Didáctica de matemáticas

Didáctica de matemáticas
Aportes y reflexiones
Cecilia Parra e Irma Saiz (comps.)
Editorial Paidós Educador
Primera edición, 1994
Quinta reimpresión, 1997
Buenos Aires
Este material se utiliza con fines
exclusivamente didácticos
ÍNDICE
Lista de autores............................................................................................................................9
Prólogo ......................................................................................................................................11
1. Matemática para no matemáticos, por Luis A. Santaló ............................................................21
2. La didáctica de las matemáticas, por Grecia Gálvez................................................................39
3.Aprende r (por me dio de ) la resolución de problemas, por Roland Charnay ..............................51
4. Los diferentes role s del maestro, por Guy Brousseau ...............................................................65
5. El sistema de nume ración: un problema didáctico, por Delia Lerner y Patricia Sadovsky ........95
6.Dividir con dificultad o la dificultad de dividir, por Irma Saiz................................................185
7.Cálculo mental en la escuela primaria, por Cecilia Parra.......................................................219
8.La ge ometría, la psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanz a de la geometría
en la escuela elemental, por Grecia Gálvez................................................................................273
2
CAPÍTULO II. LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS1
Grecia Gálvez
Nuestro trabajo se inscribe en una perspectiva teórica que propone el desarrollo de una rama del
conocimiento relativamente autónoma, designada como Didáctica de las Matemáticas. Esta propuesta tuvo
su origen a raíz de la actividad desplegada, básicamente por matemáticos, en los Institutos de Investigación
sobre la Enseñanza de las Matemáticas (IREM) creados en Francia luego de la Reforma Educativa de fines
de los años 60, con la que se impuso la enseñanza de la “Matemática moderna”.
Inicialmente, los IREM se dedicaron a complementar la formación matemática de los maestros,
incidiendo tanto en el reciclaje de los maestros en servicio como en los programas y la preparación de
nuevos maestros, en las escuelas normales. Otro ámbito importante de su actividad fue la producción de
materiales de apoyo para el trabajo de los maestros en el aula: texto de matemáticas, fichas de trabajo para
los alumnos, juegos y juguetes didácticos, colecciones de problemas y de ejercicios, secuencias de lecciones,
etcétera. La producción de estos materiales solía acompañarse de una experimentación rudimentaria,
concebida como prueba de su factibilidad y como antecedente para introducir ajustes mínimos, antes de
proceder a su difusión dentro del sistema educativo, urgentemente requerida.
Las prácticas descritas más arriba han sido rotuladas como “innovación”, término que genera
peligrosas confusiones, como lo advierte Chevallard (1982), con los procesos de socialización de
adquisiciones científicas y técnicas que tienen lugar en otros campos de la actividad humana. En educación,
cualquier transformación de las normas vigentes puede ser catalogada como “ innovación”, aun cuando su
único aval sea el prestigio social de quien la propone. Chevallard atribuye este fenómeno a la ausencia de
una historia en el dominio educativo, de un tiempo endógeno que permita constituir en progresión la simple
sucesión cronológica de los hechos, lo que equivale a mencionar la ausencia de tradición en la elaboración
científica de la problemática.
A partir de la reflexión sobre la validez de las acciones desarrolladas, en los propios IREM fue
surgiendo otra clase de actividades, destinadas ya no a la producción de medios para actuar sobre la
enseñanza, sino a la producción de conocimientos para controlar y producir tales acciones sobre la
enseñanza. Se plantea, en otros términos, la investigación científica de los procesos que tienen lugar en el
dominio de la enseñanza escolar de las matemáticas.
Uno de los investigadores que han liderado tanto la promoción como el desarrollo de este proyecto
ha sido Guy Brousseau, profesor e investigador del IREM de Burdeos. Brousseau propone el estudio de las
condiciones en las cuales se constituyen los conocimientos; el control de estas condiciones permitirá
reproducir y optimizar los procesos de adquisición escolar de conocimientos.
Se parte de la base de que el conocimiento de los fenómenos relativos a la enseñanza de las
matemáticas no es un resultado de la simple fusión de conocimientos provenientes de dominios
independientes, como son las matemáticas, la psicología y la pedagogía, sino que requiere de investigaciones
específicas. Jean Brun (1980) plantea que la idea de aplicar modelos generales de los procesos de aprendizaje
o del desarrollo intelectual para organizar ya sea la adquisición de conocimientos matemáticos o la de
cualesquiera otros contenidos escolares, indistintamente, conlleva un aislamiento de los modelos
psicológicos de la realidad a partir de la cual fueron construidos. Se los traspone a otra realidad, como si
fuesen entidades autónomas, asignándoles un funcionamiento ideológico y no científico. En otro texto, el
mismo Brun (1981) previniendo sobre la aplicación deductiva de una teoría psicológica a la educación,
afirma:
No se trata de una mera precaución, sino que es el centro del problema, dado que la
enseñanza de las matemáticas se ha mostrado particularmente sensible a la confusión de niveles, a
menudo provocada por una concepción estructuralista en la que las matemáticas y la psicología
aparecen mezcladas.
1
Capítulo 1 de la tesis de doctorado “ El aprendizaje de la orientación en el espacio urbano. Una proposición para la
enseñanza de la geometría en la escuela primaria”, presentada por la autora para obtener el grado de doctor en Ciencias
en la Especialidad de Educación en el Departamento de Innovaciones Educativas del Centro de Investigación y Estudios
Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, México, en 1985. El director de Tesis fue el profesor Guy Brousseau.
La bibliografí a correspondiente a este capítulo se incluye en el capítulo 8 “La geometría, la psicogénesis de las nociones
espacial es y la enseñanza de la geometría en la escuela element al”, de la misma autora.
3
Por otra parte, la investigación de los fenómenos relativos a la enseñanza de las matemáticas
tampoco puede reducirse a la observación y análisis de los procesos que tienen lugar cotidianamente en las
aulas, puesto que su objetivo es la determinación de las condiciones en las que se produce la apropiación del
saber por los alumnos, y para esto necesita ejercer un cierto grado de control sobre ellas, lo que implica que
el investigador debe participar en la producción (o diseño) de las situaciones didácticas que analiza. De aquí
la necesidad de constituir montajes experimentales o, en la terminología de Chevallard (1982), de desarrollar
una “ ingeniería didáctica” subordinada a la investigación, en Didáctica de las Matemáticas:
El control de nuestro conocimiento del fenómeno pasa por el proyecto de su producción, y
esta producción compromete nuestra teoría del fenómeno en una técnica de su producción.
El objeto de estudio de la Didáctica de Matemáticas es la situación didáctica, definida por Brousseau
(1982b) como
Un conjunto de relaciones establecidas explícita y/o implícitamente entre un alumno o un
grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende eventualmente instrumentos u objetos) y un
sistema educativo (representado por el profesor) con la finalidad de lograr que estos alumnos se
apropien de un saber constituido o en vías de constitución.
Estas relaciones se establecen a través de una negociación entre maestro y alumnos cuyo resultado ha
sido designado como contrato didáctico. Este contrato, con componentes explícitos e implícitos, define las
reglas de funcionamiento dentro de la situación: distribución de responsabilidades, asignación de plazos
temporales a diferentes actividades, permiso o prohibición del uso de determinados recursos de acción,
etcétera.
La presencia de un contexto escolar no es esencial en la definición de una situación didáctica; lo que
sí es esencial es su carácter intencional, el haber sido construida con el propósito explícito de que alguien
aprenda algo.
El objetivo fundamental de la Didáctica de las Matemáticas es averiguar cómo funcionan las
situaciones didácticas, es decir, cuáles de las características de cada situación resultan determinantes para la
evolución del comportamiento de los alumnos y, subsecuentemente, de sus conocimientos. Esto no significa
que sólo interese analizar las situaciones didácticas exitosas. Incluso si una situación didáctica fracasa en su
propósito de enseñar algo, su análisis puede constituir un aporte a la Didáctica, si permite identificar los
aspectos de la situación que resultaron determinantes de su fracaso.
Siendo las situaciones didácticas el objeto de estudio de la Didáctica de las Matemáticas ha sido
necesario desarrollar una metodología para analizarlas.
Es frecuente que los investigadores que han llegado a la experimentación educativa con una
formación previa en psicología diseñen situaciones didácticas, las pongan a prueba en una o varias aulas, y
luego centren su interés en los comportamientos manifestados por los alumnos, dentro de la situación
experimental. No intentan explicar estos comportamientos, o su evolución, en función de las características
particulares de la situación en la que se produjeron. Ignoran si, variando algunas condiciones de la situación,
volverían a aparecer los mismos comportamientos.
Para Brousseau, en cambio, un momento fundamental de la investigación en Didáctica lo constituye
el análisis a priori de la situación. El investigador en Didáctica debe ser capaz de prever los efectos de la
situación que ha elaborado, antes de ponerla a prueba en el aula; sólo posteriormente podrá contrastar sus
previsiones con los comportamientos observados.
Para analizar las situaciones didácticas, Brousseau las modeliza, utilizando elementos de la teoría de
los juegos y de la teoría de la información. Para una situación didáctica determinada se identifica un estado
inicial y el conjunto de los diversos estados posibles, entre los que se encuentra el estado final que
corresponde a la solución del problema involucrado en la situación. Se explicitan las reglas que permiten
pasar de un estado a otro. La situación es descrita, entonces, en términos de las decisiones que los jugadores
(alumnos) pueden tomar en cada momento y de las diferentes estrategias que pueden adoptar para llegar al
estado final.
Otro aspecto que facilita el análisis de las situaciones didácticas es su clasificación. Brousseau
distingue, entre las situaciones que él produce para su estudio experimental, cuatro tipos, cuya secuencia, en
los procesos didácticos que organiza, es la siguiente:
4
1. Las situaciones de acción, en las que se genera una interacción entre los alumnos y el medio
físico. Los alumnos deben tomar las decisiones que hagan falta para organizar su actividad de
resolución del problema planteado.
2. Las situaciones de formulación, cuyo objetivo es la comunicación de informaciones, entre
alumnos. Para esto deben modificar el lenguaje que utilizan habitualmente, precisándolo y
adecuándolo a las informaciones que deben comunicar.
3. Las situaciones de validación, en las que se trata de convencer a uno o varios interlocutores de la
validez de las afirmaciones que se hacen. En este caso, los alumnos deben elaborar pruebas para
demostrar sus afirmaciones. No basta la comprobación empírica de que lo que dicen es cierto;
hay que explicar que, necesariamente, debe ser así.
4. Las situaciones de institucionalización, destinadas a establecer convenciones sociales. En estas
situaciones se intenta que el conjunto de alumnos de una clase asuma la significación
socialmente establecida de un saber que ha sido elaborado por ellos en situaciones de acción, de
formulación y de validación.
Una parte importante del análisis de una situación didáctica lo constituye la identificación de las
variables didácticas y el estudio, tanto teórico como experimental, de sus efectos. Lo que interesa son los
intervalos de valores de estas variables que resultan determinantes para la aparición del conocimiento que la
situación didáctica pretende enseñar. Se trata de precisar las condiciones de las que depende que sea ése el
conocimiento que interviene y no otro. Entre las variables que intervienen en una situación hay algunas,
denominadas variables de comando, que pueden ser manipuladas por el maestro para hacer evolucionar los
comportamientos de los alumnos. Su identificación resulta particularmente importante. Artigue (1984)
destaca el rol de la manipulación de variables en Didáctica, en relación con el estudio del desarrollo
psicogenético del niño:
Para el especialista en didáctica, determinar cómo el uso de variables de comando de la
situación puede provocar, en la clase, cambios de estrategia, cómo se podría controlar en el seno de
un proceso, por la manipulación de estos comandos, una génesis escolar del concepto, aparece
como mucho más importante que tratar de precisar en sus menores detalles las etapas del desarrollo
psicogenético.
El análisis de una situación didáctica pasa por su comparación con otras situaciones didácticas,
obtenidas mediante transformaciones de la primera. Por ejemplo, el esfuerzo de modelización de una
situación didáctica está subordinado al propósito de identificar los elementos que podrían variarse para lograr
efectos didácticos diferentes de los que se obtendrían con la situación original. Se constituye así toda una
familia de situaciones didácticas, relativas al conocimiento específico que se quiere enseñar, en la hipótesis
de que cada una de ellas hará funcionar dicho conocimiento bajo una modalidad diferente. Se postula que
entre estas situaciones existe una, a la que se designa como situación fundamental, que es capaz de engendrar
a todas las demás, a través de la asignación de diversos rangos de variación o valores particulares a las
variables que la caracterizan. Una situación es fundamental, respecto del conocimiento que interesa enseñar,
cuando es posible, mediante el juego de las variables presentes en ella, hacerla coincidir con cualquier
situación en la cual intervenga ese conocimiento.
Como ya ha sido señalado, la finalidad de la Didáctica de las Matemáticas es el conocimiento de los
fenómenos y procesos relativos a la enseñanza de las matemáticas para controlarlos y, a través de este
control, optimizar el aprendizaje de los alumnos. No se plantea, de ninguna manera, promover a priori un
cierto tipo de pedagogía, por razones ideológicas, sin el aval de los resultados experimentales
correspondientes. Sin embargo, las situaciones didácticas diseñadas y sometidas a experimentación obedecen
a ciertas características en función de los presupuestos epistemológicos subyacentes a su producción.
En efecto, se considera que todo conocimiento es una respuesta, una adaptación que la humanidad ha
logrado ante situaciones que ha enfrentado o ante problemas que se ha planteado. Los conocimientos, que
han surgido en contextos funcionales, como útiles o instrumentos para la adaptación, son transformados
posteriormente con el propósito de relacionarlos con otros conocimientos, de conservarlos y de transmitirlos,
adoptando la modalidad de objetos culturales. Un saber cultural que se encuentre desligado de su génesis,
constituye un producto descontextualizado y despersonalizado. Es a partir de esta modalidad que los
conocimientos ingresan en los programas escolares.
La forma como los sistemas educativos organizan la enseñanza de los temas incluidos en los
programas escolares implica una determinada concepción de los procesos de adquisición de los
5
conocimientos. Hasta la fecha ha predominado una concepción según la cual basta con descomponer un
saber, en su modalidad cultural, en pequeños trocitos aislados, y luego organizar su ingestión por los
alumnos, en períodos breves y bien delimitados, según secuencias determinadas sobre la base del análisis del
propio saber. Esta manera de organizar la enseñanza no atribuye importancia al contexto específico
(situación) donde los conocimientos son adquiridos, ni a su significación y valor funcional, durante su
adquisición.
Brousseau ha mostrado la importancia de la situación para la actualización y funcionalización de los
conocimientos escolares. Por ejemplo, hay niños que, al inicio de la escuela primaria, saben contar hasta
determinado número y que, sin embargo, son incapaces de utilizar este conocimiento para constituir una
colección de objetos equipotente a una colección dada, bajo una consigna del tipo: “ Ve al fondo del salón a
buscar las tapas que hagan falta para tapar todas estas botellas” (de Villegas, 1983). Estos niños saben
asignar un término de una serie ordenada a cada objeto de una colección, sin repetir ni omitir ninguno:
poseen un saber cultural del cómputo numérico. No obstante, no han aprendido a utilizar este saber como
medio para controlar una situación o para resolver un problema (no lo han funcionalizado).
Brousseau plantea que es preciso diseñar situaciones didácticas que hagan funcionar el saber, a partir
de los saberes definidos culturalmente en los programas escolares. Este planteamiento se apoya en la tesis de
que el sujeto que aprende necesita construir por sí mismo sus conocimientos mediante un proceso adaptativo
(Piaget, 1975) similar al que realizaron los productores originales de los conocimientos que se quiere
enseñar. Se trata, entonces, de producir una génesis artificial de los conocimientos, de que los alumnos
aprendan haciendo funcionar el saber o, más bien, de que el saber aparezca, para el alumno, como un medio
de seleccionar, anticipar, ejecutar y controlar las estrategias que aplica a la resolución del problema
planteado por la situación didáctica.
Peres (1982) caracteriza esta génesis artificial de la siguiente manera:
El camino que hemos seguido consiste en construir un proceso de aprendizaje en el que el
conocimiento no es ni directa ni indirectamente enseñado por el maestro, sino que debe aparecer
progresivamente en el niño a partir de múltiples condicionantes estructurales: es el resultado de
confrontaciones con cierto tipo de obstáculos encontrados durante la actividad. Son las múltiples
interacciones en el seno de la situación las que deben provocar las modificaciones en el alumno y
favorecer la aparición de los conceptos deseados... Si el conocimiento que se quiere que los alumnos
aprendan debe aparecer en la exacta medida en que llega a ser un instrumento necesario para
adaptarse a una situación problemática (las estrategias utilizadas espontáneamente se revelan
ineficaces), todo el esfuerzo del análisis en didáctica debe concentrarse en esta situación.
El énfasis en la interacción sujeto-situación corresponde a una primera etapa de los trabajos
realizados o dirigidos por Brousseau, a la experimentación de situaciones cuasiaisladas, en las que los
alumnos se enfrentan a una situación problemática mientras que el maestro prácticamente no interviene.
Las características principales de estas situaciones son:
•
•
•
•
•
Los alumnos se responsabilizan de la organización de su actividad para tratar de resolver el
problema propuesto, es decir, formulan proyectos personales.
La actividad de los alumnos está orientada hacia la obtención de un resultado preciso,
previamente explicitado y que puede ser identificado fácilmente por los propios alumnos. Los
alumnos deben anticipar y luego verificar los resultados de su actividad.
La resolución del problema planteado implica la toma de múltiples decisiones por parte de los
alumnos, y la posibilidad de conocer directamente las consecuencias de sus decisiones a fin de
modificarlas, para adecuarlas al logro del objetivo perseguido. Es decir, se permite que los
alumnos intenten resolver el problema varias veces.
Los alumnos pueden recurrir a diferentes estrategias para resolver el problema planteado,
estrategias que corresponden a diversos puntos de vista sobre el problema. Es indispensable que,
en el momento de plantear el problema, los alumnos dispongan al menos de una estrategia
(estrategia de base) para que puedan comprender la consigna y comenzar su actividad de
búsque da de la solución.
La manipulación de las variables de comando permite modificar las situaciones didácticas
bloqueando el uso de algunas estrategias y generando condiciones para la aparición y
estabilización de otras (subyacentes al conocimiento que se quiere enseñar).
6
•
Los alumnos establecen relaciones sociales diversas: comunicaciones, debates o negociaciones
con otros alumnos y con el maestro, etcétera.
En síntesis, se trata de enfrentar a los alumnos a una situación que evolucione de tal manera que el
conocimiento que se quiere que aprendan sea el único medio eficaz para controlar dicha situación. La
situación proporciona la significación del conocimiento para el alumno, en la medida en que lo convierte en
un instrumento de control de los resultados de su actividad. El alumno construye, así, un conocimiento
contextualizado, a diferencia de la secuenciación escolar habitual, donde la búsque da de aplicaciones de los
conocimientos sucede a su presentación, descontextualizada.
Un ejemplo de situación didáctica diseñada por Brousseau (1981) con las características que
acabamos de enumerar es el siguiente:
Consigna: “ Este es el dibujo de un rompecabezas con algunas medidas de sus partes. Hay que
fabricar un rompecabezas que sea igual a éste pero más grande, de manera que un lado que en este
rompecabezas mide 3 centímetros, en el otro mida 5 centímetros”.
La consigna es fácilmente comprendida por niños del último grado de primaria y pone en juego, en
primera instancia, la estrategia de base que consiste en agregar 2 centímetros (puesto que 3 + 2 = 5) a cada
uno de los lados de las figuras que componen el rompecabezas dado. El fracaso de esta estrategia constituye
una gran sorpresa para los niños. Vuelven a insistir en ella, procurando efectuar las medidas con mayor
precisión. Hasta que caen en la cuenta de que deben buscar otra estrategia, cuyo desarrollo contribuirá a la
construcción del concepto de número racional (puesto que 3 x 5 /3 = 5). Una variable de comando de esta
situación es la relación numérica entre los tamaños de los rompecabezas. Si se pide que aumenten el lado de
3 centímetros a 6 centímetros gran parte de los alumnos recurrirá a un modelo multiplicativo (3 x 2 = 6) en
vez del modelo aditivo que emplearon en el caso anterior (3 + 3 = 6), debido a que, en este caso, el factor
desconocido es un número entero.
Pensamos que la breve caracterización que hemos hecho de las situaciones didácticas cuasiaisladas
es suficiente para dar una idea de su complejidad. Este tipo de situaciones no se encuentra frecuentemente al
observar clases organizadas de una manera tradicional, en las que el maestro provoca, recibe, corrige e
interpreta todas las respuestas significativas de cada uno de los alumnos. Se justifica, pues, el trabajo del
investigador en Didáctica, de producción e implementación experimental de las situaciones didácticas que
necesita estudiar. Una consecuencia directa de lo anterior es la dificultad para proponer a los maestros las
situaciones utilizadas en la experimentación didáctica. La identificación y reproducción de una situación
didáctica específica, diferenciándola de otros miembros de su misma familia, requiere de un alto grado de
comprensión de las condiciones variables que ejercen influencia sobre el saber producido. La gestión de
estas situaciones, por parte del maestro que conduce las clases experimentales, es difícil, en la medida en que
implica el abandono de prácticas fuertemente arraigadas en su quehacer cotidiano. Se ha observado, por
7
ejemplo, que cuando un maestro conduce una misma situación didáctica durante varios años sucesivos, su
gestión empeora debido a que realiza cambios sutiles en la situación para reproducir la historia de los
comportamientos de los alumnos, obstaculizando así el curso natural de los procesos intelectuales
subyacentes a estos comportamientos. Este fenómeno ha sido descrito con el término “obsolescencia”.
Ultimamente se ha probado el recurrir a una microcomputadora para presentar una situación didáctica a los
alumnos, con el propósito de facilitar la reproductibilidad de la situación.
Un comentario que nos parece conveniente hacer se refiere a la difusión de los resultados de la
Didáctica de las Matemáticas entre los maestros. Puesto que el estudio de las situaciones didácticas tiene por
finalidad conocer y controlar los fenómenos relativos a la enseñanza de las matemáticas, es la comunicación
de sus resultados lo que permitirá al maestro de base una mayor comprensión de su práctica laboral y un
incremento de su control. Sin embargo, es un hecho que la difusión pasa también por el intento de repetir las
situaciones didácticas que han sido construidas con fines experimentales. Cabe aquí aludir a la distinción
entre la experimentación de laboratorio, en física, y la innovación de los procesos productivos, en la
industria. Nadie osaría criticar, en la actualidad, un diseño experimental realizado en un laboratorio,
argumentando que eso no se puede llevar a la práctica en la industria.2 En cambio, es frecuente pensar que
todo lo que se hace en un salón de clases con carácter experimental debe poder repetirse en un “ aula
cualquiera”.
Nuestro punto de vista al respecto es impulsar la réplica de las situaciones “ broussonianas” en
condiciones lo más controladas posibles y utilizarlas como modelo para fomentar la reflexión de los maestros
sobre las condiciones que influyen en el aprendizaje de los alumnos. Evidentemente, estas situaciones
coexistirán, durante un largo tiempo con otras, organizadas de una manera tradicional, que posibilitarán el
cumplimiento de programas y normas instituidas oficialmente en el sistema educativo, independientemente
de los juicios sobre su eficacia que podamos emitir, desde una perspectiva técnica.
2
Hace un par de siglos, no obstante, los trabajos de Newton sobre la descomposición de la luz fueron criticados por su
elevado costo, ya que requerían de espacios muy amplios. Se afirmó que Newton hacía “ física para ricos ”.
8
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