unidad nº 1: derivacion e integración. aplicaciones

1
Complemento de Matemática
UNIDAD Nº 1: DERIVACION E INTEGRACIÓN.
APLICACIONES
La derivada
Vamos a recordar esta noción que se empezó a estudiar en Matemática de primer año.
Definición
Sean f una función real , x un punto interior de su dominio y h distinto de cero tal que x + h
pertenece al dominio de f, la derivada de f en x es
f ' ( x) = lim
h − >0
f ( x + h) − f ( x )
h
siempre que este límite exista.
• h denota el cambio o variación de la variable x (si es positivo representará el
incremento de x).
• f ( x + h) − f ( x ) denota la variación de f cuando h es el cambio de x y se suele
indicar en la forma ∆f ( x, h)
Otra forma alternativa de la definición de derivada en un punto a es
f ( x) − f ( a )
x−a
El número f ' (a ) se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de
f en el punto (a, f (a )) .
f ' (a ) = lim
x→a
Aplicaciones al comercio y a la economía.
Análisis marginal en Economía
Cuando se usan las derivadas en economía para calcular tasas de cambio de unas
magnitudes respecto de otras, el procedimiento se llama análisis marginal.
El costo marginal: es la tasa de variación del costo C de producción, con respecto al
número x de unidades producidas.
El ingreso marginal: es la tasa de variación del ingreso R, con respecto al número x de
unidades producidas.
En Cálculo existe la siguiente relación:
∆f ( x, h) = f ( x + h) − f ( x) ≈ f ' ( x)∆x cuando ∆x ≈ 0 . (1)
Utilizaremos esta relación en el caso de funciones de costo y de ingreso.
En economía interesa a menudo saber la variación del costo o del ingreso que se origina por
un cambio unitario en la producción. Es decir, si ∆x = 1, entonces la variación del costo
debida a un cambio unitario en x es:
∆C = C(x + ∆x) – C (x) = C (x + 1) – C(x)
y la variación del ingreso debida a un cambio unitario en x es
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Complemento de Matemática
∆R = R(x + ∆x) – R (x) = R (x + 1) – R(x)
En la práctica se aproximan estas funciones usando el costo y el ingreso marginal,
respectivamente. Por la relación consignada en (1), se tienen las siguientes aproximaciones:
∆C = C ( x + 1) − C ( x) ≈ C ' ( x)
∆R = R ( x + 1) − R ( x ) ≈ R ' ( x )
O sea que C ' ( x) aproxima el costo de producir la unidad (x + 1)-ésima.
El ingreso marginal R ' ( x) aproxima el ingreso de vender la unidad (x + 1)-ésima.
Desde el punto de vista económico, ∆C , permite conocer con exactitud el costo de
producir la unidad (x + 1)-ésima. De la misma manera, ∆R , da el ingreso exacto obtenido
al vender la unidad (x + 1)-ésima. La ventaja de emplear C ' ( x ) , R ' ( x ) , es principalmente
porque el cálculo es más sencillo que el que se tiene que hacer con ∆C y ∆R ,
respectivamente, como veremos en un ejercicio posterior.
Resumen de fórmulas y términos comerciales
Términos
básicos
x
p = p(x)
R = R(x)
C = C (x)
−
−
C = C (x)
P = P( x)
Interpretación
Es el número de unidades producidas o
vendidas
Es la función demanda. Es el precio por unidad.
Es la función ingreso. Es el ingreso producido
al vender por unidades.
Es la función de costo. Es el costo de
producción de x unidades.
Es la función de costo medio por unidad.
Fórmulas básicas
R( x) = xp( x)
−
C ( x)
x
P ( x) = R ( x ) − C ( x)
C ( x) =
Es la función beneficio por la venta de x
unidades.
El punto de beneficio nulo es el número de unidades para el cual
R( x) − C ( x)
En la siguiente tabla presentamos las derivadas de funciones vinculadas al cuadro
anterior y su interpretación:
Marginales
Interpretación
Es el ingreso marginal. Aproxima el ingreso al
dR
R ' ( x) =
vender una unidad adicional.
dx
Es el costo marginal. Aproxima el costo de
dC
C '( x ) =
producir una unidad adicional.
dx
Es el beneficio marginal. Aproxima el beneficio al
dP
P ' ( x) =
vender una unidad adicional.
dx
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Complemento de Matemática
Ejemplo:
Un fabricante estima que, al producir x unidades de un bien de consumo, el costo total será
de C(x) = 1/8 x2 + 3x + 98 (miles de pesos), y que se venden todas las unidades si el precio
que pone es de p(x) = 1/3 (75 – x) (miles de pesos) por unidad.
i)
Hallar el costo y el ingreso marginal.
ii)
Usar el costo marginal para estimar el costo de producir la novena unidad.
iii)
¿Cuál es el costo real de producir la novena unidad?
iv)
Usar el ingreso marginal para estimar el ingreso al producir la novena unidad.
v)
¿Cuál es el ingreso real al producir la novena unidad?
Solución:
i)
El costo marginal es C’(x) = ¼ x + 3.
Para calcular el ingreso marginal debemos hallar primero la función de ingreso que es
R(x) = x.p(x)
R(x) = x 1/3 (75 – x) = -1/3 x2 + 25 x
Entonces el ingreso marginal es R ‘(x) = - 2/3 x + 25.
ii)
El costo de producir la novena unidad es la variación del costo cuando x
aumenta de 8 a 9, y se estima mediante el costo marginal: C’(8) = ¼ 8 + 3 = 5
Así, el costo estimado de producción de la novena unidad es de 5.000 pesetas.
iii)
El costo real es ∆C = C(9) – C (8) = [1/8 (9)2 + 3 (9) + 98] – [1/8 (8)2 + 3 (8) +
98] = 5.125 miles de pesetas
iv)
El ingreso obtenido por la venta de la novena unidad se estima mediante el
ingreso marginal: R ‘(8) = - 2/3 (8) + 25 = 59/3 ≈ 19,67 miles de pesos.
v)
El ingreso real obtenido de la venta de la novena unidad es ∆R = R(9) – R(8) =
58/3 = 19,33 miles de pesos.
Nota: el ingreso obtenido por la venta de la novena unidad no es el precio de una unidad
si ya se han vendido 9. Es, más bien, el ingreso adicional que se obtiene al vender la
novena unidad, esto es, el ingreso total por la venta de 9 unidades menos el de la venta
de 8.
Valores extremos de una función.
Máximos y mínimos absolutos.
Sea f una función definida en un conjunto D y sea c un número de D. Entonces :
√ el número f (c) es el máximo absoluto de f en D si y sólo si f (c) ≥ f (x) ,para todo x en D.
√ el número f (c) es el mínimo absoluto de f en D si y sólo si f (c) ≤ f (x) ,para todo x en
D.
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Máximos y mínimos relativos.
Sea f una función cuyo dominio es el conjunto D, y sea c un punto interior a dicho
conjunto.
El número f (c) es el máximo local o relativo de f si y sólo si existe un entorno del
punto c tal que los valores que toma f en los puntos de dicho entorno no superan el valor de
f (c).
Es decir :
f (c) es el máximo local ⇔∃ E (c) ⊆ D/ ∀ x : ( x ∈ E (c) ⇒ f (c) ≥ f (x))
De modo similar :
f (c) es el mínimo local ⇔∃ E (c) ⊆ D/ ∀ x : ( x ∈ E (c) ⇒ f (c) ≤ f (x))
Se llaman valores extremos de una función a los máximos y mínimos locales o
absolutos de la misma.
Gráficamente :
y
f(c3)
f(c2)
f(a)
f(c1)
a
c1
c2
c3
b
1
f (c1) es máximo absoluto en [a,b] y máximo local.
f (c2) es mínimo local en [a,b] ( no es mínimo absoluto).
f (c3) es máximo local en [a,b] ( no es máximo absoluto)
f (b) es mínimo absoluto en [a,b] ( no es mínimo local).
Puntos críticos
Sea f una función continua definida en un intervalo ( abierto o cerrado).
El punto C es un punto crítico de f en dicho intervalo si se cumple que:
1º) c es interior al intervalo y f ’ (c) = 0, ó
2º) c es interior al intervalo y no existe f ‘(c), o bien
3º) c es un extremo del intervalo ( cerrado).
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Actividades.
1) Halle los extremos absolutos de las funciones siguientes en los intervalos
cerrados dados:
a) f ( x) = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x  en [ 0,5 ].
b) g ( x) = 8 x − x 2 en [1,7]
c) h( x) = x 2 − 2 x + 3 en [-1,2]
2). Qué relación existe entre los puntos críticos y los extremos de una función?
Funciones Monótonas.
La función f es estrictamente creciente en un intervalo I si :
x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 ) para x1 , x 2 en I.
De un modo similar, f es estrictamente decreciente en un intervalo I si :
x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) para x1 , x 2 en I.
Una función f se llama (estrictamente) monótona en un intervalo I si es
estrictamente creciente o estrictamente decreciente en I.
Propiedad.
Supongamos que f es derivable en un intervalo abierto (a,b). Entonces la
función f es estrictamente creciente en (a,b) si :
f ' ( x ) > 0 , para a < x < b
y f es estrictamente decreciente en (a,b) si :
f ' ( x ) < 0 , para a < x < b .
Ejemplo.
Determine donde la función f (x)= x3 - 3x2 - 9x + 1 es estrictamente creciente o
decreciente.
Solución: Primero calculamos la derivada f ’(x) y resolvemos la ecuación
f ’(x) = 0. Tenemos que :
3x2 -6x -9=0 , la que tiene como raíces a x = -1 y x = 3. Estos son los puntos
críticos de la función f, que dividen al eje x en tres partes: (− ∞,−1), (− 1,3), (3,+∞ )
Se recomienda hacer un esquema gráfico.
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Seleccionamos un número genérico de cada intervalo. Por ejemplo, tomamos -2,0 y
4, se calcula la derivada en esos puntos y se pone una flecha hacia arriba (↑ ) o hacia abajo
(↓ ) según que la derivada sea positiva o negativa, respectivamente.
Haciendo éstos cálculos, resulta que :
√ f es estrictamente creciente para x< -1 y x >3, y
√ f es estrictamente decreciente para -1< x< 3.
Otro procedimiento:
Que la derivada primera se anule en los puntos x = −1 y en x = 3 , significa que la
recta tangente a la gráfica de la curva de la función f en los puntos (− 1, f (−1) ) y en
(3, f (3) ) es paralela al eje de las x . Esto nos puede permitir hacer un gráfico aproximado
de la curva de f y constatar de un modo gráfico dónde la función es estrictamente
creciente y dónde es estrictamente decreciente. Hacer el gráfico aproximado de f y las
rectas tangentes mencionadas. De aquí podemos ir viendo que los puntos mencionados nos
proporcionan los extremos de la función: f (−1) y f (3) , máximo y mínimo relativos,
respectivamente.
Criterios para determinar extremos relativos.
Criterio del estudio del signo de la derivada primera
Todo extremo relativo ocurre en un punto crítico, pero no todo punto crítico da
lugar a un extremo relativo. Es suficiente ver que la función f (x)= x3 , x=0 es un punto
crítico, sin embargo f (0) no es un extremo relativo como se puede ver en la figura .
y
f
0
x
Este criterio, el signo de la derivada primera establece que: si la derivada es positiva
a la izquierda de un punto crítico C, y negativa a la derecha, la gráfica cambia de creciente
a decreciente, luego f (c) es un máximo relativo. En otro sentido: si la derivada es negativa
a la izquierda de un punto crítico C, y positiva a la derecha, la gráfica cambia de
decreciente a creciente, luego f (c) es un mínimo relativo.
Si el signo se conserva, f (c) no es un extremo relativo.
Ejemplo.
Consideremos nuevamente el polinomio:
f (x)= x3 - 3x2 - 9x + 1 .
Teniendo en cuenta los resultados que obtuvimos y el esquema que hicimos
presentamos esta figura :
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f’>0
f’<0
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f’>0
Si aplicamos el criterio de la derivada primera surge que :
f (-1) = (-1)3 - 3(-1)2 - 9(-1) + 1= 6
es un máximo relativo y
f (3) = 33 - 3 .32 - 9. 3 + 1 = -26 es un mínimo relativo.
Concavidad y Punto de Inflexión
En la figura (1) la gráfica de la función es cóncava hacia arriba y en la figura (2) es
cóncava hacia abajo.
y
f
y
f
x
x
Definición.
La gráfica de una función es cóncava hacia arriba en cualquier intervalo I
donde f ’ ’(x) > 0 y la gráfica de la función es cóncava hacia abajo en cualquier
intervalo I donde f ‘ ‘(x) < 0.
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Punto de Inflexión
El punto P = (c, f (c)) de la curva, donde la gráfica cambia la dirección de su
concavidad se llama punto de inflexión de la función.
Gráficamente :
y
y
f
f (c)
p
0
0
c
x
Criterio de la derivada segunda.
Sea f una función tal que f’(c) = 0 y existe la derivada segunda en un intervalo
abierto que contiene a c.
√ si f’’ (c) >0, hay un mínimo relativo.
√ si f’’(c) < 0, hay un máximo relativo.
√ si f’’(c) = 0, no se puede afirmar nada sobre la existencia de extremos.
Actividad.
Use el criterio de la derivada segunda para determinar extremos relativos de la
función : f (x) = 3 x5 - 5 x3 + 2.
Solución . Calculemos la derivada primera.
f ’(x) = 15x4 -15x2 = 15x2 ( x3-1)
Para hallar los puntos críticos, hacemos f ‘(x) = 0
15x2 ( x2-1) = 0 para x = 0, x = 1 y x = -1
Calculemos la derivada segunda:
f ‘ ‘(x) = 60 x3 - 30 x
Aplicamos el criterio de la derivada segunda:
f ‘ ‘(0) = 0 no hay información.
f ‘ ‘(1) = 30, positivo, hay un mínimo relativo en x = 1. Su valor es
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f (1) = 0.
f ‘ ‘(-1) = -30, negativo, el criterio da un máximo relativo en x = -1. Su valor es f (1) = 4.
Ejercicio resuelto.
Tasa máxima de producción.
Un estudio de eficacia del turno de la mañana en una fábrica indica que un
trabajador medio que llega a las 8 :00 hs. habrá producido
Q (t) = -t3 + 9 t2 + 12 t unidades al cabo de t horas. A qué hora de la mañana tiene
el trabajador su tasa de rendimiento o de producción máximo?.
Solución . La tasa de producción del trabajador es la derivada:
R (t) = Q’(t) = -3 t2 + 18 t + 12.
(R (t) viene a ser la función f que usamos en el estudio que venimos haciendo).
Suponiendo que en el turno de la mañana trabaja de 8 :00 a 12 :00, hay que
maximizar la función en el intervalo cerrado [0,4]. La derivada de R ( o de f) es :
R’(t)= Q’(t)= -6 t+ 18, que es cero cuando t = 3, este es el punto crítico.
Teniendo en cuenta la definición de punto crítico, los extremos deben aparecer, bien
en 0 y 4 por ser extremos de intervalo cerrado [0,4] y en t = 3 por ser R’ (3)= Q’(3)= 0
Tenemos que :
R(0)= 12
R(3) = 39
R(4) = 36
Luego, la tasa de producción R(t) es máxima, y el trabajador tendrá rendimiento
máximo cuando t= 3, es decir a las 11 de la mañana.
Buscando el máximo beneficio.
La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es, p ( x) =
(80 − x ) ,en
4
donde x es el número de unidades y p (x ) es el precio por unidad.
¿A qué valor de x habrá un ingreso máximo? ¿Cuál es el ingreso máximo?
Solución
Sea R el ingreso total. Entonces ingresos = (precio)(cantidad)
(80 − x ) .x = 20 x − x 2
Por ello: R( x) = p ( x) x =
4
4
x
Derivamos: R' ( x) = 20 −
2
R' ( x) = 0 ⇒ x = 40 Así, 40 es un punto crítico. Ahora se determinará si este valor
nos dará un máximo. Si seguimos un procedimiento gráfico, podemos representar la
función R( x) , cuya gráfica es una parábola y luego representamos la función R' ( x )
cuya gráfica es una recta. Hacer esto en clase.
Luego, comprobar este resultado empleando los criterios del estudio del signo de la
derivada primera y de la derivada segunda.
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Complemento de Matemática
NOTA :
Para estudiar el nivel de producción sobre los costos, los economistas utilizan la
función coste medio C definida por:
C ( x) =
C ( x)
x
función costo medio
El ejemplo siguiente ilustra una aplicación de esta función.
Ejemplo 2
Una empresa estima que el costo de producción (en pesos) de x unidades de ciertos
productos es C(x) = 800 + 0,04x + 0,0002x2.
Hallar el nivel de producción que hace mínimo el coste medio por mitad.
Solución: Sustituyendo C de la ecuación dada, se obtiene:
C ( x) =
C ( x)
800 + 0.04 x + 0.0002 x 2
800
=
=
+ 0,04 + 0,0002 x
x
x
x
Igualando su derivada a cero resulta:
dC ( x)
− 800
=
+ 0,0002 = 0
dx
x2
x2 =
800
= 4.000.000 ⇒ x = 2000 unidades
0.0002
Formas Indeterminadas. Regla de L’Hopital
f ( x)
no se puede aplicar la propiedad que dice que el límite de
x − >c g ( x)
un cociente de funciones es igual al cociente de los límites, cuando
lim f ( x) = lim g ( x)
En la expresión
x − >c
lim
x − >c
Por ejemplo:
lim ( x 2 + x − 6) = 0
x − > −3
x2 + x − 6
lim
x+3
x − > −3
lim ( x + 3) = 0
x − > −3
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La sustitución directa falla, dado que conduce a una forma
0
sin sentido.
0
Llamamos a tal expresión una forma indeterminada porque no es posible, a la vista de
esa forma solamente ( por sustitución) determinar el límite.
¿Qué significa que un límite es indeterminado?
Significa que no puede anticiparse o determinarse el resultado y se deben efectuar
simplificaciones, reemplazos lícitos, etc. antes de encontrarlo.Más aún, una forma
indeterminada no garantiza que exista el límite ni indica, incluso en caso de que exista,
cuál puede ser su valor.
Otra forma conocida indeterminada conocida es
∞
.
∞
Para calcular el límite en las formas indeterminadas, pueden hacerse todas las
simplificaciones, operaciones y sustituciones convenientes.
También se puede hallar el límite utilizando un teorema conocido como regla de
L’Hopital.
Este resultado establece que bajo ciertas condiciones el límite del cociente
f ( x)
f ' ( x)
se halla determinado por el límite de
.
g ( x)
g ' ( x)
La regla de L’Hopital
Sean f y g funciones derivables en un entorno abierto (a,b) que contiene a c ,
excepto quizás el propio c.
f ( x)
Si el límite de
cuando x tiende a c produce una de las formas
g ( x)
0
∞
indeterminadas
ó
, entonces
0
∞
f ( x)
f ' ( x)
lim
= lim
=L
x − >c g ( x)
x − >c g ' ( x)
Siempre y cuando exista L ( o que sea infinito).
Ejemplo 1
e2x − 1
x − >0
x
Hallar lim
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Complemento de Matemática
Solución : puesto que la sustitución directa nos lleva a una indeterminación de la
forma 0 /0 , aplicamos la regla de L ‘Hospital, calculando primero
f ' ( x)
lim
x − >0 g ' ( x)
2e 2 x
e2x − 1
= 2 , como el límite existe y es finito entonces lim
=2
x − >0 1
x − >0
x
lim
Observación: Calculamos primero
f ' ( x)
para tener la certeza de que el
lim
g
'
(
x
)
x − >0
límite existe y recién poder aplicar la regla de L’Hopital.
En otras palabras, si no existe
f ' ( x)
no sería lícito aplicar la regla.
lim
g
'
(
x
)
x− >0
Otra forma de la regla de L’Hopital establece que si :
f ( x)
lim
x − > ∞ g ( x)
o
f ( x)
lim
x − > −∞ g ( x)
produce una de las formas indeterminadas 0/0 o ∞ / ∞ , entonces:
f ( x)
f ' ( x)
= lim
=L
lim
g
(
x
)
g
'
(
x
)
x− >∞
x − > −∞
siempre que L ∈ R ( o que sea infinito).
Ejemplo 2.
lim x2
x→ -∞ e-x
Puesto que la sustitución directa nos lleva a una indeterminación de la forma ∞ / ∞,
aplicamos la regla de L’Hopital; calculando previamente
Calcular:
L=
lim
x− >∞
f ' ( x)
g ' ( x)
lim -2 = lim 2 = 0, de modo que lim
x2 = 0
x→-∞ -e-x x→-∞ e-x
x→-∞ e-x
Además de los tipos 0/0 y ∞ / ∞, hay otras formas de indeterminación tales como 0.∞ ; 1∞ ; ∞∞ ; 00
y ∞0 .
En éstos casos, hay que tratar de pasar cada uno de estos tipos de indeterminación a la forma 0/0 o ∞ /∞
para los cuales se puede aplicar la regla de L’Hopital.
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Complemento de Matemática
Integrales impropias
b
Al estudiar la integral definida
∫ f ( x)dx
se ha supuesto que la función integrando
a
f está acotada en un intervalo cerrado y finito [a, b] .
Extenderemos la definición de integral definida al caso en que f no está acotada
en algún punto del intervalo de integración y también al caso en que el intervalo no
está acotado, por ejemplo, intervalos de la forma: [0,+∞ ), (− ∞,1], etc.
Ambos casos se llaman integrales impropias.
Integral impropia de primera especie:
Integrales impropias con límites de integración infinitos
Ejemplo
Considere el problema de calcular el área de la región limitada por la curva y = e − x , el eje
y , el eje x y la recta de ecuación x = b , donde b > 0 .
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
2
4
6
x
8
10
12
El área de la región sombreada es:
b
A = ∫ e − x dx = − e − x
0
b
0
= 1 − e −b
Al tomar el límite para b− > ∞ se tiene:
b
1 

e − x dx = lim (1 − e − b ) = lim 1 − b  = 1
lim
∫
e 
b −>∞ 0
b −>∞
b −>∞ 
+∞
Como el límite existe, la integral impropia de primera especie
−x
∫ e dx se puede escribir
0
en la forma:
+∞
b
0
0
−x
e − x dx = 1
∫ e dx = lim
∫
b − >∞
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Complemento de Matemática
Sin importar que tan grande se tome el valor de b, el área de la región mostrada en la
figura es siempre menor que 1 unidad al cuadrado.
Definición de integral impropia con límite superior infinito
Si f es continua para toda x ≥ a , entonces se define la integral impropia
+∞
b
∫ f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx si este límite existe.
b −>∞ a
a
Se dice que la integral impropia es convergente si este límite existe.
En caso contrario se dice que la integral impropia es divergente.
De un modo similar se define la integral impropia con límite inferior infinito.
Ejercicio 1
+∞
Determine si la integral impropia
1
∫ x 2 dx es convergente.
1
Solución
1
= x −2
x2
Sea b > 1
f (x) =
b
b
1
1
∫ x dx = − x = − b + 1
1
1
−2
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Complemento de Matemática
Tomamos límite en ambos miembros, para b− > ∞
b
 1
x − 2 dx = lim 1 −  = 1
lim
∫
b
b − > +∞ 1
b − > +∞ 
+∞
Como el límite existe, se dice que la integral impropia
+∞
valor es 1. Es decir
1
∫ x 2 dx es convergente y su
1
1
∫ x 2 dx = 1
1
Ejercicio 2
+∞
Determine si la siguiente integral impropia
1
∫ x dx es convergente.
1
Solución
5
4
3
2
1
-4
-2
0
2
x
4
-1
Sea b > 1
b
b
1
∫ x dx = ln x 1 = ln b − ln 1 = ln b
1
Ahora el límite en ambos miembros:
b
1
dx = lim (ln b ) = +∞
lim
∫
b − > +∞ 1 x
b − > +∞
Como el límite no existe, no es un número, se dice que la integral impropia diverge.
1
En lenguaje geométrico, el área de la derecha de x = 1 y bajo la curva y =
es
x
infinita.
Ejercicio 3
Evalúe si la integral impropia siguiente es convergente
+∞
∫ xe
−x
dx
0
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Complemento de Matemática
Solución
Sea b > 0
∫ xe
−x
dx
Cálculos auxiliares
La integral se resuelve por partes, utilizando la fórmula ∫ f ' g = fg − ∫ fg '
f ' ( x) = e − x ⇒ f ( x) = ∫ e − x dx = −e − x
g ( x) = x ⇒ g ' ( x) = 1
Se aplica la fórmula mencionada y nos queda:
∫ xe
−x
dx = − xe − x + ∫ e − x dx = − xe − x − e − x
Ahora consideramos la integral con límite inferior y superior de integración:
b
∫ xe
−x
(
)
dx = − xe − x − e −e
0
b
0
(
)
= − be −b − e − b − (0 − 1) = −be −b − e − b + 1 =
b
1
− b
b
e
e +1
Tomamos límite:
=−


xe − x dx = lim  − b − b + 1 =
lim
∫
e
e
b − > +∞ 0
b − > +∞ 

b
=
b
1


 
xe − x dx = lim  − b  − lim  b  + lim (1) = 0 − 0 + 1 = 1
lim
∫
e
b − > +∞
b − > +∞
b − > +∞ e
b − > +∞
b
0
b

1



Se aplicó L’Hopital en el primer límite del segundo miembro:
b
1
lim − e b = lim −e b = 0
b − > +∞
b − > +∞
+∞
Como el límite existe, se dice que la integral impropia
∫ xe
−x
dx converge y su valor es
0
1.
Integral impropia de segunda especie:
Integrales impropias con integrando no acotado
Se dice que una función f es no acotada en el punto x = c si toma valores arbitrariamente
grandes en un entorno (proximidades) de c . Desde un punto de vista geométrico, la recta
de ecuación x = c es asíntota vertical a la gráfica de la función, como por ejemplo:
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17
Complemento de Matemática
3
2
1
-4
0
-2
2
x
4
-1
-2
-3
La función f no está acotada en x = 2
Una integral impropia con integrando no acotado es una integral impropia cuya función
integrando tiene una discontinuidad esencial infinita en un punto x = c . El punto x = c
puede encontrarse en un extremo de un intervalo (abierto en ese punto) o en un punto
interior a un intervalo.
1
Por ejemplo, sea f ( x) =
para 0 < x ≤ 1
x
Entonces f no está acotada en 0 ó lo que es lo mismo decir que, f tiene una
discontinuidad esencial infinita en 0 y x = 0 es la ecuación de la asíntota vertical.
1
1
dx es un ejemplo de integral impropia con integrando no
x
0
∫
Por lo tanto, la integral
acotado.
El intervalo de integración es (0,1] , sin embargo, la función f ( x) =
intervalo cerrado [t ,1] con 0 < t ≤ 1 .Integramos la función en [t ,1]
1
∫
1
1
x
t
−
1
2
1
dx = ∫ x dx = 2 x = 2 − t
1
lim ∫
t − >0 + t
x
es continua en el
Ahora tomamos límite,
t
t
1
1
x
(
)
dx = lim 2 − t = 2
t −>0+
1
Como este límite existe, se dice que la integral impropia
1
dx converge y su valor es 2.
x
0
∫
Definición de integral impropia con una discontinuidad infinita en su
límite inferior
Si
f es continua en toda x del intervalo semiabierto por la izquierda (a, b] y si
lim f ( x )
x − >a +
b
b
a
t −>a + t
= +∞ , entonces ∫ f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx si este límite existe.
b
Se dice que la integral impropia
∫ f ( x )dx
converge si este límite existe y diverge en
a
caso contrario.
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18
Complemento de Matemática
De un modo similar se define la integral impropia con una discontinuidad infinita en su
límite superior.
Ejercicio
1
Determine si la integral impropia siguiente es convergente:
∫
0
1
(x − 1)
2
3
dx
Solución
f (x) =
1
(x − 1)
Esta función es no acotada en el extremo derecho del intervalo de
2
3
integración. Esto equivale a decir que la función tiene una discontinuidad esencial infinita
1
en x = 1 , es decir lim
= +∞
2
x − >1
(x − 1) 3
La función integrando es continua en [0, t ] con 0 ≤ t < 1
t
∫
0
t
dx = ∫ (x − 1) dx = 3(x − 1)
2
1
(x − 1) 3
2
3
0
1 t
3
= 3(t − 1) 3 + 3
1
0
Ahora tomamos límite
1


(
)
x
−
1
dx
=
(
)
3
t
−
1
+
3
lim
lim ∫
3

=3
t − >1 0
−

t − >1 
t
−
2
3
−
1
∫
Como este límite existe, la integral impropia
0
1
(x − 1)
2
3
dx converge y su valor es 3.
Ejercicios propuestos
Determine si las siguientes integrales impropias convergen y en caso afirmativo, indique su
valor:
+∞
+∞
0
0
1
2x
1
−2x
a) ∫
dx
b
)
5
e
dx
c
)
dx
d
)
dx
∫
∫ x2 +1
∫
2
2−x
3 (2 x − 1)
0
−∞
−∞
2
e)
∫
0
1
(x − 1)
1
dx
2
f)
∫
0
1
1− x
−3
dx
g)
∫
−5
x
x −9
2
1
dx
h) ∫
0
1
(1 − x )
1
2
dx
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