Magnetostática La relación fuerza

Magnetostática
La relación fuerza - potencial
23 de abril de 2007
1.
Objetivos
Estudiar la relación entre energı́a potencial, fuerza y distancia para interacciones entre dos
imanes permanentes.
2.
Material
1 carril de cojı́n de aire, con su soplador y un carro
1 barrera fotoeléctrica con cronómetro y su soporte
2 imanes (ya colocados en carril y carro)
Tacos de madera
Figura 1: Aspecto general de la práctica.
1
3.
Teorı́a
Una fuerza conservativa es aquella que deriva de un potencial. La relación entre la fuerza y
el potencial viene dada por
dU (x)
F (x) = −
.
(1)
dx
La fuerza magnética de repulsión entre dos imanes (en una dimensión) es aproximadamente de
la forma
F (x) = βx−n ,
(2)
siendo β y n constantes y x la distancia entre los imanes. Esta es una fuerza conservativa, cuyo
potencial es
β
x−(n−1) .
(3)
U (x) =
n−1
Tomando logaritmos en ambas ecuaciones,
log(F ) = log(β) − n log(x),
(4)
log(U ) = log(β/(n − 1)) − (n − 1) log(x).
(5)
El objetivo de esta práctica es calcular β y n, y comprobar si son iguales en las dos ecuaciones.
4.
4.1.
Experimentos
Cálculo de F (x)
Medir la posición y1 del imán del carril (de su centro), en la escala de posiciones del carril.
Medir también la posición y2 del imán del carro, con respecto al borde del carro (será la mitad
del espesor del imán). Entonces, si el borde del carro está en la posición y de la escala del carril,
la distancia entre los centros de los imanes será x = y − y1 − y2 .
Medir la masa m del carro, con el imán incluido. Medir la distancia d entre las patas del
carril. Nivelar el carril ajustando el tornillo situado en una de las patas, hasta que el carro
permanezca prácticamente en reposo donde se coloque. Medir el espesor h de un taco (o de
un conjunto de ellos) y colocarlo(s) bajo la pata más lejana al imán. El ángulo de inclinación
θ, será tal que sin θ = h/d. Esto nos permite obtener la fuerza gravitatoria sobre el carro, en
la dirección del carril (figura 2): F = mg sin θ = mgh/d, donde g = 9,80 ± 0,01m/s2 . Medir
la posición y de equilibrio del carro, en la cual esta fuerza es igual a la de repulsión entre los
imanes.
Repetir el experimento para diferentes inclinaciones del carril. Representar en una gráfica
log(F ) frente a log(x), incluyendo las barras de error de cada dato. Ajustar los datos obtenidos
a una recta (preferiblemente por el método de mı́nimos cuadrados). Calcular β y n a partir de
la pendiente (que será igual a −n) y de la ordenada en el origen (que será igual a log β).
4.2.
Cálculo de U(x)
Medir la longitud l de la pantalla superior del carro, que tapa la puerta fotoeléctrica al pasar.
Poner el carril horizontal y colocar la puerta fotoeléctrica a medio metro del imán, aproximadamente. Esta distancia no es demasiado grande, para que el rozamiento del carro hasta llegar
allı́ no sea importante. A su vez, es suficiente para que prácticamente toda la energı́a potencial
inicial U (x) se haya convertido en cinética, de modo que U (x) = mv 2 /2, siendo v = l/t la
velocidad, y t el tiempo que tarda el carro en pasar la puerta.
Colocar el carro a una distancia y (pequeña) del imán fijo, soltarlo y medir el tiempo t.
Repetir el experimento para diferentes posiciones iniciales y del carro, tomando tres medidas
para cada posición y sacando la media de las tres.
2
FN
x
FM
mgsenθ
y
mgcosθ
θ
mg
Figura 2: Esquema de las fuerzas magnética FM , normal FN , y gravitatoria mg con el carril
inclinado. En la posición de equilibrio del carro, las tres fuerzas se anulan.
Representar en una gráfica log U frente a log x, incluyendo las barras de error de cada dato.
Ajustar los datos obtenidos a una recta (preferiblemente por el método de mı́nimos cuadrados).
Calcular β y n a partir de la pendiente (igual a − log(n − 1)) y de la ordenada en el origen,
log(β/(n − 1)). ¿Coinciden los valores de β y n obtenidos a partir de F (x) y de U (x)?
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5.
Medidas
y1 ± ∆y1 (cm) =
y2 ± ∆y2 (cm) =
m ± ∆m (g) =
d ± ∆d (cm) =
h ± ∆h (cm) y ± ∆y (cm)
x ± ∆x (m)
F ± ∆F (N)
log x ± ∆ log x
log F ± ∆ log F
n ± ∆n =
β ± ∆β (Nmn ) =
Cuadro 1: Medidas y cálculos para determinar F (x). Los errores ∆x, ∆F , ∆ log x, ∆ log F , ∆n
y ∆β pueden posponerse al informe final. Para una primera estimación de β y n, realizar un
ajuste a ojo, de log F frente a log x, a una recta.
l ± ∆l (cm) =
y ± ∆y (cm) t1 , t2 , t3 (s)
t ± ∆t (s)
x ± ∆x (m)
U ± ∆U (J)
log x ± ∆ log x
log U ± ∆ log U
n ± ∆n =
β ± ∆β (Jmn−1 ) =
Cuadro 2: Medidas y cálculos para determinar U (x). Los errores ∆t, ∆x, ∆U , ∆ log x, ∆ log U ,
∆n y ∆β pueden posponerse al informe final. Para una primera estimación de β y n, realizar
un ajuste a ojo de los datos a una recta. Fijarse en que las unidades de β son Jmn−1 =Nmn .
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