MEC´ANICA CELESTE 1 - 2015 Práctica N 7

MECÁNICA CELESTE 1 - 2016
Práctica N ◦ 7
Problema Restringido Circular de los Tres Cuerpos
1) En el problema restringido circular de los tres cuerpos, escribir el Lagrangiano correspondiente al movimiento de la partı́cula de masa despreciable en el campo gravitatorio debido a las dos masas primarias. Emplear
como coordenadas generalizadas las coordenadas cartesianas en el sistema
rotante. Hallar las Ecuaciones de Lagrange correspondientes.
2) a) A partir de las ecuaciones de movimiento demostrar que la integral de
Jacobi expresada en el sistema rotante está dada por:
C = 2U − v 2 ,
(1)
donde la función potencial U (x, y, z) está dada por:
U (x, y, z) =
1 2
1−µ
µ
(x + y 2 ) +
+
2
ρ1
ρ2
(2)
b)Expresar la Integral de Jacobi (C) en términos de las coordenadas y velocidades en el sistema de referencia inercial con origen en el centro de masa
de las partı́culas primarias.
c) Demostrar que C adopta la forma
C = −2 (E − Lz ) ,
(3)
donde E = V + T es la energı́a total de la partı́cula y Lz es el módulo de
la componente z del momento angular L, ambas con respecto al sistema de
referencia inercial indicado anteriormente.
d) Sabemos que C se conserva. Se conservan E y Lz individualmente?
3) Optativo: Calcular la constante de Jacobi para cada uno de los puntos
de equilibrio del problema restringido de los tres cuerpos. Expresar los
resultados en función de µ. Ordenar los valores de C de menor a mayor y
graficar las curvas de velocidad cero correspondientes a cada constante en
el sistema rotante.
4) En el marco del problema restringido de los tres cuerpos,con µ = 0.2 un
1
cuerpo orbita en el plano x-y y su constante de Jacobi es Cj = 2.4. Cuáles
son las regiones de movimiento permitidas?
5) Considerar aproximadamente la Integral de Jacobi para el sistema SolTierra-Luna. Pensando el sistema en el marco del problema restringido de los
tres cuerpos, determinar la forma de la superficie de Hill correspondiente.
Puede la Luna escapar de su órbita alrrededor de la Tierra y pasar a ser
un satélite del Sol? Datos: Perı́odo de traslación de la Luna: 28 dı́as.
aLuna = 384400 km. µT ierra = 3 × 10−6
6) Empleando unidades naturales, la Integral de Jacobi expresada en el
sistema inercial es
ṙ2 − 2 (r × ṙ) · ẑ =
2 (1 − µ) 2µ
+
− C.
r1
r2
(4)
Considere el sistema formado por el Sol, Júpiter y un cometa. Si a partir
de r y ṙ se calculan los elementos orbitales del cometa del modo habitual:
a) Demostrar que para órbitas cometarias elı́pticas la Integral de Jacobi
adopta aproximadamente la forma
q
1
(5)
+ 2 a (1 − e2 ) cos i = C.
a
b) Sugerir un criterio para reconocer cometas en base a la expresión anterior
(Criterio de Tisserand).
c) Se han observado dos objetos de apariencia cometaria en dos oportunidades distintas, separadas por un intervalo de, aproximadamente, unos 56
años. En la primera oportunidad la determinación orbital arrojó los siguientes elementos: a = 3.351483 UA, e = 0.590869, i = 15.75◦ mientras que
para el segundo objeto los elementos determinados fueron: a =3.092664 UA,
e = 0.686544, i = 7.88◦ ,
¿Podrı́an ambas observaciones corresponder a un mismo cuerpo?.
7) Optativo: Considere el sistema Sol, Neptuno y un transneptuniano como
un problema restringido de 3 cuerpos. Inicialmente la partı́cula se mueve
con velocidad pependicular al eje x del sistema rotante tal que su órbita
osculante (movimiento heliocéntrico instantáneo) es circular con movimiento
medio n = 32 nN donde nN es el movimiento medio de Neptuno y su masa
µ = 0.00005
a) Hallar la constante de Jacobi C para el transneptuniano.
b) Determinar si este objeto puede ingresar a la esfera de Hill de Neptuno.
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