Fórmulas para el número de clases de ciertos cuerpos numéricos

Fórmulas para el número de clases de ciertos cuerpos numéricos de Hasse
expresadas como sumas finitas de funciones elípticas de Jacobi
M.A. Gómez-Molleda*, Joan-C. Lario
En su memoria “Recherches sur les formes quadratiques à coefficients et à indéterminées complexes. Première partie", Dirichlet anunció una generalización
de su fórmula para el número de clases de cuerpos cuadráticos reales a cuerpos
bicuadráticos que contienen a Q(i), reemplazando las funciones trigonométricas
circulares con ciertas funciones trigonométricas elípticas. Expresó este número
de clases como una suma doble infinita y explicó que el desarrollo de la fórmula,
como suma finita de funciones trigonométricas lemniscáticas, consistiría en tres
pasos esenciales: una suma de Gauss, la suma de una serie de Euler trigonométrica y la suma de una serie mediante una fórmula de Jacobi y Abel, que haría
aparecer las funciones elípticas. Dirichlet añadió que los detalles del desarrollo
de esta fórmula y su posterior estudio se escribirían en la segunda parte de esta
memoria, que nunca apareció. Más tarde, Nazimow publicó una tal fórmula en
un artículo apenas citado, usando un lenguaje y una termonología obsoletos.
En esta charla, analizaremos la fórmula de Dirichlet-Nazimow, traducida a términos de Teoría de Cuerpos de Clases. Además, lo generalizaremos a cuerpos
de números de Hasse que contienen un cuerpo cuadrático imaginario de número
de clases 1, expresando su número de clases como una suma finita en términos de funciones elípticas de Jacobi que juegan un papel similar al del seno
trigonométrico en la fórmula clásica de Dirichlet.