Problema 1

Problema 1
Se quiere llevar a cabo una programa de recuperación de una especie vegetal
endémica de una zona que está en vías de extinción. Dicha especie se ditribuye
en tres genotipos : AA, Aa y aa. Se lleva a cabo un programa de fertilización de
modo que, cada planta es fertilizada con otra del mismo genotipo. Obtenga el
modelo matricial que expresa la distribución del número de ejemplares con cada
genotipo en las sucesivas generaciones. ¿Qué ocurrirá a largo plazo?
Solución
Sean
p 1 k :el número de ejemplares del genotipo AA en la k-ésima etapa de
fertilización
p 2 k :el número de ejemplares del genotipo Aa en la k-ésima etapa de
fertilización
p 3 k :el número de ejemplares del genotipo aa en la k-ésima etapa de
fertilización
Puesto que fertilizamos con plantas de iguales genotipos la distribución es
AA
AA
AA AA AA AA
Aa
Aa
AA Aa Aa aa
aa
aa
aa aa aa aa
 Luego los ejemplares AA se duplican como consecuencia de la
fertilización entre ellos en la etapa anterior y una cuarta parte de los
fertilizados entre los del genotipo Aa.
 Los del genotipo Aa sólo aparecen en la fertilización entre los de este
genotipo y salen tantos como los de la etapa previa.
 Los del genotipo aa se duplican como consecuencia de la fertilización
entre los de su mismo genotipo y una cuarta parte de los del genotipo
Aa.
Las ecuaciones a que dan lugar son
p 1 k  2p 1 k − 1  0. 25p 2 k − 1
p 2 k 
p 2 k − 1
p 3 k  0. 25p 2 k − 1  2p 3 k − 1
o bien escrito matricialmente
p 1 k

p 2 k
p 3 k
2 0. 25 0
p 1 k − 1
0
0
p 2 k − 1
0 0. 25 2
p 3 k − 1
1
Sabemos que
p 1 k
p 2 k
 C 1  k1 v 1  C 2  k2 v 2  C 3  k3 v 3
p 3 k
donde  1 , 2 y  3 son los valores propios de A y v 1 ,v 2 y v 3 los correspondientes
2 0. 25 0
vectores propios asociados ,con A 
0
1
así pues pasamos a
0
0 0. 25 2
calcular los valores propios y vectores propios asociados de A.
p   − 2 2  − 1
−0. 24
1
Donde  1  2,  2  1 y  3  2 y v 1 
0
, v2 
0
0
y v3 
0. 9
0
1
respectivamente. Sustituídos en la expresión
p 1 k
p 2 k
p 3 k
−0. 24
1
 C12
k
0
0
 C21
k
0. 9
0
 C32
0
Conclusión:



p 1 k crece en cada generación (casi se duplica)
p 2 k se estabiliza.
p 3 k crece en cada generación al igual que los de AA
0
k
0
1