Fracciones y números racionales

Bases Matemáticas para la Educación
Primaria
Guía de Estudio
Tema 3: Números racionales
Parte I:
Fracciones y razones
Números racionales
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Situación introductoria
ANÁLISIS DE CONOCIMIENTOS PUESTOS EN JUEGO EN LA
SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA Y POSIBLES
GENERALIZACIONES
Fracciones y racionales
2
Enunciado
(1) Resolver el siguiente problema tomado de un libro
de primaria:
• “De las 25 personas de la clase de Laura 3/5 son
niñas. ¿Cuántos niños hay?
(2) Explicar la solución utilizando alguna representación
gráfica.
(3) Completar la siguiente tabla indicando los
“conocimientos” que se ponen en juego en el
enunciado y solución de este problema.
Fracciones y racionales
3
Relación de conocimientos puestos en juego
Tipos de objetos que
intervienen
Objetos /conocimientos
3/5, …
LENGUAJES
Fracción tres quintos, …
CONCEPTOS
PROPIEDADES
1) “suma del número de niños y niñas es 25”
2) …
Multiplicar, …
PROCEDIMIENTOS
1) …
ARGUMENTOS
Fracciones y racionales
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Variantes del enunciado
Resolver el anterior enunciado suponiendo que
entre las personas una de ellas es adulta (el
profesor)
• ¿Cuál es la razón de niños a niñas?
• ¿Y de niñas a niños?
• ¿Qué porcentaje de niños hay en la clase? ¿Qué
porcentaje de niñas?
•
Fracciones y racionales
5
Las fracciones
en un libro de
texto de
primaria
Fracciones y racionales
6
Fracciones y racionales
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Cantidades fraccionarias
• La cantidad continua X es una parte de otra cantidad Y:
decimos que es una cantidad fraccionaria.
Tomando Z
como unidad,
X = 2Z;
Y = 3Z;
Y
X
Tomando X
como unidad,
1
Z=2 X
3
2
Z
n
d
1
2
Tomando Y como unidad: Z = Y; X = Y
3
3
Y=
X
Fracciones y racionales
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Fracciones
• Son las expresiones numéricas (n/d )usadas para representar
cantidades fraccionarias.
• d, denominador, número de partes iguales en que se divide la
cantidad Y de referencia (todo unitario) para obtener una
unidad Z con la que se pueda medir X de manera exacta.
• n, numerador, medida de X usando Z como nueva unidad.
• Se aplica la función cociente (división) dos veces:
– La d se obtiene aplicando a Y el sentido de partición
– La n se obtiene aplicando a X el sentido de extracción (cuotición)
Fracciones y racionales
9
Fracciones impropias
http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=11
Fracciones y racionales
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Fracciones y racionales
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Números racionales
• Los números racionales se introducen en las matemáticas
para que las ecuaciones del tipo, y × r = x, con y, x números
enteros, tengan siempre solución, ya que cuando y no es un
divisor de x el cociente x ÷ y no es un número entero.
x
• Los cocientes indicados r = y (fracciones, entendidas como
pares de números enteros con y ≠0) se pueden organizar de
tal manera que tengan “propiedades numéricas”.
• Para ello se consideran como equivalentes los pares que
cumplen la condición:
<x, y> ≡ <z, w> si y solo si, x × z = y × w
Fracciones y racionales
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• El conjunto de las fracciones queda dividido en “clases de
equivalencia”, cada una de ellas formada por todas las
fracciones equivalentes entre sí. Cada una de las clases se dice
que es un número racional; y el conjunto de todas las clases,
el conjunto de los números racionales Q (incluyendo los
números positivos y negativos).
• Esta descripción abstracta se puede interpretar desde un
punto de vista más intuitivo:
• El número racional [2/3] = {2/3, 4/6,...} lo identificamos con la
fracción 2/3 cuando es usada como representante de
cualquier otro miembro de la clase de fracciones equivalentes
a 2/3.
Fracciones y racionales
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• Las distintas fracciones de una misma clase de fracciones
equivalentes son todas ellas diferentes unas de otras. Cuando
se escribe:
3
5
=
6
10
=
9
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• estas tres fracciones, en tanto que tales fracciones, no son
iguales entre sí, sino equivalentes (se puede sustituir una por
otra en determinados usos y circunstancias).
• Pero todas estas fracciones representan la misma clase de
equivalencia, el mismo número racional. Por ello usamos el
símbolo de igualdad.
Fracciones y racionales
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Fracciones y números racionales
• Con las fracciones se definen operaciones de adición,
sustracción, multiplicación y división, pero en cuanto
interviene la equivalencia de fracciones se debe entender que
tales operaciones se están realizando sobre los números
racionales representados por dichas fracciones.
• Los números racionales, por medio de sus representantes, las
fracciones, se utilizan para expresar cantidades fraccionarias,
y en general, en los procesos de medida de cantidades X
mediante un sistema de unidades fraccionarias de una
cantidad de referencia Y (p.e., metros, decímetros,
centímetros).
Fracciones y racionales
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Razones
• Razón: Comparación multiplicativa de las medidas de dos
•
•
•
•
cantidades de una misma o distintas magnitudes.
Ejemplo: La razón entre el número de chicos y chicas en una
clase es de 2 a 3 (2 chicos por cada 3 chicas)
La fracción que expresa el número de chicos respecto de
todos los estudiantes de la clase sería 2/(2+3), o sea, 2/5.
Si en otra clase la razón de chicos a chicas es de 3 a 5, ¿Cuál es
la razón de chicos a chicas en el conjunto de las dos clases
juntas?
Las razones se operan como las pendientes de un vector, no
como la suma de fracciones ordinarias (no se deben
considerar como representantes de números racionales).
Fracciones y racionales
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Razones ≠ Fracciones
Se operan de manera diferente: Las fracciones siguen las
reglas de los números racionales; las razones se operan
como pendientes de vectores binarios.
En las razones:
– Las medidas pueden ser números reales (Razón de la
longitud de la circunferencia al diámetro)
– La segunda componente puede ser 0. (La razón de bolas
rojas a verdes en una bolsa puede ser de 5 a 0)
– Las razones se pueden expresar con símbolos diferentes a
las fracciones: (4:7; 4 a 7; 4 → 7)
Fracciones y racionales
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Tasas
• Una tasa es una razón entre una cantidad y un periodo de
tiempo.
Ejemplos:
• Tasa de natalidad (número de nacimientos por año)
• Velocidad (distancia recorrida por unidad de tiempo)
Fracciones y racionales
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Proporción
• Sentido matemático: Igualdad entre dos razones.
• Sentido ordinario: Comparación multiplicativa de una parte
con relación a un todo en que está incluida.
• “Si hay 4 chicos en una clase de 12 estudiantes la proporción
de chicos es de 4/12”
• En este uso de la notación fraccionaria el denominador 12 no
supone ninguna división en partes iguales.
• Si en la clase A la proporción de chicos es 10/30 y en la clase B
es de 15/30, la proporción de chicos en las dos clases juntas
es de 25/60 (se operan como razones)
Fracciones y racionales
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La fracción como operador
• La escritura fraccionaria “a/b” se usa también para simbolizar
una clase particular de funciones compuestas: primero se
multiplica y después se divide (o al revés)
• a/b ≡ def a× (x÷ b) = (a × x) ÷ b
Donde a y b son constantes y x es una expresión numérica de
alguna cantidad.
• Puesto que los parámetros a y b son constantes, la función
compuesta (a × x) ÷ b se puede interpretar como un
operador unitario que convierte un valor x en otro x’.
• La función mutiplicación y la división se interpretan como
cambios en una única cantidad, esto es, como operadores
escalares.
Fracciones y racionales
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Fracciones y racionales
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OPERACIONES CON FRACCIONES Y NÚMEROS
RACIONALES POSITIVOS
• Puesto que un número racional viene representado por una
infinidad de fracciones equivalentes, para operar con dos
números racionales x e y, basta operar con alguna de las
fracciones que representan a x y a y.
• La clase de equivalencia representada por el resultado de la
operación es un número racional, resultado de operar con los
números racionales x e y.
• Usualmente lo que hacemos es elegir la representación más
simple posible, es decir la fracción irreducible que representa
a ese número racional.
Fracciones y racionales
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Fracciones y racionales
23
Suma de fracciones
http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_106_g_2_t_1.html
Fracciones y racionales
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Suma y resta de números racionales
La suma o resta de dos racionales será el racional definido por
la suma o resta de dos fracciones representantes de cada uno
de los dos racionales que se desea sumar o restar.
Propiedades:
De las propiedades de la suma de fracciones, se deducen las
siguientes propiedades para la adición de números racionales:
• Es una operación binaria e interna en el conjunto Q;
• Es asociativa;
• Es conmutativa;
• Tiene elemento neutro (el 0);
• Todo elemento tiene simétrico (el opuesto).
Fracciones y racionales
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Producto y cociente de fracciones y números
racionales positivos
• A diferencia de lo que sucede en la suma, el sentido del
producto de racionales cambia respecto al producto de
naturales.
• En estos últimos un producto significa, ante todo, una suma
repetida; sin embargo, en el caso de las fracciones y
racionales no es posible interpretar el producto como el
resultado de sumar 1/5 repetidas veces porque el número de
veces no puede ser fraccionario.
RESOLVER EL SIGUIENTE EJERCICIO:
Fracciones y racionales
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• “De las 25 personas de la clase de Laura 3/5 son niñas. La
tercera parte de las niñas son de origen extranjero,
mientras que en el caso de los niños la quinta parte son
de origen extranjero.
a) ¿Cuál es la fracción de personas de origen extranjero en
la clase de Laura?
b) ¿Qué porcentaje de personas inmigrantes hay en la clase
de Laura (en el supuesto del enunciado anterior).
c) ¿Cuál ha sido el porcentaje de incremento del número de
inmigrantes en la clase si este año, respecto del anterior,
se han incorporado cinco nuevos estudiantes de origen
extranjero?
Fracciones y racionales
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http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_194_g_2_t_1.html?from=category_g_2_t_1.html
Fracciones y racionales
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• En general, se comprueba que a/b de c/d de cualquier
cantidad es lo mismo que ac de esa misma cantidad.
bd
Por tanto, el producto de dos fracciones se define de la manera
siguiente:
•
a c axc
x
b d
=
bxd
y su sentido es el de una fracción de fracción.
• El producto de dos racionales será el racional definido por el
producto de dos fracciones representantes de cada uno de los
dos racionales que se desea multiplicar.
Fracciones y racionales
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División de fracciones y racionales
Ejercicio:
• Se tiene un bidón con 15 litros y medio de limonada. Si se
quiere dar a cada persona un vaso de 3/5 de litro, ¿para
cuántas personas se tiene limonada?
• Resolver el ejercicio usando tres procedimientos:
a) Cambiando las unidades de medida para evitar el uso de
fracciones
b) Usando números decimales
c) Operando con fracciones
Fracciones y racionales
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Fracciones y racionales
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Orden de fracciones y racionales positivos
• Para comparar entre sí dos números racionales comparemos
dos fracciones representantes de cada uno de los dos
números racionales que se desea comparar.
Dadas dos fracciones con el mismo denominador es menor la
que tiene menor numerador; si las fracciones tienen igual
numerador será menor la que tenga el mayor denominador; si
no tienen iguales los numeradores ni los denominadores se
reduce a común numerador o denominador y se aplica una de
las reglas anteriores.
• Ejercicio: Hallar un número racional que sea mayor que ½ y
menor que ¾. ¿Cuántos números racionales hay que cumplan
esta condición?
Fracciones y racionales
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El conjunto Q es denso
• Una propiedad muy importante del orden de racionales es
que dados dos racionales, por muy próximos que los elijamos,
siempre podemos encontrar tantos racionales como
queramos que sean mayores que uno de ellos y menores que
el otro.
• Esta propiedad se suele enunciar diciendo que entre dos
números racionales distintos existen siempre infinitos
racionales.
• También se dice que el conjunto de los números racionales es
un conjunto denso.
• En los números racionales, a diferencia de lo que sucede en
los naturales, deja de tener sentido el concepto de número
‘siguiente’ o ‘anterior’ ya que nunca podremos encontrar dos
racionales que no tengan otros racionales entre ellos.
Fracciones y racionales
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Estudio personal:
• Estudiar las secciones 2, 3, 4, y 5 (págs, 318 a 329) del libro:
•
Godino, J. D. (Director) (2004). Matemáticas para maestros.
Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Granada.
(Recuperable en, http://www.ugr.es/local/jgodino/)
• Realizar las actividades del Cuaderno de Prácticas en la sesión
de Seminario.
• Resolver personalmente y comprobar posteriormente los
ejercicios resueltos disponibles en el Tablón de Docencia.
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Trabajo en equipo:
• Realizar las actividades programadas en el
Cuaderno de Prácticas (Trabajo en equipo)
• Las actividades deberán terminarse durante la
semana y se entregará el Cuaderno
cumplimentado al comienzo de la siguiente
sesión del Seminario.
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