocupan especialmente al un A averso
13
al riesgo (desviaciones favorables, X<X’) dependerán de cuál sea el valor previsto que proporcione .
En resumen, y manteniendo el supuesto de que la función-incentivo es de parámetros simétricos, como
la [25a], aquello que determina la prima de riesgo es:
p=ρ(r, P[X≥X’])·ε ; δp/δr>0 , δp/δX’>0
donde r es un coeficiente de aversión al riesgo
14
.
Y, del mismo modo que existe un determinado valor de esperanza matemática del incentivo a cobrar
para cada posible opción de previsión a comunicar al P, también existe un determinado equivalente
cierto de beneficio asociado a cada posible valor que el A elija para X’. Lógicamente, el A tenderá a
tomar la decisión que maximice el valor de este equivalente cierto.
La condición de primer grado para maximizar el equivalente cierto, en función del valor de
previsión que proporcione, será:
dEC[ IE] dE[ IE] δ p
=
−
=0 ; condición que, teniendo en cuenta la conclusión analítica deducida
dX'
dX'
δX'
anteriormente para
∞
, +
∫ f (X).dx = 050
X= X'
δp
δ X'
dE[IE]
dX'
(ver nota 4), significa que se debe cumplir que:
c − a ; es decir: X' tal que : P(X ≥ X') > P(X<X')
12
De acuerdo con la terminología habitual en la teoría de la agencia (véase, por ejemplo,
MILGROM/ROBERTS, op.cit., pág. 348), el equivalente cierto de beneficios, EC, es la cifra segura que haría
renunciar al A a entrar en un “juego” cuyo resultado en términos de beneficio es una cifra aleatoria que tiene
una esperanza matemática de beneficios superior a EC.
13
El A averso al riesgo está contemplando especialmente la posibilidad de que, habiendo dado como previsión
el valor de máxima probabilidad, la realidad sea tal después que las condiciones del entorno no le permitan
conseguir dicho valor (podemos decir que no le preocupa la posibilidad contraria). En este sentido, cuanto más
cerca del valor mínimo esperado para X esté la previsión que elija comunicar al P, menor será la diferencia
entre el equivalente cierto de beneficio para el A y la correspondiente esperanza matemática, es decir, que la
prima de riesgo será mayor cuanto más alta sea la previsión que decida comunicar, porque el riesgo de no
conseguir una determinada cifra de producto va aumentando a medida que se consideran cifras de previsión
cada vez mayores, por tanto δp/δX’>0.
14
Véase nota 17 del capítulo anterior
269
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
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y, por tanto, si la distribución de probabilidad es normal el A tenderá a dar como
previsión ==> X’<X+p.
es decir, que el A averso al riesgo tenderá a proponer previsiones que tendrán una
probabilidad mayor de ser superadas que de no ser conseguidas. Estas previsiones, por tanto,
serán probables-conservadoras: probables, pero tendiendo a la baja. La desviación a la baja
respecto la previsión que daría un A neutral al riesgo, X+p, será tanto mayor como elevado
sea el grado de aversión al riesgo y cuanto mayor sea la separación relativa de los
parámetros de la función-incentivo.
(6.2.2)
Agentes ‘propensos’ al riesgo
El A puede tener, por el contrario, un comportamiento propenso al riesgo, en el
sentido de que, dada una situación de incertidumbre, tiende a “apostar” para tener la
posibilidad de obtener una ganancia más elevada, es decir, que “jugará” a ganar un importe
más alto que el valor de esperanza matemática de incentivo15, y, en contrapartida, asume, por
descontado, el riesgo de que ocurra todo lo contrario.
Así, en el ejemplo de la tabla II, un A con un comportamiento propenso al riesgo en el
momento de decidir la previsión a proporcionar al P, elegirá un valor mayor que el de
máxima probabilidad, por ejemplo X’=440.000 unidades, apostando así la posibilidad de que
efectivamente el valor real llegue a esta cifra y el incentivo a cobrar sea entonces de
3.520.000 pts. Con esta decisión se está arriesgando a que, por el contrario, el incentivo a
cobrar sea bastante inferior, 2.960.000 pts. en caso de que el valor real de producto que
resulte de su gestión sea el más probable (400.000 unidades), una retribución
complementaria inferior a las 3.200.000 pts., que sería la cifra que iría a “buscar” un A neutral
al riesgo (X’=400.000=X+p).
En términos más formales:
Si un A tiene un comportamiento propenso al riesgo significa que presenta un coeficiente de
aversión al riesgo negativo (r<0) y, por tanto, que su prima de riesgo es negativa. En
consecuencia, un razonamiento formal paralelo al del A averso al riesgo nos lleva a la
conclusión de que con una función D/D de parámetros simétricos la condición de primer
grado para la maximización del equivalente cierto de prima será
X’, tal que:
∫
∞
X =X '
f ( X ) ⋅ dX ≡ P( X ≥ X ' ) < 0,50
15
Comprar un billete de lotería es un caso típico de comportamiento propenso al riesgo: la esperanza
matemática de beneficio siempre es inferior al precio del billete. No obstante, la persona que juega está
pensando en el hecho improbable, pero posible, de que gane su número. El grado de propensión al riesgo de
una persona (al igual que en el caso de aversión al riesgo) es diferente para decisiones distintas, normalmente:
puede apostar a la lotería 1.000 pts., pero no estar dispuesta a apostar 10.000 pts., por ejemplo.
270
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
Joaquim Vergés
Es decir, que tenderá a proponer previsiones que tendrán una probabilidad mayor de no
ser conseguidas que de ser alcanzadas o superadas; previsiones, por tanto, probablesarriesgadas: probables pero tendiendo al alza:
--->X’ tal que P(X≥X’)<P(X<X’)
y, por tanto, ==> X’>X+p, si la distribución de probabilidad es normal.
Y la desviación que dicho comportamiento representa respecto el valor de máxima
probabilidad será tanto mayor como baja sea la separación relativa de los parámetros, es
decir, como baja sea la penalización en caso de “equivocarse” al dar una previsión. En efecto,
al igual que el juego de la lotería, el A propenso al riesgo puede estar dispuesto a arriesgarse si
la posible pérdida en caso de que la apuesta no sea buena es de un importe determinado, pero
puede no estar dispuesto a hacerlo si la posible pérdida es de un importe mayor16. Dicho en
otros términos, un mismo A puede comportarse como propenso (o averso) al riesgo si las
condiciones del “juego” son unas, y puede comportarse como neutral al riesgo si las
condiciones son otras.
Rresumen sobre agentes no neutrales al riesgo
PREVISIONES, SI LA FUNCIÓ-INCENTIVO ES DE PARAMETROS SIMETRICOS
f(X)
X(nr) = previsión de un A neutral al riesgo
X(ar) = previsión de un A averso al riesgo
=0,5, (50 %)
X(ar)
X(pr)
X
X(pr) = previsión de un A propenso al risesgo
X
+p
X(nr)
Si el A es averso al riesgo tenderá a hacer previsiones con un valor probableconservador, algo inferior al de máxima probabilidad, aunque la función incentivo sea de
16
Volvamos al ejemplo anterior de la tabla II. Si un A con un determinado grado de propensión al riesgo hace
una previsión de 440.000 unidades, como hemos supuesto anteriormente, es probable que si la separación
relativa de los parámetros fuese del 25% (como en el caso de la tabla I) en lugar del 75%, haga una previsión
del número de unidades aún más separada del valor de máxima probabilidad, por ejemplo, 480.000 unidades.
Obsérvese que si la apuesta sale mal y las condiciones del entorno impidan alcanzar dicha cantidad de producto
en la realidad, suponiendo que se alcance el valor más probable (400.000 unidades), el incentivo que cobrará
será de 3.040.000 pts. El riesgo monetario que estaría corriendo si decide X’=480.000 es, por tanto, similar
(aunque un poco inferior: 3.040.000 frente 2.960.000) al de elegir X’=440.000 pts. en el supuesto referido en la
tabla II, en el que la penalización por previsiones no acertadas es más fuerte.
271
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
Joaquim Vergés
parámetros simétricos. Esta desviación será más importante cuanto mayor sea el grado de
aversión al riesgo y fuerte sea la “penalización”, es decir, será una desviación significativa si la
separación relativa de los parámetros es elevada (ε≈>0,5, por ejemplo). Y a la inversa, A que
tengan un comportamiento propenso al riesgo (en el sentido de que tienden a “apostar” para
tratar de obtener ganancias superiores a la esperanza matemática) tenderán a hacer previsiones
probables-arriesgadas (valores superiores al de máxima probabilidad), aunque los parámetros
de la función-estímulo sean simétricos. Esta desviación será tanto mayor como fuerte sea el
grado de propensión al riesgo y como más baja sea la separación relativa de los parámetros.
Podemos decir, entonces, que tanto en un caso como en otro, una separación
relativamente alta de los parámetros producirá que el A no neutral al riesgo haga previsiones
algo inferiores respecto al caso en que la separación fuese relativamente pequeña. La
diferencia está en que en el caso del A averso al riesgo los valores serán siempre inferiores al
de probabilidad máxima, y en caso de A propenso al riesgo siempre mayores que este valor.
Hay una consideración de tipo práctico a añadir a lo que llevamos visto hasta ahora. No
modifica las conclusiones deducidas, sino que las complementa y refuerza, aportando una
perspectiva de realismo a los argumentos expuestos. Se trata de que la situación de
incertidumbre se caracteriza porque normalmente la estimación de probabilidades subjetivas
por parte del A comporta una inevitable imprecisión. Esta estimación será más en términos de
intervalos que en términos de valores precisos. Pero el A debe comunicar al P un valor preciso
de previsión X’; ha de decidir un valor concreto para X’. Y este hecho acentúa el
comportamiento de los A no neutrales al riesgo. Por ejemplo, un A averso al riesgo, además de
decidirse por el intervalo a la izquierda del de máxima probabilidad, tenderá a escoger como
cifra de previsión un valor concreto también a la izquierda de dicho intervalo.
(6.2.3)
Parámetros asimétricos como forma de neutralizar
el sesgo en la propuesta de previsiones
En los casos en que resulta decisivo, para las tareas de dirección general, que las
previsiones que se fijen para cada periodo sean lo máximo probables, porque esto es necesario
de cara a la coordinación de las diversas unidades o departamentos de la empresa/organización
(o bien por cualquier otro motivo), el P puede estar interesado en neutralizar la tendencia de
los A aversos (o propensos) al riesgo a hacer previsiones sesgadas, tratando de inducirlos
indirectamente a presentar no previsiones probables-conservadoras o (probables-arriesgadas)
sino de máxima probabilidad. Esta neutralización puede conseguirse si el P fija en cada caso
unos parámetros β, a, c, convenientemente asimétricos. Así, para el caso de un A averso al
riesgo, los parámetros deberían tener valores tales que (c-β)/(c-a)<0,5, y viceversa para
neutralizar la tendencia de un A propenso al riesgo. O sea que: la asimetría de parámetros
puede ser utilizada para neutralizar las tendencias observadas en A aversos o propensos al
riesgo, induciendo en el primer caso a hacer planes más elevados, y en el segundo planes
más bajos.
272
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
Joaquim Vergés
Ejemplo
La empresa “OCI, S.A.” tiene establecida una función-estímulo tipo D/D con parámetros
simétricos desde hace 5 años destinada a los responsables de cada Departamento. Uno de ellos,
la directora de ventas de la línea “Esport”, ha superado la previsión que había realizado
previamente en 8 de los 10 últimos semestres. Esto es una evidencia de que se trata de un A
averso al riesgo, ya que tiende a hacer previsiones que tienen una probabilidad del 80% de ser
superadas17. Este comportamiento puede no representar una distorsión significativa para el
conjunto de la planificación de la empresa, pero es más probable que sí, y que, por tanto, el P
esté interesado en evitar que el A continúe proporcionando sistemáticamente planes probablesbajos. En este sentido, el P puede neutralizar la tendencia observada sustituyendo los parámetros
simétricos por otros con un determinado grado de asimetría, de tal manera que penalicen poco las
previsiones que posteriormente no se cumplen y mucho más la realización de previsiones que
después son superadas. Así, en nuestro ejemplo, si con parámetros simétricos el A se desvía
sistemáticamente en la proporción 80%-50%, para que contrariamente tendiese a dar como
previsiones valores de máxima probabilidad serían precisos unos parámetros asimétricos tales
que:
c-β
------ = 0,2
c-a
es decir, con una asimetría que indujera a un A neutral al riesgo a hacer previsiones optimistas,
con una probabilidad del 20% de ser conseguidos-superados (desviación de 30 puntos de
porcentaje: 50%-20%=80%-50%).
Y, en general, si el P desea inducir a As no neutrales al riesgo un determinado tipo de
comportamiento al hacer previsiones (bien sea que tiendan a proporcionar previsiones de
máxima probabilidad o bien previsiones con una determinada probabilidad, w, distinta del 50%,
de ser conseguidas/superadas), la asimetría de los parámetros debería fijarse de tal manera que:
c− β
[27]
= w - (desviación observada en las previsiones del A)
c−a
donde w denota el tipo de previsiones que pretende el P: X’ tal que P(X≥X’)=w; y la ‘desviación
observada’ es la diferencia entre la probabilidad observada de que las previsiones
históricamente presentadas por el A las haya alcanzado o superado éste después, (y), y la
probabilidad ídem asociada a un A neutral al riesgo enfrentado a la misma función incentivo
(n).
En este sentido, recordemos que un A neutral al riesgo tenderá a presentar al P planes
con una probabilidad n=0,5 si no está incentivado al contrario; es decir, si no cobra ningún
incentivo relacionado con la previsión 18; o bien si el incentivo se basa en una fórmula D/D con
parámetros simétricos. Y si en este segundo caso los parámetros son asimétricos recordemos
también que un A neutral al riesgo tenderá a dar previsiones con una probabilidad de ser
alcanzadas/superadas, igual al cociente de parámetros [27] tantas veces aludido.
Así, por ejemplo, si a lo largo de diferentes períodos en los que no se aplicaba ningún tipo de incentivo
17
Si, por el contrario, en 5 semestres se hubiera desviado positivamente y en 5 negativamente, deduciríamos
que se trata de un A neutral al riesgo.
18
Si no se le paga al A incentivo económico alguno relacionado con la previsión, pero se le pide
periódicamente que elabore previsiones, deberemos entender que esto significa que se le está pidiendo,
implícitamente, unas previsiones de máxima probabilidad.
273
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
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relacionado con la previsión (o bien se aplicaba un incentivo tipo D/D con parámetros simétricos) un
determinado A solo ha alcanzado o superado sus propias previsiones un 30 % de las veces (y=0,3 ) -en lugar
de un 50 % (n=0,5 ) que sería lo esperable de un A neutral al riesgo-, diremos que se trata de un A propenso
al riesgo, y, concretamente, que presenta una desviación de -0,2 .
Otro ejemplo: supongamos que a lo largo de una serie de periodos se ha aplicado una fórmula de
incentivos tipo D/D con parámetros asimétricos tales que el mencionado cociente [26] es igual a 0,4 (n=0,4 );
y que observamos que el A que estamos considerando ha venido presentando previsiones periódicas que en
un 60% de los casos ha alcanzado o superado (y=0,6). Podremos decir en este caso que se trata de un A
con un comportamiento averso al riesgo, y, concretamente, caracterizado por una desviación de 0,2 con
relación a lo que sería el comportamiento de un A neutral.
O sea que la desviación (y-n) es lo que nos permite concretar el tipo de
comportamiento observado en los Agentes: si es nulo, equivale a decir que tiene un
comportamiento neutral al riesgo; si positivo, averso al riesgo; y si negativo, propenso al
riesgo. Por el contrario, lo que denotamos con "w" define la política de previsiones que quiere
inducir el P: si de máxima probabilidad, si arriesgada en determinado grado, o si conservadoras
en determinado grado. (w=0,5 i y=0,8 , i n=0,5 en el ejemplo anterior de la empresa OCI
SA)19.
En definitiva, los elementos que será necesario tener en cuenta para determinar el tipo
de asimetría/simetría de los parámetros son:
(I) El comportamiento de los A (que tiene que ver con sus características psicológicas), y que, por
tanto, el P no puede ni pretende cambiar con la fórmula de incentivos) puede ser:
• Averso al riesgo, en un determinado grado
• Neutral al riesgo
• Propenso al riesgo, en un determinado grado
(II) Al aplicar una fórmula de incentivos tipo D/D los parámetros pueden ser tales que el cociente
(c-β)/(c-a) sea :
• > 0,5 : parámetros asimétricos, 'penalizando' relativamente más las previsiones
que
después no son alcanzadas
• = 0,5 : parámetros simétricos, 'penalizando' por igual.
• < 0,5 : parámetros asimétricos, 'penalizando' relativamente más las previsiones
que
después son superadas.
(III) Según sean (I) y (II), la resultante será que el A tenderá a presentar unas previsiones con una
determinada probabilidad subjetiva (del A) de ser alcanzadas o superadas:
* P(X≥ X') > 0,5 , previsiones conservadoras (o probables-bajas)
* P(X≥ X') = 0,5 , Previsiones de máxima probabilidad
19
Supongamos, como ejemplo alternativo, que en el caso OCI, S.A. el P estuviera interesado en que los A
proporcionaran previsiones más bien a la baja porque considera beneficioso el efecto psicológico de que se diga
que en la empresa las previsiones se superan la mayoría de las veces, pero no desease previsiones tan bajas
como tiende a presentar el A responsable de la línea “esport”, sino previsiones con una probabilidad del 60% de
ser superadas (w=0,6). Entonces para el caso de este A, los parámetros de la función-incentivo deberían ser
tales que:
c-β
------ = 0,6-(0,8-0,5)=0,3
c-a
274
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
Joaquim Vergés
* P(X≥ X') < 0,5 , previsiones arriesgadas (o probables-altas)
y (IV), finalmente, el Principal tendrá una determinada política u opción en lo que respecta al tipo
de previsiones que quiere que le presente el A; por ejemplo, previsiones tales que P(X≥ X') = 0,60.
Lo cual significa que el P deberá escoger (II) , teniendo en cuenta las características concretas (I)
del A de que es trate, de tal manera que la resultante (III) sea exactamente igual al tipo de
previsiones que el P pretende que le presente el A.
Expresado esquemáticamente:
Con funciones-incentivo tipo D/D:
relación entre los parámetros
comportamiento observado
de la fórmula de incentivo D/D
del agente
c - β
c-a
- averso al riesgo (grado:.....)
- neutral al riesgo
< 0,5 , (.......)
= 0,5
> 0,5 , (.......)
- propenso al riesgo (grado: ...)
Tipo de previsiones
que es esperable dé el A
< 0,5 , (.......)
X', tal que: P(X
X') >
= 0,5
> 0,5 , (.......)
?
coincide
Tipo de previsiones que el P quiere
que tienda a presentar el A
< 0,5 , (.......)
X', tal que: P(X
X') >
= 0,5
> 0,5 , (.......)
♠ ♠ ♠
275
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
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6.3. LAS FÓRMULAS DE INCENTIVO EN LA SEGUNDA FASE:
ESTÍMULO A SUPERAR LA PREVISIÓN.
(6.3.1)
El inconveniente relativo de las funcionesincentivo tipo D/D en la fase de gestión
“Prima” complementaria menos que proporcional
La característica de las funciones-incentivo tipo D/D consistente en que “penalizan” los
“errores” de previsión es, como hemos visto, lo que hace que estas fórmulas de incentivo
tengan una de sus principales virtudes: incentivar al A a que haga una previsión precisa, bien
estudiada y que su valor se corresponda con un rendimiento satisfactoriamente alto de la
unidad cuya gestión tiene asignada, evitando, de este modo, el típico inconveniente del efecto
ocultación. Pero esta característica es también, inevitablemente, la causa de un inconveniente probablemente el único aspecto no satisfactorio- de este tipo de funciones-incentivo: que en la
fase de gestión propiamente dicha la prima adicional o complementaria por superar la
previsión es, en contrapartida, proporcionalmente baja, puesto que siempre representará un
premio por unidad de producto inferior al que representa la prima-base, calculada sobre la
cifra de producto prevista; y ello precisamente porque a < β,
IE=β·X’ + a · (X-X’)
PRIMA
PRIMA
BASE
COMPLEMENTARIA
EJEMPLO (1)
Supongamos un ejemplo concreto de función-incentivo D/D simétrica y con una separación relativa
elevada, del 70% concretamente: IE=6·X’+6·(1±0,7)·(X-X’). Con dicha separación relativa, el A, en la primera
fase, tenderá a realizar previsiones bien estudiadas, fiables: el valor de máxima probabilidad, si la distribución
de probabilidad es normal (y el A neutral al riesgo). Sin embargo, si después, en el transcurso del periodo, las
condiciones del entorno son distintas de las previstas como más probables, de forma que sería posible al A desarrollando un cierto esfuerzo- adaptarse y aprovechar toda la información real disponible para conseguir
superar su propia previsión, esta superación sólo será premiada con 1,8 u.m. por unidad de producto.
Compárese esto con las 6 u.m. que “premian” cada unidad de producto prevista. Probablemente, la
expectativa de 1,8 u.m. por unidad de producto que indica la fórmula al A resulte ser una motivación
comparativamente escasa en relación al esfuerzo que requeriría conseguir superar la previsión.
Dicho en otros términos, con una función tipo D/D el premio por superar la previsión
es relativamente modesto: siempre será proporcionalmente inferior al premio que representa
la prima base respecto la cifra prevista. Porque si el A consigue superar la previsión en un
20%, por ejemplo, tendrá derecho a una prima adicional a sumar a la prima base, pero esta
suma representará un incremento de prima que, en cualquier caso, será inferior al 20%, y será
tanto menor cuanto mayor sea la separación relativa entre a <----> β.
276
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
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EJEMPLO (2)
Como ilustración, supongamos que la función-incentivo es, concretamente, la siguiente: IE=6·X’+(1±0,4)·(XX’) y que el A realizó en su momento una previsión X’=400. En este momento, en el transcurso del periodo
planificado, está prevista una prima base de 2.400 u.m., más una posible prima adicional de 3,6 u.m. por
cada unidad que supere la previsión. Si calculamos cuál sería la prima si al final del periodo el A consigue un
valor de producto que supere un 20% la previsión,
IE=6·400+3,6·(480-400)=2.400+288=2.688 u.m.
veremos que el premio por superar la previsión un 20% se traduce en un incremento de prima del 12%20.
En general, puede demostrarse que cuanto mayor sea la separación relativa ε, menor
será el incentivo para que el A se esfuerce, durante la fase de gestión, en adaptarse a las
condiciones reales del entorno y en intentar superar la cifra de previsión que se
fijó.(superarla, en el supuesto de que las condiciones reales que enmarquen su gestión especialmente la coyuntura económica y el resto de variables del entorno- se lo hiciesen
posible)
Así, si en el ejemplo anterior 6 u.m. era una tasa de incentivo adecuada, cercana a la
óptima (en el sentido expuesto antes en 5.2), a partir de la cual el A decidió en su momento el
grado de esfuerzo que pensaba desarrollar en su gestión, la expectativa de una tasa de premio
de 1,8 u.m. para premiar una desviación favorable difícilmente resultará un estímulo relevante.
En otras palabras, si el A, esforzándose para adaptarse a las condiciones reales del entorno,
pudiera conseguir superar su propia previsión un 20%, el incentivo económico a cobrar sólo
aumentaría un 6%.
La relación general implícita entre los dos incrementos es la siguiente:
Prima complementaria a.( X − X ' )
=
Prima base
β. X '
Superación de la previsión X − X '
Tasa en que la previsión es superada, x =
=
Previsión de producte
X'
Tasa de prima complementaria,
s=
;
s = x . (1 - ε)
20
Es fácil ver que la relación entre los dos porcentajes depende de la separación relativa de los parámetros:
80/400=0,2 ; 288/2.400=0,12≡80·6·(1-0,4)/(400·6)≡80·(1-0,4)/400≡0,2·(1-0,4)
277
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
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FUNCIONES INCENTIVO TIPO D/D: INCREMENTO PROPORCIONAL DE LA PRIMA, CUANDO LA
PREVISIÓN ES SUPERADA POR EL VALOR REAL EN UN DETERMINADO PORCENTAJE.
(s) = % en que se verá
30 %
s = x.(1-
(ε =0)
incrementada la prima
20 %
si separación relativa = 25 %
15 %
10 %
si 50 %
(ε =0,5 )
si 75 %
(ε =0,75)
10 %
ε)
(ε =0,25)
5%
(x) = % en que es
superada la previsión
10 %
20 %
30 %
Contradicción en 1ª y 2ª fases
Queda claro con la anterior relación que la característica del premio menos que
proporcional por superar la previsión es como la otra cara de la moneda del efecto
“penalización”, que en la primera fase asegura al P que el A tenderá a hacer previsiones
precisas y no necesariamente fáciles de cumplir. Lo que es una gran ventaja en la primera fase
temporal, en el momento de que el A revele información fiable sobre sus posibilidades de
conseguir un determinado nivel de producto para el periodo que se está planificando, resulta
después ser un inconveniente en la fase de gestión: el A está poco incentivado a esforzarse en
su gestión día-a-día para obtener un valor de producto superior al previsto (en el supuesto de
que las condiciones reales de su gestión -especialmente la coyuntura económica y otras
variables del entorno- se lo permitieran).
Y cuanto más fuerte es la ventaja para el P en la fase de hacer decidir las previsiones a
los A, más fuerte es el inconveniente señalado en la fase de gestión: cuanto mayor sea la
separación relativa de los parámetros, más fuerte será la motivación del A para hacer
previsiones con probabilidades estudiadas con precisión, pero menor será, proporcionalmente,
el premio establecido para una posible superación de la previsión.
Por otra parte, es frecuente observar en la práctica la voluntad de los P de hacer
justamente lo contrario: premiar proporcionalmente más, no menos, una posible superación
de la previsión, más aún cuando se está aplicando una función incentivo D/D, ya que en este
caso sabemos que la previsión que habrá hecho el A en la primera fase del proceso se
corresponderá con un rendimiento/esfuerzo razonablemente alto (ya que con dicha función
incentivo podemos considerar que el efecto ocultación será virtualmente nulo), y que, en
consecuencia, superar esta previsión requerirá probablemente un esfuerzo de gestión notable
por parte del A. Pero esto último (premiar más que proporcionalmente) es justamente
contradictorio, como hemos visto, con la esencia y la ventaja principal que se persigue con una
función tipo D/D: la condición a < β es necesaria para que una función incentivo no genere la
consecuencia perversa del efecto ocultación (y su acompañante, el efecto “ratchet”) y la
ineficiencia que de él se deriva. Además, el hecho de que la separación relativa de los
278
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
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parámetros sea importante es la condición para que en la primera fase el A no se desentienda
de la labor de dar unas previsiones bien estudiadas y fiables. Sin embargo, simultáneamente, el
hecho de que la separación relativa (ε=(β-a)/β sea importante significa que, inevitablemente, se
reduce drásticamente en la segunda fase el grado de incentivo a superar la previsión si es que
las circunstancias reales a las que se enfrentará después el A en su gestión así se lo permitan.
La decisión sobre la separación relativa a fijar en los parámetros plantea, por tanto, una
contradicción. ¿Puede resolverse ésta y combinar las ventajas de la función incentivo D/D con
la posibilidad de premiar no menos, sino más que proporcionalmente al A cuando consigue
superar la previsión?. La respuesta, como veremos, es un si con reservas. Veamos de qué
modo y en qué sentido.
(6.3.2)
Premiar más que proporcionalmente una superación de
la previsión: Función D/D modificada
Una posibilidad de conseguir esto consiste en introducir en la función D/D un cuarto
parámetro, de modo que la tasa de premio sobre la previsión sea más pequeña que la tasa de
premio sobre la superación de la previsión (determinada ésta por el parámetro a), siempre
manteniendo la condición básica de las funciones D/D, β>a.
FUNCIÓN D/D MODIFICADA
IE = (β
β .X' - d.X^) + {a, c}.(X - X' )
s.a
[28]
1) a < β < c ;
β, a, c, d, >0
2) (β
β .X' - d.X^)/X' < a
donde β, a, c, d >=; X^ es una previsión puramente orientativa anticipada por el P, y donde (β.X' d.X^) es ahora la prima base o prima prevista, que quedará determinada una vez el A presente su
previsión (denotaremos esta prima prevista con IE'); y, por tanto, la tasa de premio que representa
sobre la previsión de producto es IE’/X', pts. por unidad.
Como puede verse, la condición 2) hará que efectivamente se pueda premiar más que
proporcionalmente una superación de la previsión; y es una condición que puede ser
compatible con la 1), que es la esencia de las funciones D/D. Veamos un ejemplo concreto:
Ejemplo (3)
IE=(7⋅X' - 4,5⋅X^) + {3,5 , 9,5}.(X - X') ; X^= 400.000 ;
s.a : (7X'-1.800.000)/X' < 3,5 (condición que se cumplirá para valores de X' < 514.285 )
Con esta fórmula de incentivo, si el A hace, por ejemplo, una previsión idéntica a la anticipada
por el P y después su gestión diese lugar a un valor real de producto idéntico, el incentivo que
cobrará será de 1.000.000 pts. Una prima prevista que representa una retribución de 2 pts. por
unidad de producto prevista, mientras que cada unidad en que se supere la previsión estará
retribuida con 3,5 pts. Esto significa que en caso de que después el producto realmente
279
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
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conseguido superase la previsión en un 5% (20.000 unidades más de producto), el incremento de
prima sería de 70.000 pts., lo que representa un 7% sobre la prima prevista. Un incremento de
prima, por tanto, más que proporcional.
x=
20.000
= 0,05 ;
400.000
s=
3,5.(20.000)
= 0,07
1000
. .000
Y obsérvese que si hiciéramos d=5 (en lugar de 4,5), la función resultante haría que la prima
prevista fuese más pequeña (800.000 pts.) y, por tanto, el incremento proporcional de prima en
caso de superar la previsión sería superior (8,75%).
En términos más generales: dado un determinado valor para el parámetro de premio, a,
una función tipo D/D modificada [28] permitirá que el incremento relativo de prima (s) sea
mayor que el incremento relativo de producto (x), y tanto mayor cuanto más grande sea el
parámetro d y más baja sea la separación relativa β-a, porque ambas cosas harán que sea
menor la prima prevista por unidad, es decir, la tasa de incentivo sobre la previsión: IE’/X’.
Normalmente, sin embargo, en la política de incentivos del P acostumbra a ser tan
importante que la prima prevista tenga un determinado orden de magnitud como premiar
substancialmente una posible superación de la previsión. Por tanto, si la función incentivo debe
cumplir unos objetivos sobre ambas cuestiones, los parámetros, incluso el a, tendrán que
determinarse conjuntamente, guardando unas determinadas relaciones. Conviene, entonces,
precisar la forma de determinar unos valores mutuamente coherentes para los parámetros de la
función: β, a, c, d.
Determinación práctica de los parámetros
Empezaremos por enunciar la condición 2) de una forma más directa, expresando el
parámetro a en términos de su separación relativa respecto al β: a=β·(1-ε):
β. X ' − d . X ^
<a,
X'
→
β − d.
X^
< β .(1 − ε ) ,
X'
→
d > β .ε .
X'
X^
Esto nos da la posibilidad de determinar un valor para el nuevo parámetro d, si están ya
determinados β y ε (o bien el parámetro a) y disponemos de una determinada estimación de la
previsión que presentará el A (≈X’= estimación que hace el P de la previsión que se autofijará
el A).
EJEMPLO (4)
Supongamos que la previsión estimada por el P es X^=400.000 y que éste considera que un
premio adecuado por superar la previsión sería a=3 u.m. Además, se desea que la separación
relativa respecto al parámetro principal sea del 40% (ε=0,4 y, en consecuencia, β=5). ¿Qué
valor podríamos dar al nuevo parámetro d?
Si el P estima que la previsión que propondrá el A21 no diferirá demasiado de la que él anticipa
21
Recordemos que cuando se aplican funciones estímulo que eliminan el efecto ocultación venimos
considerando que el P acepta sistemáticamente como previsión definitiva, X’, la cifra de previsión que propone
280
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
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orientativamente, (≈X’)=X^, entonces el valor del parámetro d debería ser tal que:
D > β·ε ---> d > 5·0,4 ---> d > 2 ; por ejemplo: d=3
con este valor para d, la función incentivo quedará determinada como:
IE=(5·X’ – 3x·400.000)+{3,7}·(X-X’)
22
O sea, que la prima prevista si el A propone, efectivamente, como previsión también 400.000
unidades de producto, será IE’=800.000 pts. y, como puede verse, se cumple que si el A
llegase posteriormente a superar la previsión, por ejemplo, en un 10% (x=0,1), el incremento de
prima sería proporcionalmente superior: 40.000·3=120.000 pts., una prima complementaria que
equivale a un incremento del 15% sobre la prima prevista (s=0,15). Como es fácil deducir, la
prima prevista sería más alta que si hubiésemos elegido un valor inferior para el parámetro d, o
bien si el parámetro β fuese más alto (lo que implicaría modificar la separación relativa que se
había elegido).
(La comparación de este ejemplo con el anterior (3) puede ilustrar sobre esto: la función D/D
modificada del (3) implicaría haber decidido: a = 3,5; ε= 0,5 , y, por lo tanto, β=7; una condición
2): d> β⋅ε,
d> 3,5; y una opción aquí de 4= 4,5
Para facilitar este proceso de determinar los parámetros de la función D/D modificada en
el caso general, explicitaremos las dos variables, ‘tasa de prima complementaria’ (s) y ‘tasa de
superación de la previsión’ (x)
s=
Prima complementaria a.( X − X ')
=
Prima base
β. X ' − d . X ^ ;
lo cual permite escribir:
1)
s a ⋅ ( X − X ')
=
x
IE '
2)
β⋅(1 - ε)= a
x=
Superación de la previsión X − X '
=
Previsión de producto
X'
X − X'
X'
≡a⋅
=m
X'
IE '
3)
IE’ = β ⋅ X’ - d⋅X^
sistema del cual se deduce que una vez el P ha decidido: en qué medida quiere premiar más que
proporcionalmente una posible desviación favorable (relación entre s y x; = m); el grado de
penalización para previsiones ‘incorrectas’ (la separación relativa, ε); y el orden de magnitud
de la prima base (≈IE’), los parámetros a, β, y d se pueden determinar conjuntamente, si a la
vez el P efectúa una estimación de la previsión que presumiblemente presentará el A (≈X’) 23.
Veamos esto con un ejemplo numérico, del que fácilmente podremos deducir el procedimiento
de cálculo general a seguir:
el A, XA, es decir, que X’≡XA.
22
El valor del parámetro c dependerá de la asimetría/simetría que se quiera para la función incentivo. En caso
de que la opción fuese de parámetros simétricos, en este ejemplo c=7.
23
Estas estimaciones (≈IE’) y (≈X’) es necesario efectuarlas en cualquier caso; se trata de resolver un problema
general e inevitable: como ya se ha visto en el apartado 5.2, determinar los parámetros que darán lugar a la
prima base siempre requerirá efectuar una estimación del valor de la previsión de producto que presentará el
A. En las funciones sencillas tipo [1] o en las D/D “normales”, este aspecto de “cálculo por aproximación”
afecta a la determinación del parámetro β. En el presente caso de función D/D “modificada”, afecta a los
parámetros d y β (e indirectamente a a y c, ya que estos dependen de β y de la separación relativa que se elija).
281
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
Joaquim Vergés
EJEMPLO (5)
Se desea que si la previsión es después superada, por ejemplo, en un 10 %, sea después
premiada con un incremento de prima del 25% (y así proporcionalmente, en otros casos), y,
además, que la separación relativa de los parámetros β, a, c sea del 50 %. En tal caso
tendremos:
"[si X = 1,1 X' ,---> IE = 1,25 IE' ]"; ==> 0,1 X'.a = 0,25 IE' , --> a = 0,25 IE'
0,1 X'
por otro lado, a= β.(1-0,5) , por tanto, β = 0,25 . IE'
;
0,1 .X'. 0,5
y, teniendo en cuenta que IE' =β.X' - d.X^, podemos escribir:
IE' = 0,25 IE' . X' - d.X^ ; ---> IE'(
0,25
0,1 X'.0,5
0,1 . 0,5
 0,25
 S'
− 1 ⋅
 0,1 ⋅ 0,5  X ^
⇒d =
- 1) = d.X^ ;
24
Por tanto, si, por ejemplo, el orden de magnitud que el P quiere fijar para la prima prevista
fuese de (≈ IE') = 1.500.000 pts., y su previsión orientativa de X^= 400.000 unidades de producto,
las condiciones especificadas sobre la proporcionalidad del posible incremento de prima nos
llevarían a concluir que el parámetro d debería tener un valor d ≈ 15. En resumen, una funciónincentivo que se aproximaría satisfactoriamente a lo que se pide sería la siguiente:
IE = (18,75.X' - 15x 400.000) + {9,375 , 28,125}.(X - X')
donde β y a están calculadas según las expresiones anteriores, con (≈IE')=1.500.000 y haciendo
25
la estimación (≈X')=400.000)
; y el parámetro c se ha determinado suponiendo que se quería
una función de parámetros simétricos.
Este ejemplo nos permite deducir directamente la expresión general para determinar el
nuevo parámetro d (para facilitar esto se han relacionado en el texto las operaciones numéricas
indicadas). Esta expresión resultará útil no exactamente como “fórmula” para determinaciones
cuantitativas -puesto que el ejemplo anterior en sí mismo es perfectamente generalizable a
cualquier caso, y siempre es preferible aplicar una secuencia puramente lógica de cálculo como
la que muestra el ejemplo de una “fórmula” única a memorizar- sino porque nos muestra las
variables de las cuales dependerá el valor de d:
24
Esta expresión permite decir que, en general, una vez conocidos el orden de magnitud que se desea para la
prima base (≈IE’) y la previsión orientativa del P, el valor del parámetro d dependerá de la separación relativa
que se elija (0,5 en el ejemplo) y de la proporción en que se quiera incrementar la prima base cuando la
previsión se supere en un determinado porcentaje (25% versus 10% en el ejemplo anterior).
25
Como ya se ha dicho, los signos de aproximación (≈) significan “estimación que hace el P del valor de...”.
Téngase en cuenta que el valor definitivo IE’ dependerá de la previsión que haga el A, información que
lógicamente no se tiene cuando se determinan los parámetros de la función incentivo. Si una vez comunicada al
A la función incentivo (con los valores de los parámetros ya determinados) el A diese una previsión diferente a
la estimada por el P, por ejemplo, X’= 420.000 unidades, entonces la prima prevista será diferente a la
estimación que se había hecho, IE’ = 1.875.000; si después la previsión la llegase a superar el A en un 10%, el
incremento de prima sería del 21% en lugar del 25% que había fijado como política de incentivos el P. Esto
ilustra el sentido y las implicaciones de los signos de aproximación.
282
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
Joaquim Vergés

 IE '
s
− 1 ⋅
 x ⋅ (1 − ε )  X ^
⇒d =
Es decir, que para aplicar una función tipo D/D modificada será preciso conocer: en qué
proporción desea el P premiar más que proporcionalmente una desviación favorable (s/x), qué
separación relativa (a <--> β) se desea, ε; qué previsión orientativa se anticipa al A (X^), y
cuál es el orden de magnitud de la prima prevista que se desea que tenga el A (≈IE’)26. La
expresión anterior nos permite concluir también que el parámetro d deberá ser mayor cuanto
más elevada sea la proporción en que el P desee premiar más que proporcionalmente y como
alta sea la separación relativa que decida para los parámetros (a <--> β).
Los posibles inconvenientes de la fórmula D/D modificada
El hecho de que la función D/D modificada permite primar fuertemente la superación
de la previsión, aunque también incentiva al A a hacer una previsión probable lo más alta
posible (ya que mantiene la condición β > a), la haría probablemente acreedora del nº 1 en el
“ranking” de funciones-incentivo. No obstante, es necesario tener en cuenta que se trata de una
fórmula fuertemente discriminadora que puede llevar -sobre todo cuando la incertidumbre
sobre los cambios en el entorno es alta- a resultados poco lógicos o contradictorios con la idea
a la que responde todo incentivo económico. En efecto: como discrimina fuertemente en favor
de desviaciones favorables respecto las previsiones, para el caso de variaciones
desfavorables importantes entre las previsiones de P y A y entre la previsión de éste y el
posterior valor real, el importe del incentivo definitivo total que señalará la fórmula puede
resultar inadecuado porque puede resultar un incentivo notablemente inferior al orden de
magnitud que pretendía el P; o bien el modelo puede dar lugar incluso a valores negativos si las
desviaciones desfavorables son relativamente importantes. Por ejemplo, en el supuesto
numérico anterior la prima sería prácticamente nula si el A, habiendo hecho una previsión igual
a la que hemos supuesto, X’=400.000, después viese que en realidad se ha quedado en
347.000 unidades (IE=18,75·400.000-6.000.000-53.000·28,125≈0), y la prima sería negativa
para valores reales inferiores. Puede verse, en este sentido, el cuadro de posibilidades de la
página siguiente.
26
O, lo que es equivalente en el proceso de cálculo, saber qué valor se quiere fijar como tasa de premio para
desviaciones favorables (a) y cuál es la estimación del P sobre la previsión que hará el A (≈X’) (ya que si se
conoce a y ε se puede calcular β, y con β, X^ y ≈X’ se puede calcular ≈IE’).
283
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
Joaquim Vergés
Tabla V :
IMPORTE DE LA PRIMA, SEGÚN DIFERENTES HIPÓTESIS DE VALOR PREVISTO Y DE VALOR REAL
Función-incentivo D/D modificada: IE = (18,75.X' - 15x 400.000) + {9,375 , 28,125}.(X - X')
Probabilidades estimadas por el A, para cada posible valor de X:
Si X=
0,10
0,20
0,30
0,20
0,10
0,05
280000
320000
360000
400000
440000
480000
520000
-750.000
1125.000
1500.000
1875.000
2250.000
2625.000
3000.000
-375.000
0
0
375.000
375.000
750.000
-375.000
750.000
1.125.000 1.500.000
2.250.000
50 %
-750.000
375.000
1.500.000 1.875.000 2.250.000 2.625.000
25 %
1125.000
1500.000
1875.000
0
1.125.000 2.250.000 2.625.000
3.00.000
16,6 %
12,5 %
Si X' = ↓
280000
320000
360000
400000
440000
480000
520000
⇐
% de incremento de
0,05
prima si X’
es superado
en un 10%
⇓
750.000 1.125.000 1.500.000
1.125.000 1.500.000 1.875.000
1875.000
-375.000
750.000
1.875.000 3.000.000 3.375.000
-750.000
375.000
1.500.000 2.625.000 3.750.000
Como puede verse, en un caso como el del ejemplo este tipo de función-incentivo
puede comportar primas proporcionalmente muy bajas, nulas o negativas para desviaciones
desfavorables relativamente modestas (lo que puede ser poco adecuado como fórmula
retributiva). Así, en el cuadro anterior: la hipótesis X’=400.000, X=360.000, que representa
una desviación desfavorable del 10% reduce la prima de 1.500.000 a 375.0000 pts., y si el A
hubiera previsto X’=440.000 la prima sería nula, y la hipótesis X’=360.000, X=320.000 da
lugar a una prima negativa.
No obstante, en caso de que la situación sea tal que permita pensar que al aplicar la
función estímulo no será fácil caer en la parte negativa de las primas (por ejemplo, porque la
asimetría de los parámetros decidida produce que el A tienda a hacer planes “conservadores”
con alta probabilidad de ser superados) no existe ninguna duda de que se puede aprovechar la
ventaja adicional de este modelo, de discriminar fuertemente en favor de primar la superación
de la previsión.
♠♠♠
284
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
6.4.
Joaquim Vergés
ADAPTACIÓN DE LAS FÓRMULAS DE INCENTIVO A OTROS
CASOS.
(6.4.1)
Caso en que existe más de una variable de
control
En caso de que existan dos o más VC, la formulación de la función-incentivo es
también una oportunidad para precisar al A cuál es la importancia relativa que asigna el P a
cada una de las VC. Si, de acuerdo con la fórmula de incentivos, la mayor parte de la prima
anual viene determinada en función de una de las VC, es evidente que el A (si tiende a
maximizar su retribución) tenderá a optimizar ésta con más énfasis o preferentemente a las
demás.
La solución más directa en estos casos es, evidentemente, definir un esquema de
incentivos que sea la suma de dos o más funciones-incentivo, una para cada variable de
control. La cuestión clave a resolver es, evidentemente, el peso que tendrá en la suma total
cada uno de los incentivos parciales; porque al definir este peso es cuando el P está poniendo
más o menos énfasis en una u otra de las VC. Y eso significa decidir el orden de magnitud de
los dos o más incentivos parciales. Así, en el caso concreto de dos VC, un ejemplo puede ser:
IE = β1⋅(X1) + β2⋅(X2)’ ± {a, c}⋅(X2 - X2’)
donde: X1 = valor de la VC primera ; X2 = valor de la VC segunda
es decir, un incentivo a cobrar definido como la suma de una función incentivo sencilla para
una de las VC, y una función D/D para la otra.
Aunque la dirección de la empresa puede creer conveniente que la forma de establecer
el importe del incentivo total sea más elaborada, para hacerla más efectiva, definiendo una sola
función incentivo en la cual entren las dos a más VC. Un ejemplo en este sentido lo tenemos en
la descripción que realiza J. MARCZEWSKI27 para un caso también de dos variables de control:
la tasa de rentabilidad y el volumen de ventas de cada una de las divisiones o empresas filiales
de un grupo económico:
IE = (X1.a + X2'.b).W + c.(X2 - X2').b.W
donde: X1 = tasa de rentabilidad conseguida por el A
X2 = Tasa de incremento de las ventas sobre la cifra del periodo anterior
W = Retribuciones totales del personal de la división.
a, b , parámetros fijados por el P , diferentes para cada A.
c , ídem, idéntico para cada A; con los siguientes valores:
c = 0,7 si X2 > X2' ; i c= 1,3 si X2 < X2'
27
¿Crisis en la planificación socialista?, FCE, 1973, pág. 75-76.
285
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
Joaquim Vergés
Como puede verse, se trata de un esquema de incentivos en el que los parámetros a y b son los
que ponderan o marcan la importancia de las VC en lo que respecta a la determinación de la
prima total28. Aunque de hecho puede interpretarse también como una simple suma de dos
funciones incentivo independientes: concretamente, la VC ‘tasa de rentabilidad’ tiene asociada
una función incentivo sencilla, de tipo [1] 29, con un coeficiente de incentivo igual a: a⋅W; y la
VC ‘tasa de incremento en la cifra de ventas’ tiene asociada una función incentivo tipo D/D,
con un parámetro central igual a b⋅W, y en la cual las condiciones del parámetro c nos indican
que la separación relativa es simétrica e igual al 30%.
(6.4.2)
Caso en que la variable de control es una
variable a minimizar
Las funciones descritas en los apartados anteriores son aplicables igualmente a los
casos de variables a minimizar con las lógicas diferencias que esto implica, ya que el incentivo
para el A debe funcionar en sentido inverso. Esta “inversión” de las fórmulas puede hacerse en
principio de dos maneras. La primera invirtiendo el orden de la diferencia entre las variables
prevista y real. Por ejemplo, si quisiéramos aplicar una función tipo WEITZMAN (no
simplificada) en un caso en el que la variable de control elegida es el coste total de la
producción -por tanto, una variables que se espera que el A trate de minimizar- podríamos
formular el incentivo en los términos siguientes:
Primera alternativa:
IE = IE^ + β.(X^ - X') ± {α , γ }.(X' - X) ; 30
0<α< β<γ
fórmula de incentivo que, como puede verse, estimula al A en la primera fase a presentar la
previsión de costes más ajustada (baja) posible (ya que esto le mejorará la parte de prima que
recibe del segundo sumando) y en la segunda fase le incentivará a tratar de que, si las
condiciones reales lo permiten, los costes reales sean aún inferiores a los previstos. Justamente
el tipo de comportamiento que se trata de motivar.
Y la segunda alternativa es, obviamente, aplicar la fórmula de incentivo referida tal como
hemos hecho para las variables de control a maximizar, pero escribiendo como tal la inversa de
28
La notación de los parámetros es la del autor citado. Los parámetros a y c no tienen, por tanto, el mismo
significado con el que los hemos utilizado aquí anteriormente.
29
Esto puede quedar más explícito si reescribimos el esquema de incentivos como:
IE = [ X1⋅a⋅W ] + [ X2'⋅b⋅W + c⋅ (X2 - X2')⋅ b⋅W ]
30
En este caso la variable de control -los costes totales de producción- conviene recordar que es una variable a
minimizar en términos relativos; es decir, con relación al coste total previsto para la producción realmente
obtenida. En consecuencia, al aplicar la fórmula de incentivo, la previsión, X’, deberá ser entendida (o habrá de
ser substituida por) la previsión ajustada: ∑(cantidades reales) . (costes unitarios previstos).
286
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
Joaquim Vergés
la VC a minimizar (los costes de producción en el ejemplo anterior). Así:
1 
1
 1
1
IE = IE ^ + β . 
−
 + {α , γ }.  −

 X ' X ^
X
X '
En esta segunda opción hay que empezar por señalar que los valores resultantes para los
parámetros serán muy diferentes -unos valores de un orden de magnitud mucho más alto- que
los de la alternativa anterior, ya que deberán multiplicar variables de un orden de magnitud
inverso.
Ejemplo: Al A responsable de una US consistente en un departamento de mantenimiento de una empresa
se le ha fijado como VC: X = los costes de funcionamiento trimestrales del departamento. La dirección
general (el P) quiere establecer un incentivo de un orden de magnitud de (≈IE)=120.000 pts. trimestrales;
y desea una función que penalice las previsiones ‘incorrectas’ en el mismo sentido (parámetros
simétricos), y que el grado de penalización (separación relativa) sea del 60%. Si suponemos que X^=
31
20.000.000 pts., entonces las funciones-incentivo resultantes podrían :
1ª alternativa:
IE = 120.000 + 0,006 (20.000.000 - X’) ± {2,4 , 9,6}⋅(X’ - X)
2ª alternativa:
{
}
1
1

 1
11
11  1
−
IE = 120.000 + 24 ⋅ 1011 . 
−

 ± 9 ,6 ⋅ 10 , 38,4 ⋅ 10 . 
X
 X ' 20.000.000 
X '
Las mismas dos opciones de adaptación tenemos en caso de aplicar una función D/D
modificada:
Primera opción (invertir el sentido de las diferencias):
IE = [d.X^- β.X'] + {a, c}.(X' - X)
función que, como la anterior, incentivará un comportamiento que es el que se busca potenciar
cuando la variable es a minimizar: el A estará interesado en presentar una previsión inferior a la
que le anticipa el P (si efectivamente piensa que podrá ajustar los costes a este otro importe
más bajo), y estará motivado también después, en su gestión día-a-día, a tratar de que los
costes reales sean aún más bajos.
Segunda opción (utilizando las inversas de la VC):
1 
1
 1
 1
 + {a , c }. 
−

IE =  β.
− d.
X
 X'
X ^
X '
El comportamiento incentivado será, obviamente, el mismo (si bien los valores de los
parámetros serán de un orden de magnitud totalmente diferente que en la opción anterior, por
el motivo indicado).
Para determinar β se ha supuesto que IE^ está definido en función de β y de X^, como hemos hecho en 5.3.6
al hablar de la función de Weitzman.
31
287
CONTROL E INCENTIVOS EN LA GESTIÓN EMPRESARIAL
Joaquim Vergés
No obstante, en caso de una función D/D “normal” no tendría sentido invertir el sentido
de la desviación (por ejemplo: IE = β.X' + {a,c}.(X' - X)) porque se produciría el absurdo de
una fórmula que primaría previsiones de costes cuanto más altos mejor (!!). En cualquier caso,
se deberían combinar las dos alternativas: invertir el sentido de la desviación, en lo que
respecta a la prima complementaria (segundo sumando) y utilizar la inversa de la VC para la
prima base (primer sumando):
1
± {a , c }. ( X ' − X )
X'
Pero el inconveniente de esta alternativa “mixta” es que el orden de magnitud de los
parámetros será muy distinto entre sí: β tendrá que ser de un orden de magnitud mucho mayor
que c, por ejemplo; lo que significa que no podemos hablar de que estamos aplicando una
función D/D, puesto que los parámetros dejarán necesariamente de estar relacionados (en
cualquier caso, la condición básica a<β<c no se cumplirá). La otra alternativa es aplicar una
función D/D normal y formularla utilizando sencillamente las inversas de las respectivas
variables:
1
1
1
IE = β.

± {a , c }.  −
X
X'
X '
IE = β.
Como puede deducirse de los puntos anteriores, solo en el caso de aplicar las fórmulas
a las inversas de la VC podremos decir que estamos aplicando realmente una función D/D o
una D/D modificada. Tan solo en esta opción la función y los parámetros tendrán el significado
y propiedades que hemos visto para el caso de las variables a maximizar; es decir, todo lo
relativo a la separación relativa de los parámetros, repercusiones de la simetría/asimetría, prima
menos/más que proporcional, etc. Ésta es técnicamente, pues, la alternativa preferible si la
opción previa se decanta por aplicar una función-incentivo D/D (sea “normal” o “modificada”).
En cualquier caso, cuando adaptamos una fórmula de incentivos al caso de una variable
a minimizar, deberá tenerse en cuenta substituir la expresión “superar la previsión” (tantas
veces utilizada en los apartados anteriores) por la de “mejorar la previsión”; por ejemplo, si la
VC se refiere a costes, la ‘mejora’ significa que estos han sido inferiores a los previstos. O bien
considerar a todos los efectos que la VC es (1/X).
288